高一数学下册期末考点大串讲(人教A版)第2讲正弦定理和余弦定理的应用(专题测试)特训（学生版+解析）

这是一份高一数学下册期末考点大串讲(人教A版)第2讲正弦定理和余弦定理的应用(专题测试)特训（学生版+解析），共18页。

1．（2020•长春二模）在△ABC中，C＝30°，csA＝﹣，AC＝﹣2，则AC边上的高为（ ）
A．B．2C．D．
2．（2020•南昌一模）台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫法）．控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD，在点E，F处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A处，通过击打母球，使其依次撞击点E，F处的目标球，最后停在点C处，若AE＝30cm，EF＝40cm，FC＝30cm，∠AEF＝∠CFE＝60°，则该正方形的边长为（ ）
A．40 cmB．15cmC．20cmD．10cm
3．（2019秋•濮阳期末）某船从A处向东偏北30°方向航行千米后到达B处，然后朝西偏南60°的方向航行6千米到达C处，则A处与C处之间的距离为（ ）
A．千米B．千米C．3千米D．6千米
4．（2020•漳州模拟）如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2019春•琼山区校级期中）在锐角三角形△ABC中，A、B、C成等差数列，b＝1，则a+c的取值范围（ ）
A．（1，2]B．（0，1）C．D．
6．（2020•南充模拟）如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈＝10尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子三尺远，问折断处离地面的高？（ ）
A．4.55尺B．5.45尺C．4.2尺D．5.8尺
7．（2020•襄城区校级模拟）在△ABC中，|AC|＝2，|AB|＝2，∠BAC＝120°，＝λ，＝μ，M为线段EF的中点，若||＝1，则λ+μ的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
8．（2019秋•湖北期末）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．已知大正方形边长为10，小正方形边长为2．设较小直角边a所对的角为α，则tanα的值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2020•辽宁一模）如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为（ ）
A．海里B．海里
C．海里D．40海里
10．（2020春•临淄区校级月考）某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31km的公路B处有一个人正沿着此公路向A走去，走20km到达D，此时测得CD距离为21km，若此人必须在20分钟内从D处到达A处，则此人的最小速度为（ ）
A．30km/hB．45km/hC．14km/hD．15km/h
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共4小题）
11．（2019秋•张家口月考）如图，为了测量两山顶D，C间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，在A位置时，观察D点的俯角为75°，观察C点的俯角为30°；在B位置时，观察D点的俯角为45°，观察C点的俯角为60°，且AB＝km，则C，D之间的距离为 km．
12．（2020•大武口区校级一模）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同立．甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何⋅”大意是说：“已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步⋅”请问乙走的步数是
13．（2020•海安市模拟）如图，已知两座建筑物AB，CD的高度分别为15m和9m，且AB＞BC＞CD，从建筑物AB的项部A看建筑物CD的张角为∠CAD，测得tan∠CAD＝，则B，C间的距离 m．
14．（2020•贵州模拟）如图所示，在山脚A测得山顶P的仰角为∠QAP＝45°，沿倾斜角为∠QAB＝15°的斜坡向上走146.4米到达B，在B测得山顶P的仰角为∠CBP＝60°，则山高PQ＝ 米．
（＝1.414，＝1.732，结果保留小数点后1位）
三．解答题（共3小题）
15．（2020•淮阴区模拟）如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝5千米，BC＝8千米，CD＝3千米．现甲、乙两管理员同时从A地出发匀速前往D地，甲的路线是AD，速度为6千米/小时，乙的路线是ABCD，速度为v千米/小时．
（1）若甲、乙两管理员到达D的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v的取值范围；
（2）已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到达D，且乙从A到D的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围．
