初中第一章 有理数1.2 有理数1.2.1 有理数练习题

这是一份初中第一章 有理数1.2 有理数1.2.1 有理数练习题，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2024七年级上·江苏·专题练习）在下列选项中，具有相反意义的量是（ ）
A．上升了6米和后退了7米B．卖出10斤米和盈利10元
C．收入20元与支出30元D．向东行30米和向北行30米
2．（23-24六年级下·全国·假期作业）下列语句正确的个数是（ ）
①不带“−”号的数都是正数 ②如果a是正数，那么−a一定是负数 ③不带“+”号的数都是负数 ④不存在既不是正数，也不是负数的数 ⑤非正数就是负数
A．0B．1C．2D．3
3．（23-24七年级上·广东佛山·期中）新西兰南岛、墨西哥与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数）： 当北京 6 月 15 日 23 时，新西兰南岛、墨西哥的 时间分别是（ ）
A．6 月 15 日 20 时；6 月 15 日 9 时 B．6 月 15 日 20 时；6 月 16 日 12 时
C．6 月 16 日 2 时；6 月 15 日 9 时 D．6 月 16 日 2 时；6 月 14 日 9 时
4．（22-23七年级上·全国·单元测试）小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：km）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为（ ）km．
A．35B．36C．37D．38
5．（2024七年级·全国·竞赛）已知a、b、c都是整数，则a+b2、b+c2和c+a2中（ ）
A．必定都是整数 B．必定有两个是整数 C．必定有一个是整数 D．可能都不是整数
6．（2024七年级上·江苏·专题练习）若a、b、c均为整数，且|a−b|+|c−a|=1，则|a−c|+|c−b|+|b−a|的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若ac＜0，|b|＜|c|，则下列一定成立的是（ ）
A．abc＜0B．|a|＞|b|C．a+c＞0D．b+c＞0
8．（23-24七年级上·重庆江北·阶段练习）已知有理数a，c，若a−2=18，且3a−c=c，则所有满足条件的数c的和是（ ）
A．﹣6B．2C．8D．9
9．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）如图，数轴上点A、B、C对应的有理数分别为a，b，c，下列结论：①a+b+c>0；②abc>0；③a+b−c<0；④a>bc，其中正确的个数是( )个．
A．1B．2C．3D．4
10．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别为−2和−1，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点C所对应的数为0；则翻转2022次后，点C所对应的数是（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（23-24七年级上·河南洛阳·阶段练习）已知点A，B在数轴上，点A与原点的距离是7，点B与原点的距离是16，则点A，B之间的距离为 ．
12．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）一动点A从原点出发，规定向右为正方向，连续不断地一右一左来回动(第一次先向右移动)，移动的距离依次为2，1；4，2；6，3；8，4；10，5；12，6；14，7；则动点A第一次经过表示 55的点时，经过了 次移动
13．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知m是有理数，则|m−2|+|m−4|+|m−6|+|m−8|的最小值是 ．
14．（22-23七年级上·江西宜春·期中）在数轴上有P，M，N三点，点P在点M左侧，M，N两点所表示的数分别是1，−8，点P到与点M，N其中一点距离等于点P到另一点距离的2倍，则满足条件的点P所表示的数是 ．
15．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的序号是 ．
①已知a，b，c是非零的有理数，且abcabc=−1时，则aa+bb+cc的值为1或−3；
②已知a，b，c是有理数，且a+b+c=0，abc<0时，则b+ca+a+cb+a+bc的值为−1或3；
③已知x≤4时，那么x+3−x−4的最大值为7，最小值为−7；
④若a=b且a−b=23，则式子a+b−abb2+1的值为110；
⑤如果定义a,b=a+ba>b0a=bb−aab时，a,b的值为b−a．
三、解答题（本大题共8小题，满分55分）
16．（4分）（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）把下列各数的序号填入相应的大括号内：
① −13，② 0.2，③ 227，④ −20%，⑤ −−3，⑥ −+0.75，⑦ 0，⑧ −34，⑨ π2，⑩ −−35
正有理数集合：{_______________…}；
非负数集合：{_______________…}；
非正整数集合：{_______________…}；
分数集合：{_______________…}．
17．（6分）（2024七年级上·江苏·专题练习）数轴上的点A、B、C、O、D、E分别表示3，−1.5，−312，−4，0，2.5，
（1）在图所示的数轴上画出点A、B、C、O、D、E；
（2）比较这六点所表示的数的大小，用“＜”号连接起来；
＜ ＜ ＜ ＜ ＜
（3）有同学说：“这六个点中，其中有两个点之间的距离恰好与另外两个点之间的距离相等”，你觉得这位同学的说法正确吗？请你作出判断，并说明理由．
18．（6分）（23-24七年级上·江西抚州·阶段练习）同学们都知道，7−−3表示7与−3之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与−3的两点之间的距离．试探索：
（1）7−−3=________；
（2）找出所有符合条件的整数x，使得x+4+x−1=5；
（3）对于任何有理数x，x−3+x−6是否有最小值？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由；
（4）若x+1+x−6=9时，求x的值．
19．（6分）（23-24七年级上·宁夏吴忠·期末）已知：如图所示，数轴上A、B、C三点所对应的数分别为a、b、c．
（1）在数轴上表示2的点与表示6的点之间的距离为______；在数轴上表示−2的点与表示4的点之间的距离为______；在数轴上表示−1的点与表示−3的点之间的距离为______；由此可得数轴上点A、B之间的距离为______；
（2）化简：a+b+c−b−a−b；
（3）若c的绝对值是3，b的倒数是它本身，a的相反数是−3，求：−a+2b+c−a−4c+3b的值．
