高一数学下册期末考点大串讲(人教A版)第1讲正弦定理和余弦定理(专题测试)特训（学生版+解析）

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1．（2020•4月份模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝，B＝，c＝3，则a＝（ ）
A．B．2C．3D．4
2．（2020•涪城区校级模拟）在△ABC中∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若a＝3，b＝4，∠C＝120°，则c＝（ ）
A．37B．13C．D．
3．（2020春•全国月考）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+2c＝2bcsA，则角B的大小为（ ）
A．B．C．D．
4．（2020•兴庆区校级一模）在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若b＝1，c＝，则S△ABC＝（ ）
A．B．C．D．
5．（2020•重庆模拟）在△ABC中，，BC＝2，则△ABC外接圆的面积为（ ）
A．πB．3πC．4πD．9π
6．（2020春•成都期中）在△ABC中，a＝2bcsC，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角D．等腰或直角三角形
7．（2020•汕头一模）△ABC中，角A，B，C所对应的分别为a，b，c，且（a+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，若a＝2，则△ABC的面积的最大值是（ ）
A．1B．C．2D．2
8．（2020•马鞍山二模）已知△ABC外接圆面积为π，csA＝﹣，则△ABC周长的最大值为（ ）
A．B．C．3D．
9．（2020•全国Ⅰ卷模拟）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，BC＝CD，则∠ADB的最大值为（ ）
A．B．C．D．
10．（2020•贵州模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c满足b2+c2﹣a2＝bc，a＝，则b+c的取值范围是（ ）
A．（1，）B．（]C．（）D．（]
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共4小题）
11．（2020•东莞市模拟）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若acsB＝bsinA，则B＝ ．
12．（2020•北京模拟）在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则csA＝ ，△ABC的面积为 ．
13．（2020•汉中模拟）在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝8，∠ABC＝120°，D为AC的中点，PD⊥平面ABC，且PD＝8，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为 ．
14．（2020•山东模拟）已知f（x）＝，A，B，C是锐角△ABC的三个内角，且）f（A﹣）＝，则A＝ ，若BC＝，sinB＝，则AC的长度为 ．
三．解答题（共3小题）
15．（2020•黑龙江模拟）设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知acsB＝bcsA+c，
（1）证明：△ABC是直角三角形．
（2）若D是AC边上一点，且CD＝3，BD＝5，BC＝6，求△ABD的面积．
16．（2020•房山区一模）在△ABC中，a＝，c＝，________．（补充条件）
（Ⅰ）求△ABC的面积；
（Ⅱ）求sin（A+B）．
从①b＝4，②csB＝﹣，③sinA＝这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
17．（2020•达州模拟）△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，（2a+c）csB+bcsC＝0．
（1）求B；
（2）若c＝2，B的角平分线BD＝1，求△ABC的面积S△ABC．
必修5 第1讲 正弦定理和余弦定理（专题测试）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2020•4月份模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝，B＝，c＝3，则a＝（ ）
A．B．2C．3D．4
【解析】解：∵A＝，B＝，
∴C＝，
∵c＝3，
由正弦定理可得，，
则a＝＝＝3．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正弦定理的简单应用，属于基础试题、
2．（2020•涪城区校级模拟）在△ABC中∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若a＝3，b＝4，∠C＝120°，则c＝（ ）
A．37B．13C．D．
【解析】解：因为a＝3，b＝4，∠C＝120°，
由余弦定理可得，c2＝a2+b2﹣2abcsC＝9＝37．
故c＝．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．
3．（2020春•全国月考）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+2c＝2bcsA，则角B的大小为（ ）