16．（2019秋•黄浦区校级月考）如图，有一码头P和三个岛屿A，B，C，PC＝30nmile，PB＝90nmile，AB＝30nmile，∠PCB＝120°，∠ABC＝90°．
（1）求B，C两个岛屿间的距离；
（2）某游船拟载游客从码头P前往这三个岛屿游玩，然后返回码头P，问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程．
17．（2020春•启东市校级月考）某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯AC（AC＞5米）的C点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌DE．如图所示，广告牌底部点E正好为DC的中点，电梯AC的坡度∠CAB＝30°．某人在扶梯上点P处（异于点C）观察广告牌的视角∠DPE＝θ．当人在A点时，观测到视角∠DAE的正切值为．
（1）求扶梯AC的长；
（2）当某人在扶梯上观察广告牌的视角θ最大时，求CP的长．
必修5 第2讲 正弦定理和余弦定理的应用（专题测试）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2020•长春二模）在△ABC中，C＝30°，csA＝﹣，AC＝﹣2，则AC边上的高为（ ）
A．B．2C．D．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
由正弦定理有，，即，解得AB＝3，
∴，即，
∴，即AC边上的高为．
故选：C．
【点睛】本题考查三角恒等变换与解三角形的综合运用，涉及了正弦定理，三角形的面积公式等知识点，考查计算能力，属于基础题．
2．（2020•南昌一模）台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫法）．控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD，在点E，F处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A处，通过击打母球，使其依次撞击点E，F处的目标球，最后停在点C处，若AE＝30cm，EF＝40cm，FC＝30cm，∠AEF＝∠CFE＝60°，则该正方形的边长为（ ）
A．40 cmB．15cmC．20cmD．10cm
【解析】解：如图，连接AC交EF于点G，由对称性可知，，
在△AEG中，由余弦定理有，AG2＝AE2+EG2﹣2AE•EG•cs∠AEG＝，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的运用，考查计算能力，属于基础题．
3．（2019秋•濮阳期末）某船从A处向东偏北30°方向航行千米后到达B处，然后朝西偏南60°的方向航行6千米到达C处，则A处与C处之间的距离为（ ）
A．千米B．千米C．3千米D．6千米
【解析】解：设A处与C处之间的距离为x千米，
由余弦定理可得，则．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的解法，实际问题的解题方法，考查计算能力．
4．（2020•漳州模拟）如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC的值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】解：设BD＝a，则由题意可得：BC＝2a，AB＝AD＝a，
在△ABD中，由余弦定理得：csA＝＝＝，
∴sinA＝＝，
在△ABC中，由正弦定理得，＝，即＝，
解得：sinC＝，
故选：D．
【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．
5．（2019春•琼山区校级期中）在锐角三角形△ABC中，A、B、C成等差数列，b＝1，则a+c的取值范围（ ）
A．（1，2]B．（0，1）C．D．
【解析】解：根据题意，锐角三角形△ABC中，A、B、C成等差数列，即A+C＝2B，
则有B＝，
又由b＝1，则＝＝，则＝＝，则a＝sinA，c＝sinC，
则有a+c＝（sinA+sinC）＝[sinA+sin（﹣A）]＝[sinA+sincsA+cssinA）]＝×[sinA+csA]＝2sin（A+），
又由＜A＜，则＜A+＜，
则有＜a+c≤2，即a+c的取值范围为（，2]；
故选：C．
【点睛】本题考查正弦定理的应用以及三角函数的恒等变形，涉及等差数列的性质，属于基础题．
6．（2020•南充模拟）如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈＝10尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子三尺远，问折断处离地面的高？（ ）
A．4.55尺B．5.45尺C．4.2尺D．5.8尺
【解析】解：如图，已知AC+AB＝10（尺），BC＝3（尺），AB2﹣AC2＝BC2＝9，
所以（AB+AC）（AB﹣AC）＝9，解得AB﹣AC＝0.9，
因此，解得，
故折断后的竹干高为4.55尺，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形的勾股定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
7．（2020•襄城区校级模拟）在△ABC中，|AC|＝2，|AB|＝2，∠BAC＝120°，＝λ，＝μ，M为线段EF的中点，若||＝1，则λ+μ的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
