高一数学下册期末考点大串讲(人教A版)第5讲数列求和(知识点串讲)特训（学生版+解析）

这是一份高一数学下册期末考点大串讲(人教A版)第5讲数列求和(知识点串讲)特训（学生版+解析），共13页。试卷主要包含了公式法，分组转化法，并项求和法，裂项相消法，倒序相加法，错位相减法，一些常见数列的前n项和公式等内容，欢迎下载使用。
1．公式法
直接利用等差、等比数列的求和公式求和．
（1）等差数列的前n项和公式
Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝na1＋eq \f(nn－1,2)d.
（2）等比数列的前n项和公式
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a11－qn,1－q)，q≠1.))
例1．一个球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是( )
A．100＋200(1－2－9) B．100＋100(1－2－9)
C．200(1－2－9)D．100(1－2－9)
2．分组转化法
把数列转化为几个等差、等比数列，再求解．分组转化法求和的常见类型：
(1)若an ＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和．
(2)通项公式为an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
3．并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
例2、(2019·山东青岛月考)已知数列{an}的前n项和Sn＝eq \f(n2＋n,2)，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．
[变式探究] 本例(2)中，求数列{bn}的前n项和Tn.
练习、 (2019·四川巴中质检)在等差数列{an}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{an＋bn}是首项为1，公比为q的等比数列，求{bn}的前n项和Sn.
4．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．裂项法求和在高考中经常考查，多以解答题的形式考查，并且往往出现在第二问，难度属中低档．
（1）常见的裂项公式
①eq \f(1,nn＋1)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)；
②eq \f(1,2n－12n＋1)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))；
③eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n).
（2）利用裂项相消法求和的注意事项
1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．
2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
3)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{an}是等差数列，则eq \f(1,anan＋1)＝eq \f(1,d)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)－\f(1,an＋1)))，eq \f(1,anan＋2)＝eq \f(1,2d)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)－\f(1,an＋2))).
考点一：形如an＝eq \f(1,n＋kn＋p)的数列求和
例3、(2019·山东威海月考)已知等差数列{an}中，2a2＋a3＋a5＝20，且前10项和S10＝100.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝eq \f(1,anan＋1)，求数列{bn}的前n项和．
考点2：形如an＝eq \f(1,\r(n＋k)＋\r(n)) 的数列求和
例4、(2019·皖北八校联考)已知函数f(x)＝xα的图象过点(4,2)，令an＝eq \f(1,fn＋1＋fn)，n∈N*. 记数列{an}的前n项和为Sn，则S 2 014＝( )
A．eq \r(2 013)－1 B．eq \r(2 014)－1
C．eq \r(2 015)－1D．eq \r(2 015)＋1
考点3：形如an＝eq \f(n＋1,n2n＋22)的数列求和
例5、(2019·山东淄博模拟)正项数列{an}的前n项和Sn满足：Seq \\al(2,n)－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn＝eq \f(n＋1,n＋22a\\al(2,n))，数列{bn}的前n项和为Tn.证明：对于任意的n∈N*，都有Tn0，S2＝2a2－2，S3＝a4－2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝eq \f(n,an)，求{bn}的前n项和Tn.
练习、已知数列{an}的前n项和Sn＝－eq \f(1,2)n2＋kn(其中k∈N*)，且Sn的最大值为8.
(1)确定常数k，并求an；
(2)设数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(9－2an,2n)))的前n项和为Tn，求证：Tn0，S2＝2a2－2，S3＝a4－2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝eq \f(n,an)，求{bn}的前n项和Tn.
解 (1)设等比数列{an}的公比为q，
因为S2＝2a2－2，①
S3＝a4－2，②
所以由①②两式相减得a3＝a4－2a2，
即q2－q－2＝0.
又因为q>0，所以q＝2.
又因为S2＝2a2－2，所以a1＋a2＝2a2－2，
所以a1＋a1q＝2a1q－2，
代入q＝2，解得a1＝2，所以an＝2n.
(2)由(1)得bn＝eq \f(n,2n)，
所以Tn＝eq \f(1,2)＋eq \f(2,22)＋eq \f(3,23)＋…＋eq \f(n－1,2n－1)＋eq \f(n,2n)，①
将①式两边同乘eq \f(1,2)，得
eq \f(1,2)Tn＝eq \f(1,22)＋eq \f(2,23)＋eq \f(3,24)＋…＋eq \f(n－1,2n)＋eq \f(n,2n＋1)，②
由①②两式错位相减得eq \f(1,2)Tn＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,23)＋eq \f(1,24)＋…＋eq \f(1,2n)－eq \f(n,2n＋1)＝eq \f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n)),1－\f(1,2))－eq \f(n,2n＋1)＝1－eq \f(1,2n)－eq \f(n,2n＋1)，整理得Tn＝2－eq \f(n＋2,2n).
练习、已知数列{an}的前n项和Sn＝－eq \f(1,2)n2＋kn(其中k∈N*)，且Sn的最大值为8.
(1)确定常数k，并求an；
(2)设数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(9－2an,2n)))的前n项和为Tn，求证：Tn