A．B．C．D．
【解析】解：因为a+2c＝2bcsA＝2b
整理可得，a2+c2﹣b2＝﹣ac，
由余弦定理可得，csB＝﹣
则B＝．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．
4．（2020•兴庆区校级一模）在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若b＝1，c＝，则S△ABC＝（ ）
A．B．C．D．
【解析】解：由余弦定理可得，csC＝，
即﹣＝，解可得a＝1，
则S△ABC＝＝＝．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式的简单应用，属于基础试题．
5．（2020•重庆模拟）在△ABC中，，BC＝2，则△ABC外接圆的面积为（ ）
A．πB．3πC．4πD．9π
【解析】解：设△ABC外接圆的半径为r，
由正弦定理可得：，可得r＝2．
可得△ABC外接圆的面积为4π．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，考查了圆的面积公式，属于基础题．
6．（2020春•成都期中）在△ABC中，a＝2bcsC，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角D．等腰或直角三角形
【解析】解：∵，
又∵csC＝，
∴＝，整理可得：b2＝c2，
∴解得：b＝c．即三角形一定为等腰三角形．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
7．（2020•汕头一模）△ABC中，角A，B，C所对应的分别为a，b，c，且（a+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，若a＝2，则△ABC的面积的最大值是（ ）
A．1B．C．2D．2
【解析】解：由（a+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，
利用正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c，
即a2＝b2+c2﹣bc，
所以由余弦定理可得：csA＝＝，
而A∈（0，π），
所以A＝；
因为a＝2，
所以可得：4＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，
即bc≤4，当且仅当b＝c＝2时，取等号，
所以S△ABC＝bcsinA≤×4×＝，即△ABC面积的最大值为 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
8．（2020•马鞍山二模）已知△ABC外接圆面积为π，csA＝﹣，则△ABC周长的最大值为（ ）
A．B．C．3D．
【解析】解：∵△ABC的外接圆面积为π，
∴△ABC的外接圆半径为1，
∵csA＝﹣，
∴由A∈（0，π），可得A＝，
∵＝2，
∴a＝2sinA＝，
∵由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccsA，可得3＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，
∴bc≤3，当且仅当b＝c＝等号成立，
∴可得3＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc，可得（b+c）2＝3+3bc≤12，解得b+c≤2，当且仅当b＝c＝等号成立，
∴△ABC周长a+b+c的最大值为3．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
9．（2020•全国Ⅰ卷模拟）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，BC＝CD，则∠ADB的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】解：设CD＝a，则AB＝2a，BC＝．
取AB的中点M，延长AB到N点，使BN＝a，连接CM，CN，
由平面几何知识，易知AD＝MC，BD＝NC．
设AD＝MC＝m，BD＝NC＝n．
在△MBC中，，
在△NBC中，，
∴m2+n2＝8a2，
在△ABD中，，
又2mn≤m2+n2＝8a2，
∴，
∴∠ADB的最大值为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查解三角形中的余弦定理，还涉及利用基本不等式求最值的问题，作出辅助线并利用互补的两个角的余弦值之和为0属于本题的难点，考查学生的分析能力和逻辑推理能力，属于中档题．
10．（2020•贵州模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c满足b2+c2﹣a2＝bc，a＝，则b+c的取值范围是（ ）
A．（1，）B．（]C．（）D．（]
【解析】解：∵b2+c2﹣a2＝bc，
∴csA＝＝＝，
∴由A∈（0，π），可得A＝，
∵由正弦定理可得：＝＝＝2，
∴b+c＝2sinB+2sinC
＝2sinB+2sin（﹣B）
＝2sinB+2（csB+sinB）
＝3sinB+csB
＝2sin（B+），
∵B+C＝，
∴B∈（0，），可得：B+∈（，），
∴sin（B+）∈（，1]，
∴b+c＝2sin（B+）∈（，2]，
故选：B．
【点睛】本题考查了正弦定理、和差公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二．填空题（共4小题）