20．（6分）（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+15，−9，+7，−7，+13，−6，+12，−5．
（1）请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？
（2）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？
（3）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？
21．（9分）（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）探索材料1（填空）：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m−n|．例如数轴上表示数3和−1的两点距离为3−−1=________；
则6+3的意义可理解为数轴上表示数________和________这两点的距离；
x+4的意义可理解为数轴上表示数________和________这两点的距离；
探索材料2（填空）：
①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？
②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？
③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？
结论应用（填空）：
①代数式x+3+|x−4|的最小值是________；
②代数式x+6+x+3+|x−2|的最小值是________；
③代数式x+7+x+4+|x−2+x−5|的最小值是________．
22．（9分）（23-24七年级上·浙江杭州·期中）【阅读理解】
若A，B，C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是A,B的“妙点”．例如，如图1，点A表示的数为−1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是A,B的“妙点”.又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是A,B的“妙点”，但点D是B,A的“妙点”．
【知识应用】
如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为−2，点N所表示的数为4．
（1）数3 (填“是”或“不是”）M,N的“妙点”，数2 (填“是”或“不是”） N,M的“妙点”.
（2）若数轴上有一点Q表示的数是x，且点Q是N,M的妙点，求x的值.
（3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为−40，点B所表示的数为20．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，点P，A和B中恰有一个点为其余两点的“妙点”？（请直接写出答案）
23．（9分）（23-24七年级上·全国·期末）如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是−1，B点对应的数是8，C是线段AB上一点，满足ACBC=54．
（1）求C点对应的数；
（2）动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒．
①当MN=4时，求t的值；
②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当PM=2PN时，请直接写出t的值．
题号
一
二
三
总分
得分
评卷人
得 分


城市
新西兰南岛
墨西哥
时差/时
+3
-14
日期
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
低强度
8
6
6
5
4
高强度
12
13
15
12
8
休息
0
0
0
0
0
评卷人
得 分


评卷人
得 分


专题1.4 有理数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2024七年级上·江苏·专题练习）在下列选项中，具有相反意义的量是（ ）
A．上升了6米和后退了7米B．卖出10斤米和盈利10元
C．收入20元与支出30元D．向东行30米和向北行30米
【思路点拨】
本题考查了对正负数概念的理解，关键明确正负数是表示一对意义相反的量．根据相反意义的量的概念，逐项判断分析即可解题．
【解题过程】
解：A.不是一对具有相反意义的量，不符合题意；
B.不是一对具有相反意义的量，不符合题意；
C.是一对具有相反意义的量，符合题意；
D.不是一对具有相反意义的量，不符合题意．
故本题选：C．
2．（23-24六年级下·全国·假期作业）下列语句正确的个数是（ ）
①不带“−”号的数都是正数 ②如果a是正数，那么−a一定是负数 ③不带“+”号的数都是负数 ④不存在既不是正数，也不是负数的数 ⑤非正数就是负数
A．0B．1C．2D．3
【思路点拨】
本题主要考查了有理数的分类，正、负数的意义，根据正负数的定义和有理数的分类方法，逐项进行判断即可，注意0既不是正数，也不是负数．
【解题过程】
解：①不正确，反例：0不带“−”号，但它不是正数；
②正确，正数a前面加“−”号一定是负数；
③不正确，反例：0不带“+”号，但它不是负数；
④不正确，反例：0既不是正数，也不是负数；
⑤不正确，反例：0是非正数，但不是负数；
综上分析可知，正确的个数为1个．
故选：B．
3．（23-24七年级上·广东佛山·期中）新西兰南岛、墨西哥与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数）： 当北京 6 月 15 日 23 时，新西兰南岛、墨西哥的 时间分别是（ ）
A．6 月 15 日 20 时；6 月 15 日 9 时 B．6 月 15 日 20 时；6 月 16 日 12 时
C．6 月 16 日 2 时；6 月 15 日 9 时 D．6 月 16 日 2 时；6 月 14 日 9 时
【思路点拨】
根据题意按正负数的加减法计算即可．
【解题过程】
解：新西兰南岛同一时刻比北京时间早3个小时，即6月15日23时加3小时为6月16日2时；
墨西哥同一时刻比北京时间晚14个小时，即6月15日23时减14小时为6月15日9时；
故选：C．
4．（22-23七年级上·全国·单元测试）小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：km）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为（ ）km．
A．35B．36C．37D．38
【思路点拨】
根据“高强度”要求前一天必须“休息”，则如果“高强度”的距离比前一天+当天的“低强度”距离短的话，则没有必要选择“高强度”，因此只有第一天和第三天适合选择“高强度”计算出此时的距离即可．
【解题过程】
解：∵“高强度”要求前一天必须“休息”，
∴“高强度”的徒步距离>前一天“低强度”距离+当天“低强度”距离时，选择“高强度”能使徒步距离最远.
