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高一数学下册期末考点大串讲(人教A版)第1讲空间几何体(知识点串讲)特训（学生版+解析）
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这是一份高一数学下册期末考点大串讲(人教A版)第1讲空间几何体(知识点串讲)特训（学生版+解析），共14页。
【知识梳理】
1．多面体的结构特征
2．旋转体的形成
【考点精炼】
考点一：空间几何体的结构特征
例1．（2019年温州月考）下列结论正确的是( )
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
练习．给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【知识梳理】
3．空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半.
“三变”eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(坐标轴的夹角改变,与y轴平行的线段的长度变为原来的一半,图形改变))
“三不变”eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(平行性不改变,与x，z轴平行的线段的长度不改变,相对位置不改变))
(3)平面图形的直观图与原图形面积的关系：S直观图＝eq \f(\r(2),4)S原图．
【考点精炼】
考点二：空间几何体的直观图
例2、（2019年金台区月考）如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( )
A．正方形B．矩形
C．菱形D．一般的平行四边形
练习、如图，一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法)是一个底角为45°、腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )
A．2＋eq \r(2)B．1＋eq \r(2)
C．4＋2eq \r(2)D．8＋4eq \r(2)
考点三：空间几何体的平面展开图
例3、(2018·全国卷Ⅰ改编)某圆柱的高为2，底面周长为16，M，N分别是圆柱上、下底面圆周上的两点，其中OE⊥ON，如图所示，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( )
A．2eq \r(17)B．2eq \r(5)
C．3D．2
[训练] (2019·山东潍坊检测)如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，则蚂蚁爬行的最短距离为________.
【知识梳理】
4．多面体的表面积、侧面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
5．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
6．柱、锥、台和球的表面积和体积
【考点精炼】
考点四：空间几何体的表面积
例4．(2019·山东泰安检测)如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为________.
练习．(2019·广东湛江月考)一个六棱锥的体积为2eq \r(3)，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________.
【知识梳理】
7.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．
(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
【考点精炼】
考点五：空间几何体的体积
例5、(2018·天津卷)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1BB1D1D的体积为________.
练习、(2019·山东青岛月考)如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为( )
A．eq \f(\r(2),3) B．eq \f(\r(3),3)
C．eq \f(4,3) D．eq \f(3,2)
【知识梳理】
8．几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝eq \r(3)a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq \r(2)a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
9.空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
【考点精炼】
考点六：与球有关的切接问题
例6、(2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
A．4πB．eq \f(9π,2)
C．6πD．eq \f(32π,3)
[变式探究1] 若本例中的条件变为“直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面积．
[变式探究2] 若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．
练习、(2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9eq \r(3)，则三棱锥DABC体积的最大值为( )
A．12eq \r(3)B．18eq \r(3)
C．24eq \r(3)D．54eq \r(3)
几何体
旋转图形
旋转轴
圆柱
矩形
任一边所在的直线
圆锥
直角三角形
任一直角边所在的直线
圆台
直角梯形
垂直于底边的腰所在的直线
球
半圆
直径所在的直线
圆柱
圆锥
圆台
侧面展
开图
侧面积
公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
名称
几何体
表面积
体积
柱体
(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体
(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝eq \f(1,3)Sh
台体
(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3
第一讲 空间几何体
【知识梳理】
1．多面体的结构特征
2．旋转体的形成
【考点精炼】
考点一：空间几何体的结构特征
例1．（2019年温州月考）下列结论正确的是( )
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
【答案】D [A错误，如图，
由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是三棱锥．B错误，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故不正确．C错误，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．而若以正六边形为底面，则侧棱长必然要大于底面边长．易知D正确．]
练习．给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】A [①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，
它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．]
【知识梳理】
3．空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半.
