高一数学下册期末考点大串讲(人教A版)第3讲直线的倾斜角、斜率和方程(知识点串讲)特训（学生版+解析）

这是一份高一数学下册期末考点大串讲(人教A版)第3讲直线的倾斜角、斜率和方程(知识点串讲)特训（学生版+解析），共7页。试卷主要包含了直线的倾斜角，斜率公式，直线方程的五种形式等内容，欢迎下载使用。

1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
例1．(2019·辽宁沈阳月考)直线x＋eq \r(3)y＋1＝0的倾斜角是( )
A．eq \f(π,6)B．eq \f(π,3)
C．eq \f(2π,3)D．eq \f(5π,6)
2．斜率公式
(1)定义式：直线l的倾斜角为αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)))，则斜率k＝tan α.
(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
3. 求倾斜角的取值范围的2个步骤及1个注意点
(1)2个步骤：
①求出斜率k＝tanα的取值范围；
②利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．
(2)1个注意点：
求倾斜角时要注意斜率是否存在．
例2. (P86A组T3改编)若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A．1 B．4
C．1或3 D．1或4
4. 倾斜角α与斜率k的关系
当α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))且由0增大到eq \f(π,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)))时，k的值由0增大到＋∞.
当α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由eq \f(π,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)))增大到π(α≠π)时，k的值由－∞趋近于0(k≠0)．
例3．(2019·安徽芜湖检测)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，eq \r(3))为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_____________________.
[变式探究] 若将题3中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．
5．直线方程的五种形式
6. 求直线方程的两种方法
(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．
(2)待定系数法，即设定含有参数的直线方程，由条件列出方程(组)，再求出参数，最后将其代入直线方程．
例4.（2019年锦州期中）根据所给条件求直线的方程：
(1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的eq \f(1,3)的直线方程；
(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.
练习．(2019·山东滨州月考)如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
练习.(2019年未央区月考)求满足下列条件的直线方程：
(1)经过点A(－5, 2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程；
(2)过A(2,1)，B(m,3)两点的直线l的方程．
7. 处理直线方程综合应用的2大策略
(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．
(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
例5、(2019·山东济南月考)已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，求当|eq \(MA,\s\up6(→))|·|eq \(MB,\s\up6(→))|取得最小值时直线l的方程．
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含垂直于x轴的直线
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
不含直线x＝x1(x1≠x2)
和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不含垂直于坐标轴
和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0，
A2＋B2≠0
平面内所有直线都适用
第三讲 直线的倾斜角、斜率和方程
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
例1．(2019·辽宁沈阳月考)直线x＋eq \r(3)y＋1＝0的倾斜角是( )
A．eq \f(π,6)B．eq \f(π,3)
C．eq \f(2π,3)D．eq \f(5π,6)
【答案】D [由直线的方程得直线的斜率为k＝－eq \f(\r(3),3)，设倾斜角为α，则tan α＝－eq \f(\r(3),3)，所以α＝eq \f(5π,6).]
2．斜率公式
(1)定义式：直线l的倾斜角为αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)))，则斜率k＝tan α.
(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
3. 求倾斜角的取值范围的2个步骤及1个注意点
(1)2个步骤：
①求出斜率k＝tanα的取值范围；
②利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．
(2)1个注意点：
求倾斜角时要注意斜率是否存在．
例2. (P86A组T3改编)若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A．1 B．4
C．1或3 D．1或4
【答案】A [由题意得eq \f(m－4,－2－m)＝1，解得m＝1.]
4. 倾斜角α与斜率k的关系
当α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))且由0增大到eq \f(π,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)))时，k的值由0增大到＋∞.
当α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由eq \f(π,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)))增大到π(α≠π)时，k的值由－∞趋近于0(k≠0)．
例3．(2019·安徽芜湖检测)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，eq \r(3))为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_____________________.
【答案】(－∞，－eq \r(3) ]∪[1，＋∞) [如图，∵kAP＝eq \f(1－0,2－1)＝1，kBP＝eq \f(\r(3)－0,0－1)＝－eq \r(3)，
∴k∈(－∞，－eq \r(3) ]∪[1，＋∞)．]
[变式探究] 若将题3中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．
解 ∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0，eq \r(3))，
∴kAP＝eq \f(1－0,2－－1)＝eq \f(1,3)，kBP＝eq \f(\r(3)－0,0－－1)＝eq \r(3).
如图可知，直线l斜率的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)， \r(3))).
5．直线方程的五种形式
6. 求直线方程的两种方法
(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．
(2)待定系数法，即设定含有参数的直线方程，由条件列出方程(组)，再求出参数，最后将其代入直线方程．
例4.（2019年锦州期中）根据所给条件求直线的方程：
(1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的eq \f(1,3)的直线方程；
(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.
解 (1)设所求直线的斜率为k，
依题意k＝－4×eq \f(1,3)＝－eq \f(4,3).
又直线经过点A(1,3)，
因此所求直线方程为y－3＝－eq \f(4,3)(x－1)，
即4x＋3y－13＝0.
(2)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,12－a)＝1，又直线过点(－3,4)，
从而eq \f(－3,a)＋eq \f(4,12－a)＝1，解得a＝－4或a＝9.
故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
练习．(2019·山东滨州月考)如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】C [由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－eq \f(C,A)>0，在y轴上的截距－eq \f(C,B)>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．]
练习.(2019年未央区月考)求满足下列条件的直线方程：
(1)经过点A(－5, 2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程；
(2)过A(2,1)，B(m,3)两点的直线l的方程．
解 (1)当直线不过原点时，设所求直线方程为eq \f(x,2a)＋eq \f(y,a)＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－eq \f(1,2)，
所以直线方程为x＋2y＋1＝0；
当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－eq \f(2,5)，所以直线方程为y＝－eq \f(2,5)x，即2x＋5y＝0. 故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.
(2)①当m＝2时，直线l的方程为x＝2；
②当m≠2时，直线l的方程为eq \f(y－1,3－1)＝eq \f(x－2,m－2)，
即2x－(m－2)y＋m－6＝0.
因为m＝2时，代入方程2x－(m－2)y＋m－6＝0，
即为x＝2，
所以直线l的方程为2x－(m－2)y＋m－6＝0.
7. 处理直线方程综合应用的2大策略
(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．
(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
例5、(2019·山东济南月考)已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，求当|eq \(MA,\s\up6(→))|·|eq \(MB,\s\up6(→))|取得最小值时直线l的方程．
解 设A(a,0)，B(0，b)，则a>0，b>0，
直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，所以eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝1.
|eq \(MA,\s\up6(→))|·|eq \(MB,\s\up6(→))|＝－eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)
＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5
＝(2a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))－5＝eq \f(2b,a)＋eq \f(2a,b)≥4，
当且仅当a＝b＝3时取等号，
此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含垂直于x轴的直线
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
不含直线x＝x1(x1≠x2)
和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不含垂直于坐标轴
和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0，
A2＋B2≠0
平面内所有直线都适用