初中人教版（2024）1.2.2 数轴随堂练习题

这是一份初中人教版（2024）1.2.2 数轴随堂练习题，共47页。试卷主要包含了 不重；， 按同一标准划分；， 逐级分类，5，，5时，求点Q到原点O的距离；等内容，欢迎下载使用。
数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合。
分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：
1. 不重（互斥性）不漏（完备性）；
2. 按同一标准划分（同一性）；
3. 逐级分类（逐级性）。
典例分析

【典例1】如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是−1，B点对应的数是8，C是线段AB上一点，满足ACBC=54．
（1）求C点对应的数；
（2）动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒．
①当MN=4时，求t的值；
②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当PM=2PN时，请直接写出t的值．
【思路点拨】
（1）根据A点，B点对应的数，得到AB=9，根据AC与BC的比值，得到AC=5，BC=4，得到C点对应的数是8−4=4；
（2）①当M、N未相遇， M表示的数是−1+2t， N表示的数是8−t，得到8−t−−1+2t=4，解得t=53；当M、N相遇后，M在BC上运动，M表示的数是4+2t−52−2=2t−5， N表示的数是8−t，得到2t−5−8−t=4，解得t=173；②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是4−3t，M表示的数是−1+2t，N表示的数是8−t，得到4−3t−−1+2t=28−t−4−3t，解得t=−13，此种情况不存在；当P与M第一次相遇后，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是4−3×1+3t−1=3t−2，得到3t−2−−1+2t=28−t−3t−2，解得t=73；当P与N相遇后，未与M第二次相遇时，P表示的数是8−2.5−3t−2.5=13−3t，13−3t−4=28−t−13−3t，解得t=197；当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是13−3t， M表示的数是4，得到4−13−3t=28−t−13−3t，解得t=1，根据2.50秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当S=12时，求此时t的值．
15．（23-24七年级上·河南郑州·期中）阅读下面的材料：
如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB，线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB=b−a．
请用上面的知识解答下面的问题：
如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2cm到达A点，再向左移动3cm到达B点，然后向右移动9cm到达C点，用1个单位长度表示1cm．
（1）请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置：
（2）点C到点A的距离CA=______cm；若数轴上有一点D，且AD=5，则点D表示的数为_________；
（3）若将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为_____；（用代数式表示）
（4）若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动，设移动时间为t秒，试探索：AC−AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．
16．（24-25七年级上·全国·假期作业）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．
探索“折线数轴”：素材1 如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示−9，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为AD=45．
素材2 动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的两倍．经过点C后立刻恢复初始速度．
问题解决：探索1 ：动点P从点A运动至点B需要多少时间？
探索2 ： 动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）；
探索3 ：动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足PB+PC=16时，求动点P运动的时间．
17．（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图1，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b,a,b满足a−20+b+62=0，点O是数轴原点．
（1）点A表示的数为______，点B表示的数为______，线段AB的长为______；
（2）若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在数轴上找一点C，使AC=3BC，则点C在数轴上表示的数为______；
（3）在图1基础上，将一根长度为6个单位的木棒放在数轴上（如图2）．木棒的右端与数轴上的B点重合，以每秒2个单位长度的速度向点A移动；木棒出发6秒后，动点P从B点出发，以每秒3个单位长度的速度向点A移动；且当点P到达A点时，木棒与点P同时停止移动．设点P移动的时间为t秒，当t为多少时，P点恰好距离木棒2个单位长度？
18．（22-23七年级上·云南红河·期末）如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒2π个单位．

（1）若大圆沿数轴向右滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是______；
（2）若大圆不动，小圆沿数轴来回滚动，规定小圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：−1，+2，−4，−2，+3，−7；当小圆结束运动时，小圆运动的路程是多少？（结果保留π）
（3）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距8π，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数．
专题1.2 数轴中的动点问题
思想方法
数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合。
分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：
1. 不重（互斥性）不漏（完备性）；
2. 按同一标准划分（同一性）；
3. 逐级分类（逐级性）。
典例分析