“三变”eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(坐标轴的夹角改变,与y轴平行的线段的长度变为原来的一半,图形改变))
“三不变”eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(平行性不改变,与x，z轴平行的线段的长度不改变,相对位置不改变))
(3)平面图形的直观图与原图形面积的关系：S直观图＝eq \f(\r(2),4)S原图．
【考点精炼】
考点二：空间几何体的直观图
例2、（2019年金台区月考）如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( )
A．正方形B．矩形
C．菱形D．一般的平行四边形
【答案】C [如图，
在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2eq \r(2)＝4eq \r(2)(cm)，CD＝C′D′＝2 cm，所以OC＝eq \r(OD2＋CD2)＝eq \r(4\r(2)2＋22)＝6(cm)，所以OA＝OC，故四边形OABC是菱形．]
练习、如图，一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法)是一个底角为45°、腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )
A．2＋eq \r(2)B．1＋eq \r(2)
C．4＋2eq \r(2)D．8＋4eq \r(2)
【答案】D [由已知直观图根据斜二测画法规则画出原平面图形，如图所示，
∴这个平面图形的面积为eq \f(4×2＋2＋2\r(2),2)＝8＋4eq \r(2).]
考点三：空间几何体的平面展开图
例3、(2018·全国卷Ⅰ改编)某圆柱的高为2，底面周长为16，M，N分别是圆柱上、下底面圆周上的两点，其中OE⊥ON，如图所示，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( )
A．2eq \r(17)B．2eq \r(5)
C．3D．2
【答案】B [圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为EP的四等分点)如图所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径．
EN＝eq \f(1,4)×16＝4，EM＝2，∴|MN|＝ eq \r(EM2＋EN2)＝eq \r(22＋42)＝2eq \r(5).]
[训练] (2019·山东潍坊检测)如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，则蚂蚁爬行的最短距离为________.
【答案】2eq \r(1＋π2) [把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，即为蚂蚁爬行的最短距离．
因为AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π.所以AB′＝eq \r(\a\vs4\al(A′B′2＋AA′2))＝eq \r(4＋2π2)＝2eq \r(1＋π2)，所以蚂蚁爬行的最短距离为2eq \r(1＋π2).]
【知识梳理】
4．多面体的表面积、侧面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
5．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
6．柱、锥、台和球的表面积和体积
【考点精炼】
考点四：空间几何体的表面积
例4．(2019·山东泰安检测)如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为________.
【答案】(3＋eq \r(2))π [由题意知所得几何体为一个圆锥与圆柱的组合体，则表面积为πrl＋2πrh＋πr2＝π×1×eq \r(2)＋2π×1×1＋π×1＝eq \r(2)π＋3π.]
练习．(2019·广东湛江月考)一个六棱锥的体积为2eq \r(3)，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________.
【答案】12 [利用体积公式求出正六棱锥的高，再利用截面图确定正六棱锥的斜高，最后求侧面积．设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.由题意，得eq \f(1,3)×6×eq \f(1,2)×2×eq \r(3)×h＝2eq \r(3)，∴h＝1，∴斜高h′＝eq \r(12＋\r(3)2)＝2，∴S侧＝6×eq \f(1,2)×2×2＝12.]
【知识梳理】
7.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．
(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
【考点精炼】
考点五：空间几何体的体积
例5、(2018·天津卷)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1BB1D1D的体积为________.
【答案】eq \f(1,3) [∵正方体棱长为1，
∴矩形BB1D1D的长和宽分别为1，eq \r(2).
∵四棱锥A1BB1D1D的高是正方形A1B1C1D1对角线长的一半，即为eq \f(\r(2),2)，
∴V四棱锥A1BB1D1D＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)×(1×eq \r(2))×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1,3).]
练习、(2019·山东青岛月考)如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为( )
A．eq \f(\r(2),3) B．eq \f(\r(3),3)
C．eq \f(4,3) D．eq \f(3,2)
【答案】A [如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，
容易求得EG＝HF＝eq \f(1,2)，AG＝GD＝BH＝HC＝eq \f(\r(3),2)，
∴S△AGD＝S△BHC＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)×1＝eq \f(\r(2),4)，
∴V＝VE－ADG＋VF－BCH＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(2),4)×eq \f(1,2)×2＋eq \f(\r(2),4)×1＝eq \f(\r(2),3).]
