高一数学下册期末考点大串讲(人教A版)第1讲正弦定理和余弦定理(知识点串讲)特训（学生版+解析）

这是一份高一数学下册期末考点大串讲(人教A版)第1讲正弦定理和余弦定理(知识点串讲)特训（学生版+解析），共13页。试卷主要包含了正弦定理，三角形中常用的面积公式等内容，欢迎下载使用。

一、正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
考点1：利用正弦定理解三角形
例1．(2019·辽宁沈阳模拟)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝eq \f(π,6)，B＝eq \f(π,4)，a＝1，则b＝( )
A．2 B．1
C．eq \r(3) D．eq \r(2)
练习1．(2019·山东烟台模拟)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asin B＝eq \r(3)b，则角A＝________.
利用正弦定理可解决两类问题
考点2：利用余弦定理解三角形
例2．(2019·山东济南期中)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac，c＝2a，则cs C＝( )
A．eq \f(\r(2),4)B．－eq \f(\r(2),4)
C．eq \f(3,4)D．－eq \f(3,4)
练习2．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcs B＝acs C＋ccs A，则B＝________.
利用余弦定理可解决两类问题
考点3：判断三角形的形状
例3、设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcs C＋ccs B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不确定
[变式探究1] 本题1中，若将条件变为2sin Acs B＝sin C，判断△ABC的形状．
[变式探究2] 本题1中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cs Asin B＝sin C，判断△ABC的形状．
判定三角形形状的2种常用途径
二、三角形中常用的面积公式
1.三角形中常用的面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)ah(h表示边a上的高)；
(2)S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsinB＝eq \f(1,2)absin C；
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
2.在△ABC中常用结论
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(4)sin(A＋B)＝sinC；cs(A＋B)＝－csC；tan(A＋B)＝－tanC；sin eq \f(A＋B,2)＝cs eq \f(C,2)；cs eq \f(A＋B,2)＝sineq \f(C,2).
(5)tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.
(6)∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cs A(7)合比定理：eq \f(a,sin A)＝eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝2R.
(8)在锐角三角形中①A＋B＞eq \f(π,2)；②若A＝eq \f(π,3)，则eq \f(π,6)＜B，C＜eq \f(π,2).
考点4 求三角形的面积
例4、(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋eq \r(3)cs A＝0，a＝2eq \r(7)，b＝2.
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
练习4、(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________.
考点5 求解几何计算问题
例5、如图，在△ABC中，B＝eq \f(π,3)，BC＝2，点D在边AB上，AD＝DC，DE⊥AC，E为垂足．
(1)若△BCD的面积为eq \f(\r(3),3)，求AB的长；
(2)若DE＝eq \f(\r(6),2)，求角A的大小．
练习5、 (2018·北京卷)在△ABC中，a＝7，b＝8，cs B＝－eq \f(1,7).
(1)求∠A；
(2)求AC边上的高．
考点6三角函数求值问题
例6、(2018·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,6))).
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．
考点7解三角形综合问题
例7、(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.
(1)求cs∠ADB；
(2)若DC＝2eq \r(2)，求BC.
练习7、(2019·广东惠州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足(2b－c)cs A＝acs C.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝eq \r(13)，b＋c＝5，求△ABC的面积．
定理
正弦定理
余弦定理
内
容
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R
a2＝b2＋c2－2bccs A；
b2＝c2＋a2－2cacs B；
c2＝a2＋b2－2abcs C
变
形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
基本类型
一般解法
已知两角及其中一角的对边，如A，B，a
①由A＋B＋C＝180°，求出C；
②根据正弦定理，得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)及eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，求出边b，c.
已知两边及其中一边所对的角，如a，b，A
①根据正弦定理，经讨论求B；
②求出B后，由A＋B＋C＝180°，求出C；
③再根据正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，求出边c.
已知两边
和它们的
夹角，如
a，b，C
①根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcs C，求出边c；
②根据cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，求出A；
③根据B＝180°－(A＋C)，求出B.
已知三边
可以连续用余弦定理求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由A＋B＋C＝180°，求出第三个角；
由余弦定理求出一个角后，也可以根据正弦定理求出第二个角，但仍然是先求较小边所对的角.
第1讲 正弦定理和余弦定理
一、正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
考点1：利用正弦定理解三角形
例1．(2019·辽宁沈阳模拟)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝eq \f(π,6)，B＝eq \f(π,4)，a＝1，则b＝( )
A．2 B．1
C．eq \r(3) D．eq \r(2)
【答案】D [由正弦定理得b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(\f(\r(2),2),\f(1,2))＝eq \r(2).]
练习1．(2019·山东烟台模拟)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asin B＝eq \r(3)b，则角A＝________.
【答案】eq \f(π,3) [∵2asin B＝eq \r(3)b，∴2sin Asin B＝eq \r(3)sin B，得sin A＝eq \f(\r(3),2)，∴A＝eq \f(π,3)或A＝eq \f(2π,3)，∵△ABC为锐角三角形，∴A＝eq \f(π,3).]
