初中数学人教版（2024）七年级上册第一章 有理数1.2 有理数1.2.1 有理数同步测试题

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册第一章 有理数1.2 有理数1.2.1 有理数同步测试题，共25页。
【典例1】在有理数的范围内，定义三个数之间的新运算“⊗”：a⊗b⊗c=a−b−c+a+b+c2，例如−1⊗2⊗3=−1−2−3+−1+2+32=5．
（1）计算：4⊗−2⊗+8；
（2）计算：3⊗−7⊗+113；
（3）已知 −67，−57，⋯，−17，0，19，29，⋯，89 这十五个数中．从中任取三个数作为 a，b，c 的值，进行“a⊗b⊗c”运算，直接写出所有计算结果中的最小值是 ．
【思路点拨】
（1）直接代入公式计算即可；
（2）直接代入公式计算即可；
（3）分析a−b−c为负数与非负数两种情况下的最小值，最后综合考虑即可．
【解题过程】
（1）原式=4−−2−8+4+−2+82
=6；
（2）原式=3−−7−113+3+−7+1132
=193+3+−7+1132
=3；
（3）当a−b−c为非负数时，
a⊗b⊗c= a−b−c+a+b+c2=a，
∴当a=−67时，a⊗b⊗c的最小值为−67；
当a−b−c为负数时，
a⊗b⊗c= −a+b+c+a+b+c2=b+c，
∴当b+c的值最小时，a⊗b⊗c的值最小；
∵a−b−c为负数，
∴a＜b+c，
由于a最小取−67，
∴b+c＞−67，
综上可得，a⊗b⊗c的最小值为−67．
学霸必刷
1．（23-24七年级上·广东广州·期末）定义新运算：对任意非零有理数a、b，有a⊕b=2ab，则1⊕3+2⊕4+3⊕5+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+17⊕19+18⊕20=（）
A．5338B．1C．120D．531380
2．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有x∗x=0，x∗(y∗z)=(x∗y)+z，这里“+”号表示数的加法，则2023∗2022的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（23-24七年级上·江西南昌·阶段练习）已知x表示不超过x的最大整数，如：4.7=4，−1.3=−2．现定义：x=x−x，如1.5=1.5−1.5=1−1.5=−0.5，则15.4+72−2.1= ．
4．（23-24七年级下·山西吕梁·期中）定义关于a，b的新运算：fa·b=fa−fba≤b，其中a，b为整数，且a·b为a与b的乘积，例如，f2=5，f3=4，f6=f2⋅3=f2−f3=1，若f4=1，则f1024的结果为 ．
5．（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）定义：分数nm（m，n为正整数且互为质数）的连分数（其中an为整数，且等式右边的每一个分数的分子都为1），记作：nm=1a1+1a2+⋯ 例如：719=1197=12+57=12+11+25=12+11+12+12...的连分数是12+11+12+12，记作719=12+11+12+12，则 =11+12+13．
6．（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+1；②当n为偶数时，结果为n2k（其中k是使运算结果为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n=25时，运算过程如图．若n=34，则第2024次“F运算”的结果是 ．
7．（23-24七年级上·重庆·期中）定义一种新运算：对于任意实数a、b，满足a,b=a−2ba≤bb−2aa>b，当a=1，b=2时，a,b的最大值为 ．
8．（23-24七年级上·河南洛阳·阶段练习）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b=a×b+2×a．
（1）求2⊕(−1)的值；
（2）求(−3)⊕−4⊕12的值；
（3）试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“⊕”是否具有交换律？请写出你的探究过程．
9．（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读下列材料，并解答问题：定义一种新运算：a★b★c=a−b+c−a+b−cc（等号右边是常规的有理数加减法则运算），例如： −2★−1★3=−2−−1+3−−2+−1−33=−2+1+3−−2−1−33=2−−63=83
（1）计算：−5★3★4；
（2）计算：−4★−45★2．
10．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）如果10b=n，那么称b为n的劳格数，记为b=d(n)，由定义可知：10b=n与b=d(n)所表示的是b、n两个量之间的同一关系．