【解析】解：建立如图所示坐标系；
则A（0，0），C（2，0），B（﹣1，）；
∵＝λ，＝μ，
∴E（﹣λ，λ），F（2μ，0）；
∴M（μ﹣，λ）；
∴||＝1⇒（μ﹣）2+＝1⇒μ2﹣λμ+λ2＝1；①
令λ+μ＝t，则λ＝t﹣μ代入①整理可得：3μ2﹣3μt+t2﹣1＝0；
△＝（﹣3t）2﹣4×3×（t2﹣1）≥0⇒﹣2≤t≤2；
∴λ+μ的最大值为2．
故选：C．
【点睛】本题主要考察三角形中的有关数据的求解，本题建立坐标系把问题给坐标化，属于中档题目．
8．（2019秋•湖北期末）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．已知大正方形边长为10，小正方形边长为2．设较小直角边a所对的角为α，则tanα的值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】解：由题意可得：a+2＝b，a2+b2＝102，
解得a＝6，b＝8．
∴tanα＝＝＝．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理、三角函数，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9．（2020•辽宁一模）如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为（ ）
A．海里B．海里
C．海里D．40海里
【解析】解：连接AB，
由题意可知CD＝40，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，
∴∠CAD＝45°，∠ADB＝60°，
在△ACD中，由正弦定理得，∴AD＝20，
在Rt△BCD中，
∵∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，
∴BD＝CD＝40．
在△ABD中，由余弦定理得AB＝＝20．
故选：A．
【点睛】本题考查了解三角形的应用，合理选择三角形，利用正余弦定理计算是关键，属于中档题．
10．（2020春•临淄区校级月考）某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31km的公路B处有一个人正沿着此公路向A走去，走20km到达D，此时测得CD距离为21km，若此人必须在20分钟内从D处到达A处，则此人的最小速度为（ ）
A．30km/hB．45km/hC．14km/hD．15km/h
【解析】解：如图，易知∠CAD＝25°+35°＝60°，BC＝31，BD＝20，CD＝21，
由余弦定理可得csB＝＝，∴sinB＝．
又在△ABC中，由正弦定理得：AC＝＝24．
由余弦定理得BC2＝AC2+AB2﹣2AC•ABcsA，即312＝AB2+242﹣2×AB×24cs60°，
∴AB2﹣24AB﹣385＝0，
解得：AB＝35或AB＝﹣11（舍去），
∴AD＝AB﹣BD＝35﹣20＝15（km）．
此人必须在20分钟内从D处到达A处，则此人的最小速度为45km/小时．
故选：B．
【点睛】此题考查了余弦定理，正弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握正弦、余弦定理的解本题的关键．
二．填空题（共4小题）
11．（2019秋•张家口月考）如图，为了测量两山顶D，C间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，在A位置时，观察D点的俯角为75°，观察C点的俯角为30°；在B位置时，观察D点的俯角为45°，观察C点的俯角为60°，且AB＝km，则C，D之间的距离为 km．
【解析】解：如上图所示：在A位置时，观察D点的俯角为75°，观察C点的俯角为30°；在B位置时，观察D点的俯角为45°，观察C点的俯角为60°，
所以∠DAC＝45°，∠CAB＝30°，∠ABD＝45°，∠DBC＝75°，
所以在△ABC中，利用三角形内角和定理解得∠ACB＝30°，所以△ABC为等腰三角形，
故AB＝BC＝，∠ABC＝120°，
所以在△ABC中，利用余弦定理AC2＝AB2+BC2﹣2•AB•BC•cs∠ABC，
解得．
在△ABD中，利用正弦定理，解得AD＝2，
在△ADC中利用余弦定理DC2＝AD2+AC2﹣2•AD•AC•cs∠DAC，
所以．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
12．（2020•大武口区校级一模）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同立．甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何⋅”大意是说：“已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步⋅”请问乙走的步数是
【解析】解：设甲、乙相遇经过的时间为x，如图：
则AC＝3x，AB＝10，BC＝7x﹣10，
∵A＝90°，∴BC2＝AB2+AC2，
即（7x﹣10）2＝102+（3x）2，
解得x＝或x＝0（舍去），
∴AC＝3x＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，画出图象是解题的关键，属于基础题．
13．（2020•海安市模拟）如图，已知两座建筑物AB，CD的高度分别为15m和9m，且AB＞BC＞CD，从建筑物AB的项部A看建筑物CD的张角为∠CAD，测得tan∠CAD＝，则B，C间的距离 12 m．