【知识梳理】
8．几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝eq \r(3)a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq \r(2)a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
9.空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
【考点精炼】
考点六：与球有关的切接问题
例6、(2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
A．4πB．eq \f(9π,2)
C．6πD．eq \f(32π,3)
【答案】B [由题意得要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切．设球的半径为R，∵△ABC的内切圆半径为eq \f(6＋8－10,2)＝2，∴R≤2.又2R≤3，∴R≤eq \f(3,2)，∴Vmax＝eq \f(4,3)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))3＝eq \f(9,2)π.]
[变式探究1] 若本例中的条件变为“直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面积．
解 将直三棱柱补形为长方体ABECA′B′E′C′，
则球O是长方体ABECA′B′E′C′的外接球，
∴体对角线BC′的长为球O的直径．
因此2R＝eq \r(32＋42＋122)＝13，故S球＝4πR2＝169π.
[变式探究2] 若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．
解 如图，设球心为O，半径为r，
则在Rt△AOF中，(4－r)2＋(eq \r(2))2＝r2，解得r＝eq \f(9,4)，
则球O的体积V球＝eq \f(4,3)πr3＝eq \f(4,3)π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)))3＝eq \f(243π,16).
练习、(2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9eq \r(3)，则三棱锥DABC体积的最大值为( )
A．12eq \r(3)B．18eq \r(3)
C．24eq \r(3)D．54eq \r(3)
【答案】B [由等边△ABC的面积为9eq \r(3)可得eq \f(\r(3),4)AB2＝9eq \r(3)，所以AB＝6，所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝eq \f(\r(3),3)AB＝2eq \r(3).设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝eq \r(R2－r2)＝eq \r(16－12)＝2.所以三棱锥DABC高的最大值为2＋4＝6，
所以三棱锥DABC体积的最大值为eq \f(1,3)×9eq \r(3)×6＝18eq \r(3).]
几何体
旋转图形
旋转轴
圆柱
矩形
任一边所在的直线
圆锥
直角三角形
任一直角边所在的直线
圆台
直角梯形
垂直于底边的腰所在的直线
球
半圆
直径所在的直线
圆柱
圆锥
圆台
侧面展
开图
侧面积
公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
名称
几何体
表面积
体积
柱体
(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体
(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝eq \f(1,3)Sh
台体
(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3
【知识梳理】
1．多面体的结构特征
2．旋转体的形成
【考点精炼】
考点一：空间几何体的结构特征
例1．（2019年温州月考）下列结论正确的是( )
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
练习．给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【知识梳理】
3．空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半.
“三变”eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(坐标轴的夹角改变,与y轴平行的线段的长度变为原来的一半,图形改变))
“三不变”eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(平行性不改变,与x，z轴平行的线段的长度不改变,相对位置不改变))
(3)平面图形的直观图与原图形面积的关系：S直观图＝eq \f(\r(2),4)S原图．
【考点精炼】
考点二：空间几何体的直观图
例2、（2019年金台区月考）如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( )
A．正方形B．矩形
C．菱形D．一般的平行四边形
练习、如图，一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法)是一个底角为45°、腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )
A．2＋eq \r(2)B．1＋eq \r(2)
C．4＋2eq \r(2)D．8＋4eq \r(2)
考点三：空间几何体的平面展开图
例3、(2018·全国卷Ⅰ改编)某圆柱的高为2，底面周长为16，M，N分别是圆柱上、下底面圆周上的两点，其中OE⊥ON，如图所示，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( )
A．2eq \r(17)B．2eq \r(5)
C．3D．2
[训练] (2019·山东潍坊检测)如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，则蚂蚁爬行的最短距离为________.
【知识梳理】
4．多面体的表面积、侧面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
5．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
6．柱、锥、台和球的表面积和体积
【考点精炼】
考点四：空间几何体的表面积
例4．(2019·山东泰安检测)如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为________.
练习．(2019·广东湛江月考)一个六棱锥的体积为2eq \r(3)，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________.
【知识梳理】
7.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．
(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
【考点精炼】
考点五：空间几何体的体积
例5、(2018·天津卷)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1BB1D1D的体积为________.