（1）根据劳格数的定义，填空：d(10)= ，d(100)= ；
（2）劳格数有如下运算性质：若m、n为正数，则d(mn)=d(m)+d(n)，d(mn)=d(m)−d(n)．根据运算性质，填空：
①d(a3)d(a)= （a为正数），
②若d(2)=0.3010，则d(4)= ，d(5)= ，d(8)= ．
11．（23-24七年级上·江西景德镇·期中）材料一：对任意有理数a，b定义运算“⊗”，a⊗b=a+b−20232，如：1⊗2=1+2−20232，1⊗2⊗3=1+2−20232+3−20232=−2017．
材料二：规定a表示不超过a的最大整数，如3.1=3，−2=−2，−1.3=−2．
（1）2⊗6 =______，−ππ=______；
（2）求1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023的值：
（3）若有理数m，n满足m=2n=3n+1，请直接写出m⊗m+n的结果．
12．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2、−3÷−3÷−3÷−3等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作23，读作“2的下3次方”， −3÷−3÷−3÷−3记作−34，读作“−3的下4次方”一般地，把a÷a÷……÷a÷aa≠0记作an，读作“a的下n次方”．
（1）直接写出计算结果：23= ______，123=______．
【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
例如：24=2÷2÷2÷2=2×12×12×12=122．
（2）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式：26= ，−137= ；
（3）将一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：an=______．
（4）【结论应用】计算：122÷−134×−26−−136÷33．
13．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）探究规律，完成相关题目：
小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”
然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
(+5)※(+2)=+7；(−3)※(−5)=+8；
(−3)※(+4)=−7；(+5)※(−6)=−11；
(0)※(+8)=8；(0)※(−8)=8；(−6)※(0)=6；(+6)※(0)=6．
小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．”
聪明的你也明白了吗？
（1）观察以上式子，类比计算：
①−12※−15= ，−23※+1= ；
（2）计算：(−2)※[0※(−1)]；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤）
（3）若1−a※b−3=0．计算：1a×b+1a+2×b+2+1a+4×b+4+1a+6×b+6+1a+8×b+8的值．
14．（23-24七年级上·浙江台州·期中）定义：对于任意的有理数a，ba≠b，a⊕b=12(|a−b|+a+b)
（1）探究性质：
①例：3⊕2=_________；2⊕3=_________；−3⊕2=_________；−3⊕−2=________；
②可以再举几个例子试试，你有什么发现吗？请用含a，b的式子表示出a⊕b的一般规律；
（2）性质应用：
①运用发现的规律求【−92.5⊕16.33】⊕【−33.8⊕−4】的值；
②将−11，−10，−9，−8……，7，8这20个连续的整数，任意分为10组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，求出a⊕b，10组数代入后可求得10个a⊕b的值，则这10个值的和的最小值是 ．
15．（23-24七年级上·湖南益阳·期中）定义新运算：a∗b=1a−1b，a⊗b=1ab（右边的运算为平常的加、减、乘、除）．
例如:3∗7=13−17=421，3⊗7=13×7=121．
若a⊗b=a∗b，则称有理数a，b为“隔一数对”．
例如：2⊗3=12×3=16，2∗3=12−13=16，2⊗3=2∗3，所以2，3就是一对“隔一数对”．
（1）下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号）
①a=1，b=2；②a=−43，b=−13；③a=−1，b=1．