∵15>6+6,12>6+5,
∴适合选择“高强度”的是第三天和第四天.
又∵第一天可选择“高强度”,
∴方案①：第一天选择“高强度”，第二天“休息”，第三天选择“高强度”，第四天和第五天选择“低强度”,
此时，徒步的距离为12+0+15+5+4=36(千米).
方案②：第一天选择“高强度”，第二天“低强度”，第三天选择“休息”，第四天“高强度”和第五天选择“低强度”,
此时，徒步的距离为12+6+0+12+4=34(千米).
综上，徒步的最远距离为36千米．
故选：B．
5．（2024七年级·全国·竞赛）已知a、b、c都是整数，则a+b2、b+c2和c+a2中（ ）
A．必定都是整数 B．必定有两个是整数 C．必定有一个是整数 D．可能都不是整数
【思路点拨】
本题考查了有理数分类中整数的奇偶性问题，分三种情况讨论：①假设a、b、c都是偶数或都是奇数，②假设其中有两个是偶数，一个是奇数，③假设有两个奇数，一个偶数，即可得出答案．
【解题过程】
解：假设a、b、c都是偶数或都是奇数，则a+b、b+c和c+a都是偶数，那么a+b2、b+c2和c+a2都是整数，
假设其中有两个是偶数，一个是奇数，那么a+b2、b+c2和c+a2有一个是整数，
假设有两个奇数，一个偶数，那么a+b2、b+c2和c+a2有一个是整数，
综上所述：a+b2、b+c2和c+a2必定有一个是整数，
故选：C．
6．（2024七年级上·江苏·专题练习）若a、b、c均为整数，且|a−b|+|c−a|=1，则|a−c|+|c−b|+|b−a|的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【思路点拨】
先根据a、b、c均为整数，且|a−b|+|c−a|=1，可得a−b=1，|c−a|=0或|a−b|=0，|c−a|=1，然后分两种情况分别求出|a−c|+|c−b|+|b−a|的值即可．
此题主要考查了绝对值的意义，分类讨论是解答此题的关键．
【解题过程】
解：∵a，b，c均为整数，且|a−b|+|c−a|=1，
∴a−b=1，|c−a|=0或|a−b|=0，|c−a|=1，
①当a−b=1，|c−a|=0时，c=a，a=b±1，
∴ a−c+c−b+b−a=a−c+a−b+b−a=0+1+1=2；
②当|a−b|=0，|c−a|=1时，a=b，
∴ a−c+c−b+b−a=a−c+c−a+b−a=1+1+0=2；
综上，|a−c|+|c−b|+|b−a|的值为2．
故选：B．
7．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若ac＜0，|b|＜|c|，则下列一定成立的是（ ）
A．abc＜0B．|a|＞|b|C．a+c＞0D．b+c＞0
【思路点拨】
本题考查了数轴，有理数的乘法加法，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．由数轴上表示的a，b，c得出a【解题过程】
解：由图可知a∵ac<0，
∴a<0，c>0，
∵b∴b+c>0，
故D正确；
∵a当0当−c0，
故A错误；
∵由ac<0得a<0，c>0，
当a<0b，0离b远时，a当b<0时，a>b，
故B错误；
∵ac<0，
∴a<0，c>0，
当0离a近时，a+c>0；
0离a远时，a+c<0，
故C错误；
故选：D．
8．（23-24七年级上·重庆江北·阶段练习）已知有理数a，c，若a−2=18，且3a−c=c，则所有满足条件的数c的和是（ ）
A．﹣6B．2C．8D．9
【思路点拨】
根据绝对值的代数意义对a−2=18进行化简，a−2=18或a−2=−18，解得a=20或a=−16有两个解，分两种情况再对3a−c=c进行化简，继而有两个不同的绝对值等式，320−c=c和3−16−c=c，每个等式同样利用绝对值的代数意义化简，分别得到c的值有两个，故c共有四个值，再进行相加，得到所有满足条件的数的和．
【解题过程】
解：∵ a−2=18，
∴ a−2=18或a−2=−18，
∴ a=20或a=−16，
当a=20时，3a−c=c等价于320−c=c，即60−3c=c，
∴ 60−3c=c或60−3c=−c，
∴ c=15或c=30；
当a=−16时，3a−c=c等价于3−16−c=c，即−48−3c=c，
∴ −48−3c=c或−48−3c=−c，
∴ c=−12或c=−24，
故c=15或c=30或c=−12或c=−24，
∴所有满足条件的数c的和为：15+30+(−12)+(−24)=9．
故答案为：D
9．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）如图，数轴上点A、B、C对应的有理数分别为a，b，c，下列结论：①a+b+c>0；②abc>0；③a+b−c<0；④a>bc，其中正确的个数是( )个．
A．1B．2C．3D．4
【思路点拨】
本题主要考查了数轴在有理数加减乘除法运算中的应用，数形结合，是解题的关键．
先由数轴得出a<−2【解题过程】
解：∵−3∴a+b+c<0，
∴结论①错误；
∵a<0，b<0，c>0，
∴ab>0，
∴abc>0，
∴结论②正确；
∵a<0，b<0，c>0，
∴a+b<0，
∴a+b−c<0，
∴结论③正确；
∵−3∴−2∴a∴结论④错误；
综上，正确的个数为2个．
故选：B．
