高一数学下册期末考点大串讲(人教A版)第2讲正弦定理和余弦定理的应用(知识点串讲)特训（学生版+解析）

这是一份高一数学下册期末考点大串讲(人教A版)第2讲正弦定理和余弦定理的应用(知识点串讲)特训（学生版+解析），共9页。

【知识梳理】
一、实际测量中的常见问题
2．仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图①)．
3．方位角和方向角
(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等．
【考点精炼】
考点一：高度问题（已知仰角或俯角）
例1、(2019·山东青岛月考)如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________.
练习1、(2019·河北衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为________m.
求解高度问题的3个注意点
(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．
(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
考点二：高度问题（已知方位角或方向角）
例2、如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝______m.
考点三：距离问题
例3、(2019·山东临沂联考)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m.(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cs 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cs 37°≈0.80，eq \r(3)≈1.73)
训练3、如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离，即AB＝eq \r(a2＋b2－2abcs α).
若测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．
求解距离问题的一般步骤
(1)画出示意图，将实际问题转化成三角形问题．
(2)明确所求的距离在哪个三角形中，有几个已知元素．
(3)使用正弦定理、余弦定理解三角形对于解答题，应作答．
考点四：角度问题
例4、如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40 n mile的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20 n mile的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cs θ的值为________.
训练4、(2019·山西大同联考)在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20 km/h；水的流向是正东，流速是20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东________，速度的大小为________ km/h.
解决测量角度问题的注意事项
(1)首先应明确方位角或方向角的含义．
(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．
(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．
训练5、(2019·河南安阳调研)如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(eq \r(3)－1)n mile的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2 n mile的C处的我方缉私船奉命以10eq \r(3) n mile/h的速度追截走私船，此时走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．
求AB
图形
需要测量的元素
解法
求
竖
直
高
度
底部
可达
∠ACB＝α，
BC＝a
解直角三角形AB＝atan α
底部
不可达
∠ACB＝α，
∠ADB＝β，
CD＝a
解两个直角三角形AB＝eq \f(atan αtan β,tan β－tan α)
求
水
平
距
离
山
两
侧
∠ACB＝α，
AC＝b，
BC＝a
用余弦定理AB＝
eq \r(a2＋b2－2abcs α)
河
两
岸
∠ACB＝α，
∠ABC＝β，
CB＝a
用正弦定理
AB＝eq \f(asin α,sinα＋β)
河
对
岸
∠ADC＝α，
∠BDC＝β，
∠BCD＝δ，
∠ACD＝γ，
CD＝a
在△ADC中，AC＝eq \f(asin α,sinα＋γ)在△BDC中，BC＝eq \f(asin β,sinβ＋δ)；
在△ABC中，应用余弦定理求AB
第2讲 正弦定理和余弦定理的应用
【知识梳理】
一、实际测量中的常见问题
2．仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图①)．
3．方位角和方向角
(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等．
【考点精炼】
考点一：高度问题（已知仰角或俯角）
例1、(2019·山东青岛月考)如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________.
【答案】eq \f(\r(3),2)a [由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，AD＝eq \r(3)a，所以在Rt△ADB中，AB＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(\r(3),2)a.]
练习1、(2019·河北衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为________m.
【答案】600eq \r(2) [在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，
由正弦定理得eq \f(AM,sin∠MCA)＝eq \f(AC,sin∠AMC)，
即eq \f(1 200,\f(\r(2),2))＝eq \f(AC,\f(\r(3),2))，解得AC＝600eq \r(6).
在△ACD中，∵tan∠DAC＝eq \f(DC,AC)＝eq \f(\r(3),3)，
∴DC＝600eq \r(6)×eq \f(\r(3),3)＝600eq \r(2).]
求解高度问题的3个注意点
(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．
(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
考点二：高度问题（已知方位角或方向角）
例2、如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝______m.
【答案】100eq \r(6) [由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
又AB＝600 m，故由正弦定理得eq \f(600,sin 45°)＝eq \f(BC,sin 30°)，
解得BC＝300eq \r(2) m.
