高一数学下册期末考点大串讲(人教A版)第5讲数列求和(专题测试)特训（学生版+解析）

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1．（2019秋•内蒙古期末）已知数列{an}是首项为a1＝2，公比q＝2的等比数列，且bn＝an+an+1．若数列{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝（ ）
A．3•2n﹣3B．3•2n+1﹣3C．3•2nD．3•2n+1﹣6
2．（2018秋•湘西州期末）数列，，，…，的前n项和为Sn＝（ ）
A．B．+2n
C．D．
3．（2020•黄州区校级模拟）已知数列{an}的通项公式为，则数列{an}的前2020项和为（ ）
A．B．C．D．
4．（2019秋•中原区校级月考）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝5，S5＝20，则数列{}的前1000项和为（ ）
A．B．C．D．
5．（2019秋•沙坡头区校级月考）某工厂投资100万元开发新产品，第一年获利10万元，从第二年开始每年获利比上一年增加20%，若从第n年开始，前n年获利总和超过投资的100万元，则n为（ ）
（参考数据：1g2≈0.3010，lg3＝0.4771）
A．5B．6C．7D．8
6．（2019•龙凤区校级模拟）数列1，，，…，的前n项和为（ ）
A．B．C．D．
7．（2018•漳州二模）已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和Sn，a1+a5＝10，a4是a1和a5的等比中项，则（ ）
A．有最大值9B．有最大值25
C．没有最小值D．有最小值﹣24
8．（2018秋•渝水区校级月考）已知函数（其中0＜φ＜π）的图象经过点P（3，2），令an＝f（n），则a1+a2+a3+…+a2019＝（ ）
A．2019B．C．6057D．
9．（2019秋•广东期末）已知函数f（x）的图象连续且在（2，+∞）上单调，又函数y＝f（x+2）的图象关于y轴对称，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a4）＝f（a2016），则{an}的前2019项之和为（ ）
A．0B．2019C．4038D．4040
10．（2019秋•陕西月考）若数列{an}的前n项和Sn满足：对∀n∈N*都有Sn≤M（M为常数）成立，则称数列{an}为“和敛数列”，则数列an＝，bn＝（）n，cn＝，dn＝中是“和敛数列”的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共4小题）
11．（2020•安徽模拟）已知数列{an}中，，记Sn为{an}的前n项和，则S2n＝ ．
12．（2020•丹东一模）已知Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝3，an+1＝Sn+1，则Sn＝ ．
13．（2020•苏州模拟）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a12＝2，且当n≥2时，为Sn和Sn﹣1的等差中项，则S32的值为
14．（2020•重庆模拟）数列{an}满足an＝（2n﹣1）cs（nπ+2019π），则其前2021项的和S2021＝ ．
三．解答题（共3小题）
15．（2020•辽宁一模）数列{an}的前n项和Sn，满足Sn＝an﹣a1，且a1＝3．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
16．（2020•邢台模拟）设等差数列{an﹣bn}的公差为2，等比数列{an+bn}的公比为2，且a1＝2，b1＝1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{2an+2n}的前n项和Sn．
17．（2020•绵阳模拟）若数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，an+1＝2Sn（n∈N*）．
（1）求Sn；
（2）设bn＝lg3Sn，求使得＞0.99成立的最小自然数n．
评卷人
得 分


第5讲 数列求和（专题测试）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2019秋•内蒙古期末）已知数列{an}是首项为a1＝2，公比q＝2的等比数列，且bn＝an+an+1．若数列{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝（ ）
A．3•2n﹣3B．3•2n+1﹣3C．3•2nD．3•2n+1﹣6
【解析】解：数列{an}是首项为a1＝2，公比q＝2的等比数列，
可得bn＝an+an+1＝2n+2n+1＝3•2n，
Sn＝＝6•2n﹣6，
故选：D．
【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查化简运算能力，属于基础题．
2．（2018秋•湘西州期末）数列，，，…，的前n项和为Sn＝（ ）
A．B．+2n
C．D．
【解析】解：数列1，2，3，…的前n项和为Sn＝（1+2+3+…+n）+（++…）
＝+（）
＝．
故选：C．
【点睛】本题考查数列求和，等差数列以及等比数列求和，考查计算能力．
3．（2020•黄州区校级模拟）已知数列{an}的通项公式为，则数列{an}的前2020项和为（ ）
A．B．C．D．
【解析】解：∵数列{an}的通项公式为＝（﹣1）n﹣1，
则数列{an}的前2020项和为：＝
1＝．
故选：C．