10．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别为−2和−1，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点C所对应的数为0；则翻转2022次后，点C所对应的数是（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【思路点拨】
通过前面几次的分析、归纳，发现每4次一个循环，点C所对应的数有规律地变化；翻转4n−3(n为正整数）次后，点C所对应的数为4(n−1)；翻转4n−2次后，点C所对应的数为4(n−1)；翻转4n−1次后，点C所对应的数为4n−3；翻转4n次后，点C所对应的数为4n−1；于是令2022=4n−2即可得解．
【解题过程】
解：翻转1次后，点C所对应的数为0；
翻转2次后，点C所对应的数为0；
翻转3次后，点C所对应的数为1；
翻转4次后，点C所对应的数为3；
翻转5次后，点C所对应的数为4；
翻转6次后，点C所对应的数为4；
翻转7次后，点C所对应的数为5；
翻转8次后，点C所对应的数为7；
翻转9次后，点C所对应的数为8；
……
翻转4n−3次后，点C所对应的数为4(n−1)；
翻转4n−2次后，点C所对应的数为4(n−1)；
翻转4n−1次后，点C所对应的数为4n−3；
翻转4n次后，点C所对应的数为4n−1；
∵2022÷4=505余2，
∴令2022=4n−2，
∴n=506，
∴4(n−1)=4×505=2020
∴翻转2022次后，点C所对应的数为2020；
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（23-24七年级上·河南洛阳·阶段练习）已知点A，B在数轴上，点A与原点的距离是7，点B与原点的距离是16，则点A，B之间的距离为 ．
【思路点拨】
本题主要考查了数轴上点、数轴上两点间的距离等知识点，掌握数轴上的点表示的数成为解题的关键．
先根据题意确定A、B在数轴上表示的数，然后根据数轴上两点间的距离求解即可．
【解题过程】
解：∵点A与原点的距离是7，点B与原点的距离是16，
∴点A表示±7，点B表示±16，
当点A表示−7，点B表示−16，则点A，B之间的距离为−7−−16=9；
当点A表示−7，点B表示16，则点A，B之间的距离为−7−16=23；
当点A表示7，点B表示−16，则点A，B之间的距离为7−−16=23；
当点A表示7，点B表示16，则点A，B之间的距离为7−16=9；
综上，点A，B之间的距离为23或9．
故答案为：23或9．
12．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）一动点A从原点出发，规定向右为正方向，连续不断地一右一左来回动(第一次先向右移动)，移动的距离依次为2，1；4，2；6，3；8，4；10，5；12，6；14，7；则动点A第一次经过表示 55的点时，经过了 次移动
【思路点拨】
根据题意，记向右为正，则向左为负，动点第一次经过表示55的点时，运动的次数应为奇数；运动18次，动点位于表示2−1+4−2+6−3+⋯+18−9=45的点，第19次运动为向右20，得解为19．
【解题过程】
解：记向右为正，则向左为负，由题意知，当移动次数为奇数时，向右运动，移动次数为偶数时，向左运动；动点第一次经过表示55的点时，运动的次数应为奇数；
∵2−1+4−2+6−3+⋯+18−9
=1+2+3+⋯+9
=45，
而第19次运动为向右20，45+20>55，
∴第一次经过表示 55的点时，经过了19次移动．
故答案为：19
13．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知m是有理数，则|m−2|+|m−4|+|m−6|+|m−8|的最小值是 ．
【思路点拨】
该题主要考查了绝对值的意义以及化简绝对值，解题的关键是进行分类讨论．
根据绝对值最小的数是0，分别令四个绝对值为0，从而求得m的四个值，分别将这四个值代入代数式求值，比较得不难求得其最小值．
【解题过程】
解：∵绝对值最小的数是0，
∴分别当|m−2|,|m−4|,|m−6|,|m−8|等于0时，有最小值．
∴m的值分别为2，4，6，8．
∵①当m=2时，原式=|2−2|+|2−4|+|2−6|+|2−8|=12；
②当m=4时，原式=|4−2|+|4−4|+|4−6|+|4−8|=8；
③当m=6时，原式=|6−2|+|6−4|+|6−6|+|6−8|=8；
④当m=8时，原式=|8−2|+|8−4|+|8−6|+|8−8|=12；
∴|m−2|+|m−4|+|m−6|+|m−8|的最小值是8．
故答案为：8．
14．（22-23七年级上·江西宜春·期中）在数轴上有P，M，N三点，点P在点M左侧，M，N两点所表示的数分别是1，−8，点P到与点M，N其中一点距离等于点P到另一点距离的2倍，则满足条件的点P所表示的数是 ．
【思路点拨】
本题主要考查数轴的知识，解题的关键是利用掌握分类讨论思想，以及两点间的距离表示方法．
利用分类讨论思想，当点P在线段MN上时且PM=2PN时，设点P表示的数为t，用代数式表示出PM,PN的长度，即可求出点P所表示的数；当点P在线段MN上时且PN=2PM时，用代数式表示出PM,PN的长度，即可求出点P所表示的数；当点P运动到点N的左边时，那只有PM=2PN，用代数式表示出PM,PN的长度，即可求出点P所表示的数．
【解题过程】
解：设点P表示的数为t，当点P在线段MN上时且PM=2PN时，如图所示，
∵M，N两点所表示的数分别是1、−8，
∴PN=t−(−8)=t+8，PM=1−t，
∵PM=2PN，
∴t+8=2(1−t)，