（2）计算：−3∗4−−3⊗4+−2023∗−2023．
（3）已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．
计算：1⊗2+2⊗3+3⊗4+4⊗5+⋯+2020⊗2021．
16．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）将两个数轴平行放置，并使二者的刻度数上下对齐，再将两个数轴的原点连接起来，就构成一个“双轴系”．定义“双轴系”中两个点A、B的距离．如果A、B两点在同一个数轴上，则二者之间的距离定义和通常的距离一致，AB=a−b，如果A、B两点分别位于两个数轴上，定义AB=a−b+1．

利用“双轴系”定义一种“有向数”，记号是在通常数的右边加上“↑”或“↓”，例如，“2↑”表示上层数轴中表示数“2”的点，“−3↓”表示下层数轴中表示数“−3”的点，“0↑”“0↓”分别表示上下两个数轴的原点．
（1）在双轴系中3↑与5↑的距离为：______，2↑与−3↓的距离为________；
（2）在（1）的假设下，现有只电子蚂蚁甲从“0↑”所表示的点出发不断跳跃，依次跳至1↑、12↑、13↑、23↑、14↑、12↑、34↑、15↑、25↑、…，另有一只电子蚂蚁乙从“0↓”所表示的点出发，然后跳跃到1↓，接着又跳回0↓其后再次跳到1↓，下一步又跳回0↓，按此规律在0↓和1↓之间来回跳动．假设两只蚂蚁同时跳跃同时落下，步调一致．
①当蚂蚁甲第3次跳到12↑所表示的点时，请问此时蚂蚁甲共跳跃了多少次？
②当甲乙两只蚂蚁的距离为1110时，请直接写出3个符合条件的跳跃次数．
专题2.3 有理数中的新定义问题
典例分析

【典例1】在有理数的范围内，定义三个数之间的新运算“⊗”：a⊗b⊗c=a−b−c+a+b+c2，例如−1⊗2⊗3=−1−2−3+−1+2+32=5．
（1）计算：4⊗−2⊗+8；
（2）计算：3⊗−7⊗+113；
（3）已知 −67，−57，⋯，−17，0，19，29，⋯，89 这十五个数中．从中任取三个数作为 a，b，c 的值，进行“a⊗b⊗c”运算，直接写出所有计算结果中的最小值是 ．
【思路点拨】
（1）直接代入公式计算即可；
（2）直接代入公式计算即可；
（3）分析a−b−c为负数与非负数两种情况下的最小值，最后综合考虑即可．
【解题过程】
（1）原式=4−−2−8+4+−2+82
=6；
（2）原式=3−−7−113+3+−7+1132
=193+3+−7+1132
=3；
（3）当a−b−c为非负数时，
a⊗b⊗c= a−b−c+a+b+c2=a，
∴当a=−67时，a⊗b⊗c的最小值为−67；
当a−b−c为负数时，
a⊗b⊗c= −a+b+c+a+b+c2=b+c，
∴当b+c的值最小时，a⊗b⊗c的值最小；
∵a−b−c为负数，
∴a＜b+c，
由于a最小取−67，
∴b+c＞−67，
综上可得，a⊗b⊗c的最小值为−67．
学霸必刷
1．（23-24七年级上·广东广州·期末）定义新运算：对任意非零有理数a、b，有a⊕b=2ab，则1⊕3+2⊕4+3⊕5+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+17⊕19+18⊕20=（）
A．5338B．1C．120D．531380
【思路点拨】
本题考查了有理数的混合运算，整式—数字规律找到运算规律（21×3=1−13;22×4=12−14;23×5=13−15⋯）是解题关键．
【解题过程】
解∶原式=21×3+22×4+23×5+⋯ +217×19+218×20
=1−13+12−14+13−15+⋯+117 −119+118−120
=1+12−119−120
=531380
故选：D．
2．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有x∗x=0，x∗(y∗z)=(x∗y)+z，这里“+”号表示数的加法，则2023∗2022的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【思路点拨】
本题主要考查了有理数的加减计算，先根据题意将所求式子变形为2023∗2022+2022−2022，则2023∗2022∗2022−2022，再根据2023∗2023=2022∗2022=0可进一步将原式变形为2023∗2023+2023−2022，据此可得答案．
【解题过程】
解：∵x∗x=0，x∗(y∗z)=(x∗y)+z，
∴2023∗2022
=2023∗2022+2022−2022
=2023∗2022∗2022−2022
=2023∗0−2022
=2023∗2023∗2023−2022
=2023∗2023+2023−2022
=0+2023−2022
=1，
故选A．
3．（23-24七年级上·江西南昌·阶段练习）已知x表示不超过x的最大整数，如：4.7=4，−1.3=−2．现定义：x=x−x，如1.5=1.5−1.5=1−1.5=−0.5，则15.4+72−2.1= ．