【点睛】本题考查了数列的递推关系式，数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．（2019秋•中原区校级月考）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝5，S5＝20，则数列{}的前1000项和为（ ）
A．B．C．D．
【解析】解：设首项为a1公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝5，S5＝20，
所以，解得，
所以an＝2+（n﹣1）＝n+1，
所以＝．
所以＝，
所以＝．
故选：C．
【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
5．（2019秋•沙坡头区校级月考）某工厂投资100万元开发新产品，第一年获利10万元，从第二年开始每年获利比上一年增加20%，若从第n年开始，前n年获利总和超过投资的100万元，则n为（ ）
（参考数据：1g2≈0.3010，lg3＝0.4771）
A．5B．6C．7D．8
【解析】解：设经过n年后获利总和超过投资的100万元，
所以10+10（1+20%）1+…+10（1+20%）n﹣1＞100，
即＞100，
所以＝．
故n＝7．
故选：C．
【点睛】本题考查的知识要点：数列的前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
6．（2019•龙凤区校级模拟）数列1，，，…，的前n项和为（ ）
A．B．C．D．
【解析】解：∵
所以数列的前n项和为
＝
＝
故选：B．
【点睛】求数列的前n项和的问题，一般先求出数列的通项，利用通项的特点，选择合适的求和方法．
7．（2018•漳州二模）已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和Sn，a1+a5＝10，a4是a1和a5的等比中项，则（ ）
A．有最大值9B．有最大值25
C．没有最小值D．有最小值﹣24
【解析】解：公差d不为0的等差数列{an}的前n项和Sn，a1+a5＝10，
可得2a1+4d＝10，
a4是a1和a5的等比中项，
可得a42＝a1a5，
即（a1+3d）2＝a1（a1+4d），
化为2a1+9d＝0，
解得a1＝9，d＝﹣2，
则＝＝，
可令t＝11﹣2n，可得2n＝11﹣t，
则f（t）＝＝﹣（t﹣﹣2），
当n＝1，t＝9，f（t）＝1；当n＝5，t＝1，f（t）＝25，
可得f（t）在n＝1到n＝5递增；
当n＝6，t＝﹣1，f（t）＝﹣24，
n＝7，t＝﹣3，f（t）＝﹣7，
可得f（t）在n≥6递增，
则有最小值﹣24，而无最大值，
故选：D．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的单调性和最值，以及方程思想和运算能力，属于中档题．
8．（2018秋•渝水区校级月考）已知函数（其中0＜φ＜π）的图象经过点P（3，2），令an＝f（n），则a1+a2+a3+…+a2019＝（ ）
A．2019B．C．6057D．
【解析】解：由函数（0＜φ＜π）的图象经过点P（3，2），
则f（3）＝3sin（2π+φ）﹣1＝3sinφ﹣1＝2，所以sinφ＝1，结合0＜φ＜π，可得φ＝，
an＝ncs﹣1，所以a3k﹣2＝（3k﹣2）（﹣）﹣1＝﹣k，
a3k﹣1＝（3k﹣1）（﹣）﹣1＝﹣k﹣，a3k＝3k﹣1，
所以a3k﹣2+a3k﹣1+a3k═﹣，
所以a1+a2+a3+…+a2019＝673×（﹣）＝﹣，
故选：B．
【点睛】本题考查三角函数的化简和求值，以及数列的求和，注意运用数列的并项求和，考查运算能力，属于中档题．
9．（2019秋•广东期末）已知函数f（x）的图象连续且在（2，+∞）上单调，又函数y＝f（x+2）的图象关于y轴对称，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a4）＝f（a2016），则{an}的前2019项之和为（ ）
A．0B．2019C．4038D．4040
【解析】解：∵函数y＝f（x+2）的图象关于y轴对称，且函数f（x）的图象连续且在（2，+∞）上单调，
∴y＝f（x）的图象关于x＝2对称，
由数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a4）＝f（a2016），
∴a4+a2016＝4，又{an}是等差数列，
∴a4+a2016＝a1+a2019＝4，
∴{an}的前2019项之和为．
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的平移变换、等差数列的性质以及等差数列的前n项和，需熟记公式与性质，属中档题．
10．（2019秋•陕西月考）若数列{an}的前n项和Sn满足：对∀n∈N*都有Sn≤M（M为常数）成立，则称数列{an}为“和敛数列”，则数列an＝，bn＝（）n，cn＝，dn＝中是“和敛数列”的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解析】解：因为an＝＝（﹣）；
∴Sn＝（﹣+﹣+…﹣）＝（﹣）；
故数列{an}为“和敛数列”，
因为bn＝（）n是等比数列
∴Sn＝＝2[1﹣]＜2；
可得数列{bn}为“和敛数列”；
由cn＝，
∴Sn＝3×+5×+7×+……+①；
∴Sn＝3×+5×+……++②；
①﹣②可得：：Sn＝+2[++……+]﹣＝+2×﹣
⇒Sn＝5﹣（2n+5）×＜5；
可得数列{cn}为“和敛数列”；
因为dn＝；
所以Sn＝1++（+）+（+++）+……+[+……+]+……
＞1+2×+4×+……2n×+……＞1++n×＝；
因此Sn不收敛，去括号得到原式也不收敛．
可得数列{dn}不为“和敛数列”．