解得：t=−2；
当点P在线段MN上时且PN=2PM时，如图所示，
∴1−t=2(t+8)，
解得：t=−5；
当点P运动到点N的左边时，那只有PM=2PN，如图所示，
∴1−t=2(−8−t)，
解得：t=−17；
故点P表示的数为−2，−5或−17．
故答案为：−2，−5或−17．
15．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的序号是 ．
①已知a，b，c是非零的有理数，且abcabc=−1时，则aa+bb+cc的值为1或−3；
②已知a，b，c是有理数，且a+b+c=0，abc<0时，则b+ca+a+cb+a+bc的值为−1或3；
③已知x≤4时，那么x+3−x−4的最大值为7，最小值为−7；
④若a=b且a−b=23，则式子a+b−abb2+1的值为110；
⑤如果定义a,b=a+ba>b0a=bb−aab时，a,b的值为b−a．
【思路点拨】
本题考查绝对值的意义，有理数的运算法则；根据绝对值的意义以及题中条件，逐个分析论证即可．熟知绝对值的意义是解题的关键．
【解题过程】
解：①已知a，b，c是非零的有理数，
当|abc|abc=−1时，
则abc<0，分两种情况：一是a、b、c皆为负数，此时|a|a+|b|b+|c|c=−1−1−1=−3；
二是a、b、c中只有一个负数，令a<0，b>0、c>0此时|a|a+|b|b+|c|c=−1+1+1=1，故①正确；
②∵a+b+c=0，
∴a+b=−c，b+c=−a，a+c=−b，
则b+c|a|+a+c|b|+a+b|c|=−aa+−bb+−cc，
由于abc<0时，
当a、b、c皆为负数，此时a+b+c<0与a+b+c=0矛盾，故不存在；
∴a、b、c中只有一个负数，
令a<0，b>0，c>0，
原式=−a−a+−bb+−cc=−1，故②错误；
③当x≤4时，分两种情况：
当x≤−3时，|x+3|−|x−4|=−x−3−(4−x)=−7，
当−3故x≤4时|x+3|−|x−4|的最大值为7，最小值为−7，故③正确；
④由|a|=|b|且|a−b|=23，
∴a、b互为相反数，
∴a+b=0
∴a=−b，
∴|2a|=23，
不妨a=13，b=−13，
则b则式子a+b−abb2+1
=0−13×(−13)(−13)2+1
=19109=110，故④正确；
⑤当ab<0时，
∴a、b异号，
又∵a+b<0，
∴负数的绝对值大于正数的绝对值，
又∵|a|>|b|，
∴a<0，b>0，
∴a根据{a，b}=a+b(a>b)0(a=b)b−a(a∴{a，b}=b−a，故⑤正确．
故答案为：①③④⑤．
三、解答题（本大题共8小题，满分55分）
16．（4分）（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）把下列各数的序号填入相应的大括号内：
① −13，② 0.2，③ 227，④ −20%，⑤ −−3，⑥ −+0.75，⑦ 0，⑧ −34，⑨ π2，⑩ −−35
正有理数集合：{_______________…}；
非负数集合：{_______________…}；
非正整数集合：{_______________…}；
分数集合：{_______________…}．
【思路点拨】
本题考查了正有理数、非负数、非正整数、分数的定义，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉正有理数、非负数、非正整数、分数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用．
【解题过程】
解：由−−3=−3，−+0.75=−0.75，−34=34，−−35=35，
正有理数集合：{② ③ ⑧ ⑩…}；
非负数集合：{② ③ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩…}；
非正整数集合：{⑤ ⑦…}；
分数集合：{① ② ③ ④ ⑥ ⑧…}
故答案为：② ③ ⑧ ⑩；② ③ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩；⑤ ⑦；① ② ③ ④ ⑥ ⑧．
17．（6分）（2024七年级上·江苏·专题练习）数轴上的点A、B、C、O、D、E分别表示3，−1.5，−312，−4，0，2.5，
（1）在图所示的数轴上画出点A、B、C、O、D、E；
（2）比较这六点所表示的数的大小，用“＜”号连接起来；
＜ ＜ ＜ ＜ ＜
（3）有同学说：“这六个点中，其中有两个点之间的距离恰好与另外两个点之间的距离相等”，你觉得这位同学的说法正确吗？请你作出判断，并说明理由．
【思路点拨】
本题考查了有理数大小比较，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键．
（1）根据数轴是表示数的一条直线，可把数在数轴上表示出来；
（2）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案；
（3）根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案．
【解题过程】
（1）解：如图；
（2）解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得
−4<−312<1.5<0<2.5<3，
故答案为：−4，−312，−1.5，0，2.5，3；
（3）解：对．