在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300eq \r(2)×eq \f(\r(3),3)＝100eq \r(6)(m)．]
考点三：距离问题
例3、(2019·山东临沂联考)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m.(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cs 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cs 37°≈0.80，eq \r(3)≈1.73)
【答案】60 [如图，过点A作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，
则在Rt△ABD中，∠ABD＝67°，AD＝46，AB＝eq \f(46,sin 67°).在△ABC中，根据正弦定理得BC＝eq \f(ABsin 37°,sin 30°)＝46×eq \f(sin 37°,sin 67°sin 30°)≈60.]
训练3、如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离，即AB＝eq \r(a2＋b2－2abcs α).
若测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．
解 在△ABC中，由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcs∠ACB，
∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cs 60°＝280 000，
∴AB＝200eq \r(7)(m)，
即A，B两点间的距离为200eq \r(7) m.
求解距离问题的一般步骤
(1)画出示意图，将实际问题转化成三角形问题．
(2)明确所求的距离在哪个三角形中，有几个已知元素．
(3)使用正弦定理、余弦定理解三角形对于解答题，应作答．
考点四：角度问题
例4、如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40 n mile的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20 n mile的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cs θ的值为________.
【答案】eq \f(\r(21),14) [在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，
由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs 120°＝2 800，得BC＝20eq \r(7).
由正弦定理，得eq \f(AB,sin∠ACB)＝eq \f(BC,sin∠BAC)，
即sin∠ACB＝eq \f(AB,BC)·sin∠BAC＝eq \f(\r(21),7).
由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cs∠ACB＝eq \f(2\r(7),7).由θ＝∠ACB＋30°，得cs θ＝cs(∠ACB＋30°)
＝cs∠ACBcs 30°－sin∠ACBsin 30°＝eq \f(\r(21),14).]
训练4、(2019·山西大同联考)在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20 km/h；水的流向是正东，流速是20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东________，速度的大小为________ km/h.
【答案】60° 20eq \r(3) [如图，
∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cs 120°＝1 200，故OC＝20eq \r(3)，∠COy＝30°＋30°＝60°. ]
解决测量角度问题的注意事项
(1)首先应明确方位角或方向角的含义．
(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．
(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．
训练5、(2019·河南安阳调研)如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(eq \r(3)－1)n mile的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2 n mile的C处的我方缉私船奉命以10eq \r(3) n mile/h的速度追截走私船，此时走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．
解 设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝ 10eq \r(3)t n mile，BD＝10t n mile，在△ABC中，由余弦定理，有
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·csA
＝(eq \r(3)－1)2＋22－2(eq \r(3)－1)×2×cs120°＝6，
解得BC＝eq \r(6). 又∵eq \f(BC,sinA)＝eq \f(AC,sin∠ABC)，
∴sin∠ABC＝eq \f(AC·sinA,BC)＝eq \f(2×sin120°,\r(6))＝eq \f(\r(2),2)，
∴∠ABC＝45°，故B点在C点的正东方向上，
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理，得eq \f(BD,sin∠BCD)＝eq \f(CD,sin∠CBD)，
∴sin∠BCD＝eq \f(BD·sin∠CBD,CD)＝eq \f(10t·sin120°,10\r(3)t)＝eq \f(1,2).
∴∠BCD＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．
又在△BCD中，∠CBD＝ 120°，∠BCD＝30°，
∴∠D＝30°，∴BD＝BC，
即10t＝eq \r(6)，解得t＝eq \f(\r(6),10)小时≈15分钟．
∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．
求AB
图形
需要测量的元素
解法
求
竖
直
高
度
底部
可达
∠ACB＝α，
BC＝a
解直角三角形AB＝atan α
底部
不可达
∠ACB＝α，
∠ADB＝β，
CD＝a
解两个直角三角形AB＝eq \f(atan αtan β,tan β－tan α)
求
水
平
距
离
山
两
侧
∠ACB＝α，
AC＝b，
BC＝a
用余弦定理AB＝
eq \r(a2＋b2－2abcs α)
河
两
岸
∠ACB＝α，
∠ABC＝β，
CB＝a
用正弦定理
AB＝eq \f(asin α,sinα＋β)
河
对
岸
∠ADC＝α，
∠BDC＝β，
∠BCD＝δ，
∠ACD＝γ，
CD＝a
在△ADC中，AC＝eq \f(asin α,sinα＋γ)在△BDC中，BC＝eq \f(asin β,sinβ＋δ)；
在△ABC中，应用余弦定理求AB