则是“和敛数列”有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和和错位相减法、放缩法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
二．填空题（共4小题）
11．（2020•安徽模拟）已知数列{an}中，，记Sn为{an}的前n项和，则S2n＝ 3（2n﹣1） ．
【解析】解：∵①，
∴当n＝1时可得a2＝2，又an+1an+2＝2n+1②，
由②÷①可得：出＝2．
所以数列{an}的奇数项是以a1为首项，2为公比的等比数列，偶数项是以a2为首项，2为公比的等比数列．
故S2n＝+＝3（2n﹣1）．
故填：3（2n﹣1）．
【点睛】本题主要考查数列的奇数项、偶数项是等比数列的情况下前2n项和的求法，属于基础题．
12．（2020•丹东一模）已知Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝3，an+1＝Sn+1，则Sn＝ 2n﹣1 ．
【解析】解：an+1＝Sn+1﹣Sn＝Sn+1，可得Sn+1＝2Sn+1，
可化为Sn+1+1＝2（Sn+1），
可得数列{Sn+1}是公比为2的等比数列，
由S2＝3，可得Sn+1＝（S2+1）•2n﹣2＝2n，
则Sn＝2n﹣1．
故答案为：2n﹣1．
【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
13．（2020•苏州模拟）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a12＝2，且当n≥2时，为Sn和Sn﹣1的等差中项，则S32的值为 8
【解析】解：正项数列{an}的前n项和为Sn，a12＝2，且当n≥2时，为Sn和Sn﹣1的等差中项，
可得Sn+Sn﹣1＝＝，即为Sn2﹣Sn﹣12＝2，
可得{Sn2}是首项、公差均为2的等差数列，即有Sn2＝2n，
由题意可得Sn＝，n∈N*，
则S32＝＝8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查数列的递推式的运用，以及等差数列的定义和通项公式，考查化简运算能力，属于中档题．
14．（2020•重庆模拟）数列{an}满足an＝（2n﹣1）cs（nπ+2019π），则其前2021项的和S2021＝ 2021 ．
【解析】解：由题意，可知
cs（nπ+2019π）＝cs（nπ+π+2018π）＝cs（n+1）π，
an＝（2n﹣1）cs（n+1）π，
①当n为奇数时，n+1为偶数，此时cs（n+1）π＝1，an＝2n﹣1，
②当n为偶数时，n+1为奇数，此时cs（n+1）π＝﹣1，an＝﹣（2n﹣1），
∴an＝，
∴S2021＝a1+a2+a3+a4+…+a2019+a2020+a2021
＝1﹣3+5﹣7+…+4037﹣4039+4041
＝（1﹣3）+（5﹣7）+…+（4037﹣4039）+4041
＝（﹣2）×1010+4041
＝2021．
故答案为：2021．
【点睛】本题主要考查数列与三角函数的综合，以及运用分组求和法计算前n项和． 考查了分类讨论思想，转化与化归思想，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．
三．解答题（共3小题）
15．（2020•辽宁一模）数列{an}的前n项和Sn，满足Sn＝an﹣a1，且a1＝3．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
【解析】解：（1）由Sn＝an﹣a1①，可得Sn+1＝②，
由②﹣①可得an+1＝﹣an，即an+1＝3an．
又a1＝3，所以数列{an}是首项、公比均为3的等比数列，
∴an＝3n；
（2）由（1）知an＝3n，∵bn＝，∴bn＝，
∴Tn＝+3×（）2+5×（）3+…+③，
Tn＝（）2+3×（）3+…+（2n﹣3）（）n+④，
由③﹣④可得Tn＝+2[（）2+（）3+…+（）n]﹣＝+2×﹣＝﹣，
∴Tn＝1﹣．
【点睛】本题主要考查由数列的前n项和与第n项的关系式求通项公式及错位相减法求数列的和，属于基础题．
16．（2020•邢台模拟）设等差数列{an﹣bn}的公差为2，等比数列{an+bn}的公比为2，且a1＝2，b1＝1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{2an+2n}的前n项和Sn．
【解析】解：（1）a1﹣b1＝1，a1+b1＝3，
∴an﹣bn＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，an+bn＝3×2n﹣1．
联立解得an＝（2n﹣1）+3×2n﹣2．
（2）2an+2n＝2n﹣1+3×2n﹣1+2n＝2n﹣1+5×2n﹣1．
∴数列{2an+2n}的前n项和Sn＝+5×＝n2+5×2n﹣5．
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
17．（2020•绵阳模拟）若数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，an+1＝2Sn（n∈N*）．
（1）求Sn；
（2）设bn＝lg3Sn，求使得＞0.99成立的最小自然数n．
【解析】解：（1）数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，an+1＝2Sn（n∈N*）．所以Sn+1＝3Sn，
所以{Sn}是等比数列，首项为1，公比为3等比数列．Sn＝3n﹣1．
（2）bn＝lg3Sn＝n﹣1，
＝
＝＝1，
＞0.99成立，即1＞0.99，解得n＞99，
所以最小自然数n为100．
【点睛】本题考查数列与不等式相结合，数列求和以及数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．