【典例1】如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是−1，B点对应的数是8，C是线段AB上一点，满足ACBC=54．
（1）求C点对应的数；
（2）动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒．
①当MN=4时，求t的值；
②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当PM=2PN时，请直接写出t的值．
【思路点拨】
（1）根据A点，B点对应的数，得到AB=9，根据AC与BC的比值，得到AC=5，BC=4，得到C点对应的数是8−4=4；
（2）①当M、N未相遇， M表示的数是−1+2t， N表示的数是8−t，得到8−t−−1+2t=4，解得t=53；当M、N相遇后，M在BC上运动，M表示的数是4+2t−52−2=2t−5， N表示的数是8−t，得到2t−5−8−t=4，解得t=173；②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是4−3t，M表示的数是−1+2t，N表示的数是8−t，得到4−3t−−1+2t=28−t−4−3t，解得t=−13，此种情况不存在；当P与M第一次相遇后，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是4−3×1+3t−1=3t−2，得到3t−2−−1+2t=28−t−3t−2，解得t=73；当P与N相遇后，未与M第二次相遇时，P表示的数是8−2.5−3t−2.5=13−3t，13−3t−4=28−t−13−3t，解得t=197；当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是13−3t， M表示的数是4，得到4−13−3t=28−t−13−3t，解得t=1，根据2.50秒；
① 当PQ=7时，求t的值；
② 运动过程中，点M到P、Q两点的距离始终保持相等，试探究QC−43AM的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据点在数轴上的位置写出答案即可；
（2）①由题可得点P表示的数为−6−3t，点Q表示的数为4−6t，得到PQ=3t−10，由PQ=7得到3t−10=7，解方程即可得到答案；
②由点M到P、Q两点的距离始终保持相等得到点M表示的数是−1−92t，QC=6t，AM=−1−(−1−92t)=92t，则QC−43AM=6t−43×9t2=0，即可证明结论．
【解题过程】
（1）解：由数轴可知，点A表示的数为−1，点B表示的数为−6，点C表示的数为4；
故答案为：−1，−6，4
（2）①由题可得点P表示的数为−6−3t，点Q表示的数为4−6t，
∴PQ=−6−3t−(4−6t)=3t−10，
∵PQ=7，
∴3t−10=7，
∴t=1或t=173，
②不会随着t的变化而改变，理由如下：
由题可得点P表示的数为−6−3t，点Q表示的数为4−6t，点C表示的数是4，点A表示的数是−1，
∵点M到P、Q两点的距离始终保持相等，
∴点M表示的数是−6−3t+(4−6t)2=−1−92t，
∵QC=6t，AM=−1−(−1−92t)=92t
∴QC−43AM=6t−43×9t2=0，
即QC−43AM为定值．
8．（22-23七年级上·湖南长沙·期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长AB=2 (单位长度)，慢车长CD=4 (单位长度，设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点0为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是c.若快车AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且a、c分别是多项式−8x2+6x+16的二次项系数和常数项.