利用正弦定理可解决两类问题
考点2：利用余弦定理解三角形
例2．(2019·山东济南期中)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac，c＝2a，则cs C＝( )
A．eq \f(\r(2),4)B．－eq \f(\r(2),4)
C．eq \f(3,4)D．－eq \f(3,4)
【答案】B [由题意得，b2＝ac＝2a2，即b＝eq \r(2)a，
∴cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(a2＋2a2－4a2,2a×\r(2)a)＝－eq \f(\r(2),4).]
练习2．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcs B＝acs C＋ccs A，则B＝________.
【答案】eq \f(π,3) [方法一 由2bcs B＝acs C＋ccs A及正弦定理，
得2sin Bcs B＝sin Acs C＋sin Ccs A.
∴2sin Bcs B＝sin(A＋C)．
又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.
∴2sin Bcs B＝sin(π－B)＝sin B.
又sin B≠0，∴cs B＝eq \f(1,2).∴B＝eq \f(π,3).
方法二 ∵在△ABC中，acs C＋ccs A＝b，
∴条件等式变为2bcs B＝b，∴cs B＝eq \f(1,2).
又0利用余弦定理可解决两类问题
考点3：判断三角形的形状
例3、设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcs C＋ccs B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不确定
【答案】B [由正弦定理得sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A． ∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝eq \f(π,2)，∴△ABC为直角三角形．]
[变式探究1] 本题1中，若将条件变为2sin Acs B＝sin C，判断△ABC的形状．
解 ∵2sin Acs B＝sin C＝sin(A＋B)，
∴2sin Acs B＝sin Acs B＋cs Asin B，
∴sin(A－B)＝0.
又A，B为△ABC的内角．
∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形．
[变式探究2] 本题1中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cs Asin B＝sin C，判断△ABC的形状．
解 ∵a2＋b2－c2＝ab，∴cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(1,2)，
又0故△ABC为等边三角形．
判定三角形形状的2种常用途径
二、三角形中常用的面积公式
1.三角形中常用的面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)ah(h表示边a上的高)；
(2)S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsinB＝eq \f(1,2)absin C；
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
2.在△ABC中常用结论
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(4)sin(A＋B)＝sinC；cs(A＋B)＝－csC；tan(A＋B)＝－tanC；sin eq \f(A＋B,2)＝cs eq \f(C,2)；cs eq \f(A＋B,2)＝sineq \f(C,2).
(5)tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.
(6)∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cs A(7)合比定理：eq \f(a,sin A)＝eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝2R.
(8)在锐角三角形中①A＋B＞eq \f(π,2)；②若A＝eq \f(π,3)，则eq \f(π,6)＜B，C＜eq \f(π,2).
考点4 求三角形的面积
例4、(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋eq \r(3)cs A＝0，a＝2eq \r(7)，b＝2.
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
解 (1)由已知可得tan A＝－eq \r(3)，所以A＝eq \f(2π,3).
在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccs eq \f(2π,3)，
即c2＋2c－24＝0，
解得c＝－6(舍去)，c＝4.
(2)由题设可得∠CAD＝eq \f(π,2)，
所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝eq \f(π,6).
故△ABD面积与△ACD面积的比值为
eq \f(\f(1,2)AB·AD·sin \f(π,6),\f(1,2)AC·AD)＝1.
又△ABC的面积为eq \f(1,2)×4×2sin∠BAC＝2eq \r(3)，
所以△ABD的面积为eq \r(3).
练习4、(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________.
【答案】eq \f(2\r(3),3) [∵bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，
∴由正弦定理得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C.
又sin Bsin C>0，∴sin A＝eq \f(1,2).
由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(8,2bc)＝eq \f(4,bc)>0，
∴cs A＝eq \f(\r(3),2)，bc＝eq \f(4,cs A)＝eq \f(8\r(3),3)，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×eq \f(8\r(3),3)×eq \f(1,2)＝eq \f(2\r(3),3).]
考点5 求解几何计算问题
例5、如图，在△ABC中，B＝eq \f(π,3)，BC＝2，点D在边AB上，AD＝DC，DE⊥AC，E为垂足．
(1)若△BCD的面积为eq \f(\r(3),3)，求AB的长；
(2)若DE＝eq \f(\r(6),2)，求角A的大小．
解 (1)∵△BCD的面积为eq \f(\r(3),3)，B＝eq \f(π,3)，BC＝2，
∴eq \f(1,2)×2×BD×sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),3)，∴BD＝eq \f(2,3).
在△BCD中，由余弦定理可得
CD＝eq \r(BC2＋BD2－2BC·BD·cs B)
＝eq \r(4＋\f(4,9)－2×2×\f(2,3)×\f(1,2))＝eq \f(2\r(7),3).