练习、(2019·山东青岛月考)如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为( )
A．eq \f(\r(2),3) B．eq \f(\r(3),3)
C．eq \f(4,3) D．eq \f(3,2)
【知识梳理】
8．几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝eq \r(3)a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq \r(2)a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
9.空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
【考点精炼】
考点六：与球有关的切接问题
例6、(2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
A．4πB．eq \f(9π,2)
C．6πD．eq \f(32π,3)
[变式探究1] 若本例中的条件变为“直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面积．
[变式探究2] 若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．
练习、(2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9eq \r(3)，则三棱锥DABC体积的最大值为( )
A．12eq \r(3)B．18eq \r(3)
C．24eq \r(3)D．54eq \r(3)
几何体
旋转图形
旋转轴
圆柱
矩形
任一边所在的直线
圆锥
直角三角形
任一直角边所在的直线
圆台
直角梯形
垂直于底边的腰所在的直线
球
半圆
直径所在的直线
圆柱
圆锥
圆台
侧面展
开图
侧面积
公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
名称
几何体
表面积
体积
柱体
(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体
(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝eq \f(1,3)Sh
台体
(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3
第一讲 空间几何体
【知识梳理】
1．多面体的结构特征
2．旋转体的形成
【考点精炼】
考点一：空间几何体的结构特征
例1．（2019年温州月考）下列结论正确的是( )
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
【答案】D [A错误，如图，
由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是三棱锥．B错误，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故不正确．C错误，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．而若以正六边形为底面，则侧棱长必然要大于底面边长．易知D正确．]
练习．给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】A [①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，
它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．]
【知识梳理】
3．空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半.
“三变”eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(坐标轴的夹角改变,与y轴平行的线段的长度变为原来的一半,图形改变))
“三不变”eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(平行性不改变,与x，z轴平行的线段的长度不改变,相对位置不改变))
(3)平面图形的直观图与原图形面积的关系：S直观图＝eq \f(\r(2),4)S原图．
【考点精炼】
考点二：空间几何体的直观图
例2、（2019年金台区月考）如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( )
A．正方形B．矩形
C．菱形D．一般的平行四边形
【答案】C [如图，
在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2eq \r(2)＝4eq \r(2)(cm)，CD＝C′D′＝2 cm，所以OC＝eq \r(OD2＋CD2)＝eq \r(4\r(2)2＋22)＝6(cm)，所以OA＝OC，故四边形OABC是菱形．]
练习、如图，一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法)是一个底角为45°、腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )
A．2＋eq \r(2)B．1＋eq \r(2)
C．4＋2eq \r(2)D．8＋4eq \r(2)
【答案】D [由已知直观图根据斜二测画法规则画出原平面图形，如图所示，
∴这个平面图形的面积为eq \f(4×2＋2＋2\r(2),2)＝8＋4eq \r(2).]
考点三：空间几何体的平面展开图
例3、(2018·全国卷Ⅰ改编)某圆柱的高为2，底面周长为16，M，N分别是圆柱上、下底面圆周上的两点，其中OE⊥ON，如图所示，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( )
A．2eq \r(17)B．2eq \r(5)
C．3D．2
【答案】B [圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为EP的四等分点)如图所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径．
EN＝eq \f(1,4)×16＝4，EM＝2，∴|MN|＝ eq \r(EM2＋EN2)＝eq \r(22＋42)＝2eq \r(5).]
[训练] (2019·山东潍坊检测)如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，则蚂蚁爬行的最短距离为________.
【答案】2eq \r(1＋π2) [把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，即为蚂蚁爬行的最短距离．
因为AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π.所以AB′＝eq \r(\a\vs4\al(A′B′2＋AA′2))＝eq \r(4＋2π2)＝2eq \r(1＋π2)，所以蚂蚁爬行的最短距离为2eq \r(1＋π2).]
【知识梳理】
4．多面体的表面积、侧面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
5．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
6．柱、锥、台和球的表面积和体积
【考点精炼】
考点四：空间几何体的表面积
例4．(2019·山东泰安检测)如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为________.