【思路点拨】
根据题意可得15.4+72−2.1=15.4−15.4+72−72−2.1−2.1，进行计算即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：
15.4+72−2.1
=15.4−15.4+72−72−2.1−2.1
=15−15.4+3−72−2−2.1
=−0.8，
故答案为：−0.8．
4．（23-24七年级下·山西吕梁·期中）定义关于a，b的新运算：fa·b=fa−fba≤b，其中a，b为整数，且a·b为a与b的乘积，例如，f2=5，f3=4，f6=f2⋅3=f2−f3=1，若f4=1，则f1024的结果为 ．
【思路点拨】
本题考查了新定义．根据fa·b=fa−fba≤b可依次推导出f16=0，f256=0，然后根据f1024=f4⋅256即可求解．
【解题过程】
解：∵f4=1，
∴f16=f4⋅4=f4−f4=0，
∴f256=f16⋅16=f16−f16=0，
∴f1024=f4⋅256=f4−f256=1−0=1．
故答案为：1．
5．（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）定义：分数nm（m，n为正整数且互为质数）的连分数（其中an为整数，且等式右边的每一个分数的分子都为1），记作：nm=1a1+1a2+⋯ 例如：719=1197=12+57=12+11+25=12+11+12+12...的连分数是12+11+12+12，记作719=12+11+12+12，则 =11+12+13．
【思路点拨】
本题考查新定义连分数的化简，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答问题．根据连分数的定义列式计算即可解答．
【解题过程】
解：11+12+13=11+12+13=11+173=11+37=1107=710．
故答案为：710．
6．（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+1；②当n为偶数时，结果为n2k（其中k是使运算结果为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n=25时，运算过程如图．若n=34，则第2024次“F运算”的结果是 ．
【思路点拨】
本题考查了整数的奇、偶性的新定义问题，通过若干次得出循环是解题关键．按新定义运算法则，分别计算第一次到第九次运算结果可得出循环规律即可求解．
【解题过程】
由题意可知，当n=34时，历次运算的结果是∶
342=17,3×17+1=52,5222=13,
13×3+1=40,4023=5,
3×5+1=16,1624=1,3×1+1=4 ,422=1…,
故规律为：17→52→13→40→5→16→1→4 →1…
即从第七次开始1和4出现循环，偶数次为4，奇数次为1，
∴当n=34时，第2024次“F运算”的结果是4．
故答案为：4．
7．（23-24七年级上·重庆·期中）定义一种新运算：对于任意实数a、b，满足a,b=a−2ba≤bb−2aa>b，当a=1，b=2时，a,b的最大值为 ．
【思路点拨】
本题为新定义问题，考查了绝对值的意义，有理数混合运算，有理数的大小比较等知识．根据绝对值的意义求出a=±1，b=±2，再分a=1，b=2、a=1，b=−2、a=−1，b=2、a=−1，b=−2分别求出a,b的值，比较大小，即可求解．
【解题过程】
解：∵a=1，b=2，
∴a=±1，b=±2，
∴当a=1，b=2时，a,b=1−2×2=1−4=−3；
当a=1，b=−2时，a,b=−2−2×1=−2−2=−4；
当a=−1，b=2时，a,b=−1−2×2=−1−4=−5；
当a=−1，b=−2时，a,b=−2−2×−1=2−2=0．
∵−5a；
（2）解：①【−92.5⊕16.33】⊕【−33.8⊕−4】
=16.33⊕−4
=16.33；
②不妨设a>b，则代数式中绝对值符号可直接去掉，
∴代数式等于a，
a为偶数，b=a−1
最小值=−10+−8+−6+−4+−2+0+2+4+6+8=−10，
故答案为：−10．
15．（23-24七年级上·湖南益阳·期中）定义新运算：a∗b=1a−1b，a⊗b=1ab（右边的运算为平常的加、减、乘、除）．
例如:3∗7=13−17=421，3⊗7=13×7=121．
若a⊗b=a∗b，则称有理数a，b为“隔一数对”．
例如：2⊗3=12×3=16，2∗3=12−13=16，2⊗3=2∗3，所以2，3就是一对“隔一数对”．
（1）下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号）
①a=1，b=2；②a=−43，b=−13；③a=−1，b=1．
（2）计算：−3∗4−−3⊗4+−2023∗−2023．