−4与−312之间距离等于2.5与3之间距离都是0.5．
或者−4与−1.5之间距离等于2.5与0之间距离是2.5．
18．（6分）（23-24七年级上·江西抚州·阶段练习）同学们都知道，7−−3表示7与−3之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与−3的两点之间的距离．试探索：
（1）7−−3=________；
（2）找出所有符合条件的整数x，使得x+4+x−1=5；
（3）对于任何有理数x，x−3+x−6是否有最小值？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由；
（4）若x+1+x−6=9时，求x的值．
【思路点拨】
本题考查数轴和绝对值．理解并灵活运用“两数之差的绝对值表示这两个数对应的点之间的距离”是解题的关键．
（1）7−−3表示7与-3的两点之间的距离，据此解答即可；
（2）根据x+4+x−1=5表示x与-4的两点之间的距离和x与1的两点之间的距离之和是5可知，x表示的点位于-4表示的点与1表示的点之间，据此作答即可；
（3）根据x−3+x−6表示x与3的两点之间的距离和x与6的两点之间的距离之和可知，当x表示的点位于3表示的点与6表示的点之间时，x−3+x−6有最小值，最小值为3表示的点与6表示的点之间的距离；
（4）根据两点间的距离求解即可．
【解题过程】
（1）∵7−−3表示7与−3的两点之间的距离，
∴7−−3=10．
故答案为：10；
（2）∵x+4+x−1=5的意义是：表示x与−4的两点之间的距离和x与1的两点之间的距离之和是5．
∴−4≤x≤1（x为整数），
∴x=−4,−3,−2,−1,0,1．
（3）对于任何有理数x，x−3+x−6有最小值．
∵x−3+x−6的意义是：表示x与3的两点之间的距离和x与6的两点之间的距离之和．
∴当3≤x≤6时，x−3+x−6取最小值，最小值为3．
（4）x+1+x−6=9的意义是：表示x与−1的两点之间的距离和x与6的两点之间的距离之和是9，
∵6−−1=7，
9−7÷2=1，
−1−1=−2，6+1=7
∴x的值为−2或7．
19．（6分）（23-24七年级上·宁夏吴忠·期末）已知：如图所示，数轴上A、B、C三点所对应的数分别为a、b、c．
（1）在数轴上表示2的点与表示6的点之间的距离为______；在数轴上表示−2的点与表示4的点之间的距离为______；在数轴上表示−1的点与表示−3的点之间的距离为______；由此可得数轴上点A、B之间的距离为______；
（2）化简：a+b+c−b−a−b；
（3）若c的绝对值是3，b的倒数是它本身，a的相反数是−3，求：−a+2b+c−a−4c+3b的值．
【思路点拨】
（1）根据数轴上两点间距离公式即可求解；
（2）结合数轴根据绝对值性质去绝对值符号，再合并即可解答；
（3）根据a、b、c在数轴上的位置，结合题目条件得出c=−3，b=−1，a=3，再将其代入化简后的代数式即可求解．
【解题过程】
（1）解：在数轴上表示2的点与表示6的点之间的距离为6−2=4；
在数轴上表示−2的点与表示4的点之间的距离为4−(−2)=6；
在数轴上表示−1的点与表示−3的点之间的距离为−1−(−3)=2；
由此可得，数轴上点A、B之间的距离为a−b；
故答案为：4；6；2；a−b；
（2）根据题意，cb，
∴a+b>0，c−b<0，a−b>0，
∴a+b+c−b−a−b
=a+b+[−(c−b)]−(a−b)
=a+b−c+b−a+b
=3b−c；
（3）根据题意，c的绝对值是3，b的倒数是它本身，a的相反数是−3，
∴c=−3，b=−1，a=3，
∴−a+2b+c−a−4c+3b
=−a+2b+c−a+4c−3b
=−2a−b+5c
=−2×3−(−1)+5×(−3)
=−20．
20．（6分）（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+15，−9，+7，−7，+13，−6，+12，−5．
（1）请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？
（2）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？
（3）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？
【思路点拨】
（1）根据有理数的加法运算法则进行计算，然后根据正数和负数意义进行解答即可；
（2）首先计算冲锋舟航行的总路程，结合冲锋舟的耗油量和油箱容量，即可获得答案；
（3）分别计算航行路程记录中各点离出发点的距离，比较大小即可获得答案．
【解题过程】
（1）解：(+15)+(−9)+(+7)+(−7)+(+13)+(−6)+(+12)+(−5)
=(+6)+(+7)+(−7)+(+13)+(−6)+(+12)+(−5)
=(+13)+(−7)+(+13)+(−6)+(+12)+(−5)
=(+6)+(+13)+(−6)+(+12)+(−5)
=(+19)+(−6)+(+12)+(−5)
=(+13)+(+12)+(−5)
=(+25)+(−5)
=+20，
答：B位于A地正东方向，距离A地20千米；
（2）+15+−9++7+−7++13+−6++12+−5
=15+9+7+7+13+6+12+5
=74（千米）
74×0.5=37（升）
37−28=9（升）
答：至少还需9升油；
（3）航行路程记录中各点离出发点的距离分别为：
①+15（千米），