∴AB＝AD＋BD＝CD＋BD＝eq \f(2\r(7),3)＋eq \f(2,3)＝eq \f(2\r(7)＋2,3).
(2)∵DE＝eq \f(\r(6),2)，∴CD＝AD＝eq \f(DE,sin A)＝eq \f(\r(6),2sin A).
在△BCD中，由正弦定理可得eq \f(BC,sin ∠BDC)＝eq \f(CD,sin B).
∵∠BDC＝2∠A，∴eq \f(2,sin 2A)＝eq \f(\r(6),2sin Asin \f(π,3))，∴cs A＝eq \f(\r(2),2).∴A＝eq \f(π,4).
练习5、 (2018·北京卷)在△ABC中，a＝7，b＝8，cs B＝－eq \f(1,7).
(1)求∠A；
(2)求AC边上的高．
解 (1)在△ABC中，因为cs B＝－eq \f(1,7)，
所以sin B＝ eq \r(1－cs2B)＝eq \f(4\r(3),7).
由正弦定理得sin A＝eq \f(asin B,b)＝eq \f(\r(3),2).
由题设知eq \f(π,2)<∠B<π，所以0<∠A所以∠A＝eq \f(π,3).
(2)在△ABC中，
因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acs B＋cs Asin B＝eq \f(3\r(3),14)，
所以AC边上的高为asin C＝7×eq \f(3\r(3),14)＝eq \f(3\r(3),2).
考点6三角函数求值问题
例6、(2018·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,6))).
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．
解 (1)在△ABC中，由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，可得bsin A＝asin B.
又由bsin A＝acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,6)))，得asin B＝acs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,6)))，
即sin B＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,6)))，所以tan B＝eq \r(3).
又因为B∈(0，π)，所以B＝eq \f(π,3).
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝eq \f(π,3)，
得b2＝a2＋c2－2accs B＝7，故b＝eq \r(7).
由bsin A＝acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,6)))，可得sin A＝eq \f(\r(3),\r(7)) .
因为a因此sin 2A＝2sin Acs A＝eq \f(4\r(3),7)，
cs 2A＝2cs2A－1＝eq \f(1,7).
所以sin(2A－B)＝sin 2Acs B－cs 2Asin B
＝eq \f(4\r(3),7)×eq \f(1,2)－eq \f(1,7)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),14).
考点7解三角形综合问题
例7、(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.
(1)求cs∠ADB；
(2)若DC＝2eq \r(2)，求BC.
解 (1)在△ABD中，由正弦定理得eq \f(BD,sin∠A)＝eq \f(AB,sin∠ADB)
即eq \f(5,sin 45°)＝eq \f(2,sin∠ADB)，所以sin∠ADB＝eq \f(\r(2),5)
由题设知，∠ADB<90°，所以cs∠ADB＝eq \r(1－\f(2,25))＝eq \f(\r(23),5)
(2)由题设及(1)知，cs∠BDC＝sin∠ADB＝eq \f(\r(2),5)
在△BCD中，由余弦定理得
BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cs∠BDC＝25＋8－2×5×2eq \r(2)×eq \f(\r(2),5)＝25
所以BC＝5
练习7、(2019·广东惠州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足(2b－c)cs A＝acs C.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝eq \r(13)，b＋c＝5，求△ABC的面积．
解 (1)△ABC中，由条件及正弦定理得(2sin B－sin C)cs A＝sin Acs C，
∴2sin Bcs A＝sin Ccs A＋sin Acs C＝sin B．∵sin B≠0，∴2cs A＝1，
∵A∈(0，π)，∴A＝eq \f(π,3).
(2)∵a＝eq \r(13)，b＋c＝5，a2＝b2＋c2－2bccs A
＝(b＋c)2－2bc－2bccs eq \f(π,3)＝52－3bc＝13，
∴bc＝eq \f(25－13,3)＝4，∴S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×4×sin eq \f(π,3)＝eq \r(3).
定理
正弦定理
余弦定理
内
容
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R
a2＝b2＋c2－2bccs A；
b2＝c2＋a2－2cacs B；
c2＝a2＋b2－2abcs C
变
形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
基本类型
一般解法
已知两角及其中一角的对边，如A，B，a
①由A＋B＋C＝180°，求出C；
②根据正弦定理，得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)及eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，求出边b，c.
已知两边及其中一边所对的角，如a，b，A
①根据正弦定理，经讨论求B；
②求出B后，由A＋B＋C＝180°，求出C；
③再根据正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，求出边c.
已知两边
和它们的
夹角，如
a，b，C
①根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcs C，求出边c；
②根据cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，求出A；
③根据B＝180°－(A＋C)，求出B.
已知三边
可以连续用余弦定理求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由A＋B＋C＝180°，求出第三个角；
由余弦定理求出一个角后，也可以根据正弦定理求出第二个角，但仍然是先求较小边所对的角.