（1）求此时刻快车头A与慢车头C之间相距多少单位长度?
（2）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车的车头AC相距8个单位长度?
（3）此时在快车AB上有一位爱动脑筋的乘客——明德少年P，他发现行驶中有一段时间t秒钟，他的位置P到两列火车头AC的距离和加上到两列火车尾B,D的距离和是一个不变的值(即PA+PC+PB+PD为定值).你认为明德少年P发现的这一结论是否正确?若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由.
【思路点拨】
（1）根据题意，得到a,b的值，再利用数轴上两点之间的距离公式，即可解答；
（2）分类讨论，即相遇之前，相距8个单位；相遇之后，相距8个单位，分情况讨论即可解答；
（3）根据PA+PB=AB，P在CD之间时，PA+PB+PC+PD是一个定值，求出这个定值和此时的时间即可。
【解题过程】
（1）解：由题可知： a=−8,b=16
所以此刻快车头A与慢车头C之间的相距
|−8|+16=24（单位长度）
答：快车头A与慢车头C之间的相距个单位长度
（2）解：本题有两种可能，
第一种，相遇之前，相距8个单位
则列出算式：(24−8)÷(6+2)=2s
第二种，相遇之后，相距8个单位
则列出算式：(24+8)÷(6+2)=4s
答：在行驶2秒或4秒两列火车行驶到车头相距8个单位
（3）解：正确，理由如下：
因为人坐在快车上，所以， PA+PB=AB=2单位长度
当P在CD之间时，PC+PD=4（单位长度），此时t=4÷(6+2)=0.5s
此时，PA+PB+PC+PD=AB+CD=6单位长度
答：正确，这个时间为0.5秒，定值为6个单位长度
9．（23-24七年级上·广东广州·期中）若点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，我们把A、B两点之间的距离表示为AB，记AB=a−b，且a，b满足a−1+b+22=0．
（1）a= ；b= ；线段AB的长= ；
（2）点C在数轴上对应的数是c，且c与b互为相反数，在数轴上是否存在点P，使得PA+PB=PC?若存在，求出点P对应的数；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点B以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点A和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，t秒钟后，若点A和点C之间的距离表示为AC，点A和点B之间的距离表示为AB，那么AB−AC的值是否随着时间t的变化而变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出AB−AC的值．
【思路点拨】
（1）根据绝对值及平方的非负性，求出a，b的值，从而求出线段AB的长；
（2）设P对应的数为y，再由PA+PB=PC，可得出点P对应的数；
（3）根据A，B，C的运动情况即可确定AB，AC的变化情况，即可确定AB−AC的值．
【解题过程】
（1）∵a−1+b+22=0，
∴a−1=0， b+2=0，
解得：a=1，b=−2，
∴线段AB的长为：1−−2=3，
故答案为：1，−2，3；
（2）由（1）得：b=−2，
∴c=2，
设P对应的数为y，
由图知：
① P在A右侧时，不可能存在P点；
② P在B左侧时，1−y−2−y=2−y，
解得: y=−3，
③当P在A、B中间时，3=2−y，
解得: y=−1，
故点P对应的数是−3或−1；
（3）AB−AC的值不随着时间t的变化而变化，理由如下：
t秒钟后，A点位置为：1+4t，
∴B点的位置为: −2−t，C点的位置为: 2+9t，
∴AB=1+4t−−2−t=5t+3 AC=2+9t−1+4t=5t+1，
∴AB–AC=5t+3−5t+1=2，
∴AB−AC的值不随着时间t的变化而变化，值为2．
10．（23-24七年级上·广东广州·期中）阅读：如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是−18，−8，+8．A到C的距离可以用AC表示，计算方法：AC=+8−−18=26，或AC=−18−+8=26．根据阅读完成下列问题：

（1）填空：AB= ，BC= ．
（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探索：B到C的距离与A到B的距离的差（即BC−AB）的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由．
（3）现有动点P、Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向右移动，当点P移动6秒时，点Q才从A点出发，并以每秒2个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒（0≤t≤19），直接写出P、Q两点间的距离PQ（用含t的代数式表示）．
【思路点拨】
（1）根据数轴上两点间距离公式计算即可；
（2）根据题意求出点A，B，C向右移动后表示的数，然后根据数轴上两点间距离公式出表示AB，BC的值，最后再进行计算即可；
（3）分三种情况讨论，点Q在点A处，点P在点Q的右边，点Q在点P的右边；
本题考查了列代数式，数轴，熟练掌握用数轴上两点间距离表示线段长是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
【解题过程】
（1）AB=−18−−8=10，BC=−8−8=16，
故答案为：10，16；
（2）不变，理由：
因为：经过t秒后，A，B，C三点所对应的数分别是−18−t，−8+4t，8+9t，
所以：BC=8+9t−−8＋4t=16+5t，AB=−8+4t−−18−t=10+5t，
∵t≥0，
∴16+5t>0，10+5t>0，
∴16+5t=16+5t，10+5t=10+5t，
所以：BC−AB=16+5t−10＋5t=6，
所以BC−AB的值不会随着时间t的变化而改变；
（3）经过t秒后，P，Q两点所对应的数分别是−18+t，−18+2t−6，
当点Q追上点P时，−18+t−−18+2t−6=0，
解得：t=12，
①当0