【解析】解：过A作AE∥BC，交CD的延长线于E，设∠EAD＝α，∠CAD＝β，
由题意可得，AB＝15，CD＝9，DE＝6，tanβ＝，AE＝BC＝x，
Rt△ADE中，tan，tanβ＝，
Rt△ABC中，∠BCD＝α+β，tan（α+β）＝＝，
整理可得，2x2﹣39x+180＝0，
解可得x＝12或x＝，
因为BC＞CD＝9，
故BC＝12，
故答案为：12．
【点睛】考查了解三角形的实际应用．解这类题的关键是建立数学模型，设出恰当的角．考查两角和与差的三角函数，考查计算能力．
14．（2020•贵州模拟）如图所示，在山脚A测得山顶P的仰角为∠QAP＝45°，沿倾斜角为∠QAB＝15°的斜坡向上走146.4米到达B，在B测得山顶P的仰角为∠CBP＝60°，则山高PQ＝ 282.8 米．
（＝1.414，＝1.732，结果保留小数点后1位）
【解析】解：∠PAB＝∠PAQ﹣∠BAQ＝45°﹣15°＝30°，∠APB＝∠QPA﹣∠CPA＝45°﹣（90°﹣60°）＝15°．
∠ABP＝180°﹣（∠PAB+∠APB）＝135°，
在△PAB中，由正弦定理得＝，
即AP＝＝＝＝＝，
PQ＝APsin∠PAQ＝×＝282.8（米）．
故答案为：282.8．
【点睛】本题考查解三角形，考查正弦定理的应用，考查转化思想与运算能力，属于中档题．
三．解答题（共3小题）
15．（2020•淮阴区模拟）如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝5千米，BC＝8千米，CD＝3千米．现甲、乙两管理员同时从A地出发匀速前往D地，甲的路线是AD，速度为6千米/小时，乙的路线是ABCD，速度为v千米/小时．
（1）若甲、乙两管理员到达D的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v的取值范围；
（2）已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到达D，且乙从A到D的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围．
【解析】解：（1）由题意，可得AD＝12千米．
由题可知|﹣|≤，解得≤v≤．
（2）经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f（t）．
由于先乙到达D地，故＜2，即v＞8．
①当0＜vt≤5，即0＜t≤时，
f（t）＝（6t）2+（vt）2﹣2×6t×vt×cs∠DAB＝（v2﹣v+36）t2．
因为v2﹣v+36＞0，所以当t＝时，f（t）取最大值，
所以（v2﹣v+36）×（）2≤25，解得v≥．
②当5＜vt≤13，即＜t≤时，
f（t）＝（vt﹣1﹣6t）2+9＝（v﹣6）2 （t﹣）2+9．
因为v＞8，所以＜，（v﹣6）2＞0，所以当t＝时，f（t）取最大值，
所以（v﹣6）2 （﹣））2+9≤25，解得≤v≤．
③当13≤vt≤16，≤t≤时，
f（t）＝（12﹣6t）2+（16﹣vt）2，
因为12﹣6t＞0，16﹣vt＞0，所以当f（t）在（，）递减，所以当t＝时，f（t）取最大值，
（12﹣6×）2+（16﹣v×）2≤25，解得≤v≤．
因为v＞8，所以8＜v≤．
【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，难度中等．
16．（2019秋•黄浦区校级月考）如图，有一码头P和三个岛屿A，B，C，PC＝30nmile，PB＝90nmile，AB＝30nmile，∠PCB＝120°，∠ABC＝90°．
（1）求B，C两个岛屿间的距离；
（2）某游船拟载游客从码头P前往这三个岛屿游玩，然后返回码头P，问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程．
【解析】解：（1）设BC＝xnmile，则由余弦定理可得，
∴x＝30nmile；
（2）由题意，AC＝60，PA＝30，
∴PA+AB+BC+CP＝60+30+30（nmile）．
【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查余弦定理的运用，属于中档题．
17．（2020春•启东市校级月考）某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯AC（AC＞5米）的C点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌DE．如图所示，广告牌底部点E正好为DC的中点，电梯AC的坡度∠CAB＝30°．某人在扶梯上点P处（异于点C）观察广告牌的视角∠DPE＝θ．当人在A点时，观测到视角∠DAE的正切值为．
（1）求扶梯AC的长；
（2）当某人在扶梯上观察广告牌的视角θ最大时，求CP的长．
【解析】解：（1）设|BC|＝a．∵∠CAB＝30°，则|AB|＝a．
tan∠EAB＝，tan∠DAB＝．
∴tan∠DAE＝＝tan（∠DAB﹣∠EAB）＝．化为：2b2﹣15b+25＝0，
解得b＝5或．
∵AC＞5．
∴b＝5．∴AC＝10．
（2）设＝k，A（﹣5，0），C（0，5）．
则P（5k﹣5，5k）．（0≤k≤1）．
作PF⊥BC，垂足为F点，则F（0，5k）．
∴tan∠DPF＝＝，tan∠EPF＝＝．
tanθ＝tan（∠DPF﹣∠EPF）＝＝＝f（k），
f′（k）＝，k＝时，
f（k）取得最大值，
CP＝＝10（1﹣k）＝5．
【点睛】本题考查和差公式、利用导数研究函数的单调性极值最值、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．