11．（2020•东莞市模拟）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若acsB＝bsinA，则B＝ ．
【解析】解：∵acsB＝bsinA，
由正弦定理可得，sinAcsB＝sinBsinA，
由sinA＞0，
化简可得tanB＝，
∵0＜B＜π，
故B＝．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．
12．（2020•北京模拟）在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则csA＝ ，△ABC的面积为 ．
【解析】解：△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，
由余弦定理得，
csA＝＝＝．
所以sinA＝＝
S△ABC＝bcsinA＝×5×6×＝．
故答案为：；．
【点睛】本题考查了余弦定理和正弦定理的应用问题，是基础题．
13．（2020•汉中模拟）在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝8，∠ABC＝120°，D为AC的中点，PD⊥平面ABC，且PD＝8，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为 260π ．
【解析】解：在△ABC中，AB＝BC＝8，∠ABC＝120°，
所以△ABC的外接圆的半径，
结合图形分析：
圆心到D点的距离为4，
另设三棱锥P﹣ABC的外接球球心到平面ABC的距离为d，
设外接球的半径为R，则△O1OB中，82+d2＝R2，
直角梯形O1ODP中，PD2＝42+（8﹣d）2＝R2，
解得d＝1，R2＝65，
所以S＝4πR2＝260π，
故答案为：260π．
【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查空间想象能力和思维能力，考查计算能力，是中档题．
14．（2020•山东模拟）已知f（x）＝，A，B，C是锐角△ABC的三个内角，且）f（A﹣）＝，则A＝ ，若BC＝，sinB＝，则AC的长度为 2 ．
【解析】解：因为：f（x）＝sinx+csx＝2sin（ x+），
由 f（A﹣ ）＝，得：2sinA＝，
则sinA＝，
因为A为锐角，
故A＝，
由正弦定理可知：，即．
故答案为：，2．
【点睛】本题主要考查了两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
三．解答题（共3小题）
15．（2020•黑龙江模拟）设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知acsB＝bcsA+c，
（1）证明：△ABC是直角三角形．
（2）若D是AC边上一点，且CD＝3，BD＝5，BC＝6，求△ABD的面积．
【解析】解（1）由正弦定理acsB＝bcsA+c化为：
sinAcsB＝sinBcsA+sinC，
∴sinAcsB﹣sinBcsA＝sinC，∴sin（A﹣B）＝sinC，
∵A﹣B∈（﹣π，π），C∈（0，π），
∴A﹣B＝C或A﹣B＝π﹣C（舍）
∴A＝B+C，∴．即△ABC是直角三角形．
（2）在Rt△BCD中，CD＝3，BD＝5，BC＝6，由余弦定理得．∴．
∴，∴AD＝AC﹣CD＝，又 ．
∴．
【点睛】本题考查正余弦定理、三角函数的定义及三角恒等变换等知识方法．要注意对这种多个三角形的解三角形问题，先将条件集中在一个三角形中挖掘隐含条件．同时考查了学生的逻辑推理、数学运算以及直观想象等数学核心素养．
16．（2020•房山区一模）在△ABC中，a＝，c＝，________．（补充条件）
（Ⅰ）求△ABC的面积；
（Ⅱ）求sin（A+B）．
从①b＝4，②csB＝﹣，③sinA＝这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
【解析】解：选择①
（Ⅰ）在△ABC中，因为，，b＝4，
由余弦定理得，
因为C∈（0，π），所以
所以．
（Ⅱ）在△ABC中，A+B＝π﹣C．
所以．
选择②
（Ⅰ）因为，B∈（0，π），所以
因为，，所以
（Ⅱ）因为，，，
由b2＝a2+c2﹣2accsB，得，
解得b＝4，
由，解得，
在△ABC中，A+B＝π﹣C，
选择③
依题意，A为锐角，由得
在△ABC中，因为，，，
由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccsA，得
解得b＝2或b＝4，
（Ⅰ）当b＝2时，．
当b＝4时，．
（Ⅱ）由，，，，得
在△ABC中，A+B＝π﹣C，．
【点睛】本题考查利用正余弦定理求三角形，考查推理能力及计算能力，属于中档题．
17．（2020•达州模拟）△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，（2a+c）csB+bcsC＝0．
（1）求B；
（2）若c＝2，B的角平分线BD＝1，求△ABC的面积S△ABC．
【解析】解：（1）∵（2a+c）csB+bcsC＝0，
∴在△ABC中，由正弦定理得：（2sinA+sinC）csB+sinBcsC＝0，
∴2sinAcsB+sinCcsB+sinBcsC＝0，
∴2sinAcsB+sin（B+C）＝0．
∵A+B+C＝π，
∴2sinAcsB+sinA＝0．
∵A为三角形内角，
∴sinA≠0，
∴可得．
（2）在△ABC中，BD为角B的角平分线，
∵，
∴，
∵在△ABD中，，由余弦定理可得，
∴AB2＝BD2+AD2，△ABD为直角三角形，即BD⊥AC，
∴△ABC为等腰三角形，可得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．