【答案】(3＋eq \r(2))π [由题意知所得几何体为一个圆锥与圆柱的组合体，则表面积为πrl＋2πrh＋πr2＝π×1×eq \r(2)＋2π×1×1＋π×1＝eq \r(2)π＋3π.]
练习．(2019·广东湛江月考)一个六棱锥的体积为2eq \r(3)，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________.
【答案】12 [利用体积公式求出正六棱锥的高，再利用截面图确定正六棱锥的斜高，最后求侧面积．设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.由题意，得eq \f(1,3)×6×eq \f(1,2)×2×eq \r(3)×h＝2eq \r(3)，∴h＝1，∴斜高h′＝eq \r(12＋\r(3)2)＝2，∴S侧＝6×eq \f(1,2)×2×2＝12.]
【知识梳理】
7.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．
(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
【考点精炼】
考点五：空间几何体的体积
例5、(2018·天津卷)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1BB1D1D的体积为________.
【答案】eq \f(1,3) [∵正方体棱长为1，
∴矩形BB1D1D的长和宽分别为1，eq \r(2).
∵四棱锥A1BB1D1D的高是正方形A1B1C1D1对角线长的一半，即为eq \f(\r(2),2)，
∴V四棱锥A1BB1D1D＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)×(1×eq \r(2))×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1,3).]
练习、(2019·山东青岛月考)如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为( )
A．eq \f(\r(2),3) B．eq \f(\r(3),3)
C．eq \f(4,3) D．eq \f(3,2)
【答案】A [如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，
容易求得EG＝HF＝eq \f(1,2)，AG＝GD＝BH＝HC＝eq \f(\r(3),2)，
∴S△AGD＝S△BHC＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)×1＝eq \f(\r(2),4)，
∴V＝VE－ADG＋VF－BCH＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(2),4)×eq \f(1,2)×2＋eq \f(\r(2),4)×1＝eq \f(\r(2),3).]
【知识梳理】
8．几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝eq \r(3)a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq \r(2)a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
9.空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
【考点精炼】
考点六：与球有关的切接问题
例6、(2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
A．4πB．eq \f(9π,2)
C．6πD．eq \f(32π,3)
【答案】B [由题意得要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切．设球的半径为R，∵△ABC的内切圆半径为eq \f(6＋8－10,2)＝2，∴R≤2.又2R≤3，∴R≤eq \f(3,2)，∴Vmax＝eq \f(4,3)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))3＝eq \f(9,2)π.]
[变式探究1] 若本例中的条件变为“直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面积．
解 将直三棱柱补形为长方体ABECA′B′E′C′，
则球O是长方体ABECA′B′E′C′的外接球，
∴体对角线BC′的长为球O的直径．
因此2R＝eq \r(32＋42＋122)＝13，故S球＝4πR2＝169π.
[变式探究2] 若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．
解 如图，设球心为O，半径为r，
则在Rt△AOF中，(4－r)2＋(eq \r(2))2＝r2，解得r＝eq \f(9,4)，
则球O的体积V球＝eq \f(4,3)πr3＝eq \f(4,3)π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)))3＝eq \f(243π,16).
练习、(2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9eq \r(3)，则三棱锥DABC体积的最大值为( )
A．12eq \r(3)B．18eq \r(3)
C．24eq \r(3)D．54eq \r(3)
【答案】B [由等边△ABC的面积为9eq \r(3)可得eq \f(\r(3),4)AB2＝9eq \r(3)，所以AB＝6，所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝eq \f(\r(3),3)AB＝2eq \r(3).设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝eq \r(R2－r2)＝eq \r(16－12)＝2.所以三棱锥DABC高的最大值为2＋4＝6，
所以三棱锥DABC体积的最大值为eq \f(1,3)×9eq \r(3)×6＝18eq \r(3).]
几何体
旋转图形
旋转轴
圆柱
矩形
任一边所在的直线
圆锥
直角三角形
任一直角边所在的直线
圆台
直角梯形
垂直于底边的腰所在的直线
球
半圆
直径所在的直线
圆柱
圆锥
圆台
侧面展
开图
侧面积
公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
名称
几何体
表面积
体积
柱体
(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体
(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝eq \f(1,3)Sh
台体
(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3
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