②15+(−9)=6（千米），
③(+15)+(−9)+(+7)=13（千米），
④(+15)+(−9)+(+7)+(−7)=6（千米），
⑤(+15)+(−9)+(+7)+(−7)+(+13)=19（千米），
⑥(+15)+(−9)+(+7)+(−7)+(+13)+(−6)=13（千米），
⑦(+15)+(−9)+(+7)+(−7)+(+13)+(−6)+(+12)=25（千米），
⑧(+15)+(−9)+(+7)+(−7)+(+13)+(−6)+(+12)+(−5)=20（千米），
∵25>20>19>15>13>6，
∴离A最远处有25千米．
21．（9分）（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）探索材料1（填空）：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m−n|．例如数轴上表示数3和−1的两点距离为3−−1=________；
则6+3的意义可理解为数轴上表示数________和________这两点的距离；
x+4的意义可理解为数轴上表示数________和________这两点的距离；
探索材料2（填空）：
①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？
②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？
③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？
结论应用（填空）：
①代数式x+3+|x−4|的最小值是________；
②代数式x+6+x+3+|x−2|的最小值是________；
③代数式x+7+x+4+|x−2+x−5|的最小值是________．
【思路点拨】
本题考查数轴上两点间的距离的意义，绝对值化简，通过数形结合，分别得到数轴上有2个点，3个点，4个点时，动点在什么位置，到这几个点的距离之和最小，并会求最小的距离之和是解决本题的关键．
探索材料1（填空）：按照化简绝对值的求法即可得到数3和−1的两点距离；将6+3化为6−−3，将x+4化为x−−4，再根据数轴上两点间的距离的意义可知其表示哪两个点之间的距离；
探索材料2（填空）：
①通过观察，比较可得点P设在A与B之间时，可P到A的距离与P到B的距离之和最小，为线段AB长；
②通过观察，比较可得点P应设在B处时，P到A，B，C三点的距离之和最小，为线段AB的长；
③通过观察，比较可得点P应设在BC之间，才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小，为AD+BC的长；
结论应用（填空）：
①结合（2）中的①，可得最小距离为4和−3之间的距离；
②结合（2）中的②，可得最小距离为−6和2之间的距离；
③结合（2）中的③，可得最小距离为−7和5，−4和2的距离之和．
【解题过程】
解：探索材料1（填空）：
3−−1=3+1=4，
6+3=6−−3的意义可理解为数轴上表示数6和−3这两点的距离；
x+4=x−−4的意义可理解为数轴上表示数x和−4这两点的距离；
故答案为：4，6，−3，x，−4．
探索材料2（填空）：
①由题知，
材料供应点P应设在A的左侧时，P到A的距离与P到B的距离之和PA+PB>AB；
材料供应点P应设在B的右侧时，P到A的距离与P到B的距离之和PA+PB>AB；
材料供应点P应设在A与B之间，才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小为AB；
②材料供应点P应设在B处时，P到A，B，C三点的距离之和为AB最小；
③材料供应点P应设在BC之间，才能使P到A，B，C，D四点的距离之和为AD+BC最小；
故答案为：A与B之间，B处，BC之间．
结论应用（填空）：
①代数式x+3+|x−4|=x−−3+|x−4|表示x到−3的距离与x到4的距离之和，
∴ x+3+|x−4|的最小值是−3−4=7；
②代数式x+6+x+3+|x−2|=x−−6+x−−3+|x−2|表示x到−6的距离与x到−3与x到2的距离之和，
∴ x+6+x+3+|x−2|的最小值是−6−2=8；
③代数式x+7+x+4+|x−2+x−5|=x−−7+x−−4+|x−2+x−5|表示x到−7的距离与x到−4与x到2与x到5的距离之和，
x+7+x+4+|x−2+x−5|的最小值是−7−5+−4−2=18．
故答案为：7，8，18．
22．（9分）（23-24七年级上·浙江杭州·期中）【阅读理解】
若A，B，C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是A,B的“妙点”．例如，如图1，点A表示的数为−1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是A,B的“妙点”.又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是A,B的“妙点”，但点D是B,A的“妙点”．
【知识应用】
如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为−2，点N所表示的数为4．
（1）数3 (填“是”或“不是”）M,N的“妙点”，数2 (填“是”或“不是”） N,M的“妙点”.
（2）若数轴上有一点Q表示的数是x，且点Q是N,M的妙点，求x的值.