（3）已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．
计算：1⊗2+2⊗3+3⊗4+4⊗5+⋯+2020⊗2021．
【思路点拨】
本题考查有理数的定义新运算，仔细审题，理解题干中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题关键．
（1）按照题干定义进行计算，判断是否满足条件即可；
（2）直接根据题目定义分别计算各项，然后再合并求解即可；
（3）根据定义进行变形和拆项，然后根据规律求解即可．
【解题过程】
（1）解：①a=1，b=2；
∵a∗b=11−12=12，a⊗b=11×2=12，
∴a⊗b=a∗b，则①是“隔一数对”；
②a=−43，b=−13；
∵a∗b=1−43−1−13=94，a⊗b=1−43×−13=94，
∴a⊗b=a∗b，则②是“隔一数对”；
③a=−1，b=1；
∵a∗b=1−1−11=−2，a⊗b=1−1×1=−1，
∴a⊗b≠a∗b，则③不是“隔一数对”；
故答案为：①②；
（2）解：根据定义，−3∗4−−3⊗4+−2023∗−2023
=1−3−14−1−3×4+1−2023−1−2023
=1−3−14−1(−3)×4+0
=−712+112
=−12；
（3）解：根据定义，1⊗2+2⊗3+3⊗4+4⊗5+⋯+2020⊗2021
=1∗2+2∗3+3∗4+4∗5+⋯+2020∗2021
=11−12+12−13+13−14+14−15+⋯+12020−12021
=1−12021
=20202021．
16．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）将两个数轴平行放置，并使二者的刻度数上下对齐，再将两个数轴的原点连接起来，就构成一个“双轴系”．定义“双轴系”中两个点A、B的距离．如果A、B两点在同一个数轴上，则二者之间的距离定义和通常的距离一致，AB=a−b，如果A、B两点分别位于两个数轴上，定义AB=a−b+1．

利用“双轴系”定义一种“有向数”，记号是在通常数的右边加上“↑”或“↓”，例如，“2↑”表示上层数轴中表示数“2”的点，“−3↓”表示下层数轴中表示数“−3”的点，“0↑”“0↓”分别表示上下两个数轴的原点．
（1）在双轴系中3↑与5↑的距离为：______，2↑与−3↓的距离为________；
（2）在（1）的假设下，现有只电子蚂蚁甲从“0↑”所表示的点出发不断跳跃，依次跳至1↑、12↑、13↑、23↑、14↑、12↑、34↑、15↑、25↑、…，另有一只电子蚂蚁乙从“0↓”所表示的点出发，然后跳跃到1↓，接着又跳回0↓其后再次跳到1↓，下一步又跳回0↓，按此规律在0↓和1↓之间来回跳动．假设两只蚂蚁同时跳跃同时落下，步调一致．
①当蚂蚁甲第3次跳到12↑所表示的点时，请问此时蚂蚁甲共跳跃了多少次？
②当甲乙两只蚂蚁的距离为1110时，请直接写出3个符合条件的跳跃次数．
【思路点拨】
（1）根据题干信息列出算式进行计算即可；
（2）①根据跳跃规律，找出蚂蚁甲第3次跳到12↑所表示的点时，蚂蚁跳跃的次数即可；
②设蚂蚁甲为x甲↑，蚂蚁乙为x乙↑，根据题意得出x甲−x乙=110，分两种情况：当跳跃次数为奇数次时，x乙↑=1↑，此时满足条件的蚂蚁甲跳跃的数为x甲↑=910↑；当跳跃次数为偶数次时，x乙↑=0↑，此时满足条件的蚂蚁甲跳跃的数为x甲↑=110↑，然后求出跳跃次数即可．
【解题过程】
（1）解：在双轴系中3↑与5↑的距离为：5−3=2；
2↑与−3↓的距离为：2−−3+1=6．
故答案为：2；6．
（2）解：①蚂蚁甲从“0↑”所表示的点出发不断跳跃，依次跳至1↑、12↑、13↑、23↑、14↑、12↑、34↑、15↑、25↑、35↑、45↑、16↑、13↑、12↑、23↑、56↑、17↑…，
∴蚂蚁甲第3次跳到12↑所表示的点时，蚂蚁甲共跳跃了14次；
②设蚂蚁甲为x甲↑，蚂蚁乙为x乙↑，根据题意得：
x甲−x乙+1=1110，
∴x甲−x乙=110，
当跳跃次数为奇数次时，x乙↑=1↑，此时满足条件的蚂蚁甲跳跃的数为x甲↑=910↑，
则蚂蚁甲跳跃的次数为：
1+1+2+3+4+5+6+7+8+9=1+9×92+1=46（次），
即此时蚂蚁甲跳跃的次数为偶数，不符合题意；
当跳跃次数为偶数次时，x乙↑=0↑，此时满足条件的蚂蚁甲跳跃的数为x甲↑=110↑，
蚂蚁甲第1次跳到110↑时，跳跃次数为：
1+1+2+3+4+5+6+7+8+1=1+8×82+1+1=38（次），
38是偶数，符合题意；
蚂蚁甲第2次跳到220↑=110↑时，跳跃次数为：
1+1+2+3+⋅⋅⋅+18+2=1+18×182+1+2=174（次），
174是偶数，符合题意；
蚂蚁甲第3次跳到330↑=110↑时，跳跃次数为：
1+1+2+3+⋅⋅⋅+28+3=1+28×282+1+3=410（次），
410是偶数，符合题意；
综上分析可知，当甲乙两只蚂蚁的距离为1110时，跳跃次数为38次、174次、410次．