（3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为−40，点B所表示的数为20．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，点P，A和B中恰有一个点为其余两点的“妙点”？（请直接写出答案）
【思路点拨】
本题考查了数轴及有理数在数轴上的表示，两点之间的距离，绝对值及有理数的绝对值，一元一次方程的实际应用．
（1）根据题意直接计算3和2到点M、N的距离即可判断；
（2）根据题意可得2×x−−2=x−4，两边同时平方再解方程即可；
（3）根据题意可求得t的取值范围为0≤t≤30，AB=60，PA=60−2t，PB=2t，然后分别列出P，A和B分别为其余两点的“妙点”时的方程求解即可．
【解题过程】
（1）解：∵ 点M所表示的数为−2，点N所表示的数为4，
数3到点M的距离为3−−2=5，到点N的距离为3−4=1，
1和5不是2倍关系，
∴数3不是M,N的“妙点”；
数2到点M的距离为2−−2=4，到点N的距离为2−4=2，
∴数2是M,N的“妙点”，不是N,M的“妙点”，
故答案为：不是，不是．
（2）解：∵点Q是N,M的妙点，
∴2×x−−2=x−4，
当−2当x<−2时，有2×−x−2=4−x，解得x=8，
∴x的值为0或−8；
（3）解：由题可知：AB=−40−20=60，
∵电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止，
∴0≤t≤AB2即0≤t≤30，
PA=AB−2t=60−2t，PB=2t，
①P为A,B“妙点”时，则60−2t=2×2t
∴t=10；
②P为B,A“妙点”时，则260−2t=2t，
∴t=20；
③A为P,B“妙点”时，则60−2t=2×60，
∴t=−30（舍去）；
④A为B,P“妙点”时，则260−2t=60，
∴t=15；
⑤B为P,A“妙点”时，则2t=2×60，
∴t=60（舍去）；
⑥B为A,P“妙点”时，则2×2t=60，
∴t=15；
∴t=10，15，20时，点P，A和B中恰有一个点为其余两点的“妙点”．
23．（9分）（23-24七年级上·全国·期末）如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是−1，B点对应的数是8，C是线段AB上一点，满足ACBC=54．
（1）求C点对应的数；
（2）动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒．
①当MN=4时，求t的值；
②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当PM=2PN时，请直接写出t的值．
【思路点拨】
（1）根据A点，B点对应的数，得到AB=9，根据AC与BC的比值，得到AC=5，BC=4，得到C点对应的数是8−4=4；
（2）①当M、N未相遇， M表示的数是−1+2t， N表示的数是8−t，得到8−t−−1+2t=4，解得t=53；当M、N相遇后，M在BC上运动，M表示的数是4+2t−52−2=2t−5， N表示的数是8−t，得到2t−5−8−t=4，解得t=173；②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是4−3t，M表示的数是−1+2t，N表示的数是8−t，得到4−3t−−1+2t=28−t−4−3t，解得t=−13，此种情况不存在；当P与M第一次相遇后，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是4−3×1+3t−1=3t−2，得到3t−2−−1+2t=28−t−3t−2，解得t=73；当P与N相遇后，未与M第二次相遇时，P表示的数是8−2.5−3t−2.5=13−3t，13−3t−4=28−t−13−3t，解得t=197；当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是13−3t， M表示的数是4，得到4−13−3t=28−t−13−3t，解得t=1，根据2.5本题主要考查了数轴上动点问题，熟练掌握数轴上动点表示的数，两点间的距离公式，相遇与追及问题，列代数式，列方程，分类考虑动点的位置，是解题关键．
【解题过程】
（1）∵A点对应的数是−1，B点对应的数是8，
∴AB=8+1=9，
∵ACBC=54，
∴AC=5，BC=4，
∴C点对应的数是8−BC=8−4=4，
答：C点对应的数是4；
（2）①∵运动t秒时，MN=4
当M、N未相遇，则M在AC上运动，M表示的数是−1+2t，N在BC上运动，N表示的数是8−t，
∴8−t−−1+2t=4，
解得t=53，
当M、N相遇后，M在BC上运动，M表示的数是4+2t−52−2=2t−5，N在AC上运动，N表示的数是8−t，
∴2t−5−8−t=4，
解得t=173，
综上所述，t的值为53或173；
②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是4−3t，M表示的数是−1+2t，N表示的数是8−t，
∵PM=2PN
∴4−3t−−1+2t=28−t−4−3t，
解得t=−13（舍去），此种情况不存在，
由已知得，P与M在t=1时第一次相遇，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是4−3×1+3t−1=3t−2，
∴3t−2−−1+2t=28−t−3t−2，
解得t=73，
由已知可知，当P与M在表示1的点处相遇，此时N运动到表示7的点处，再经过7−13+1=1.5秒，即t=2.5时，P与N相遇，此时M正好运动到C，P与N相遇后又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动，未与M第二次相遇，此时P表示的数是8−2.5−3t−2.5=13−3t，
∴13−3t−4=28−t−13−3t，
解得t=197，
当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是13−3t，M在C点处，M表示的数是4，
次情况2.5∴4−13−3t=28−t−13−3t，
解得t=1，不合，
∴这种情况不存在，
当P运动到A后，若N为PM的中点，此时PM=2PN，
∴−1+2t−5=28−t，
解得t=5.5，
综上所述，t的值为73，或197，或5.5．
题号
一
二
三
总分
得分
评卷人
得 分


城市
新西兰南岛
墨西哥
时差/时
+3
-14
日期
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
低强度
8
6
6
5
4
高强度
12
13
15
12
8
休息
0
0
0
0
0
评卷人
得 分


评卷人
得 分