高一数学下册期末考点大串讲(人教A版)第5讲圆与方程(知识点串讲)特训（学生版+解析）

这是一份高一数学下册期末考点大串讲(人教A版)第5讲圆与方程(知识点串讲)特训（学生版+解析），共6页。试卷主要包含了圆的定义及方程，点与圆的位置关系等内容，欢迎下载使用。

1．圆的定义及方程
2．点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2．
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2．
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2．
3. 确定圆心的方法
求圆的标准方程，其关键是确定圆心，确定圆心的主要方法有：
(1)当题目条件中出现直线与圆相切时，可利用圆心在过切点且与切线垂直的直线上来确定圆心位置；
(2)当题目条件中出现直线与圆相交，可考虑圆心在弦的垂直平分线上；
(3)当题目条件出现两圆相切时，可考虑切点与两圆的圆心共线．
4. 求圆的方程的两种方法
(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．
(2)待定系数法：
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
例1．(2019·山东威海调研)若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是( )
A．RB．(－∞，1)
C．(－∞，1]D．[1，＋∞)
例2．(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为____________．
练习．(2019·黑龙江伊春月考)过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在x＋y－2＝0上的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
5. 与圆有关的最值问题的常见解法
(1)形如μ＝eq \f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
例3. 已知实数x, y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0．
(1)求eq \f(y,x)的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值．
[变式探究] 在本例条件下，求x2＋y2的最大值和最小值．
练习. 已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )
A．7 B．6
C．5 D．4
定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准
方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心(a，b)，半径r
一般
方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F＞0)
圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，
半径eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)
第五讲 圆与方程
1．圆的定义及方程
2．点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2．
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2．
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2．
3. 确定圆心的方法
求圆的标准方程，其关键是确定圆心，确定圆心的主要方法有：
(1)当题目条件中出现直线与圆相切时，可利用圆心在过切点且与切线垂直的直线上来确定圆心位置；
(2)当题目条件中出现直线与圆相交，可考虑圆心在弦的垂直平分线上；
(3)当题目条件出现两圆相切时，可考虑切点与两圆的圆心共线．
4. 求圆的方程的两种方法
(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．
(2)待定系数法：
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
例1．(2019·山东威海调研)若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是( )
A．R B．(－∞，1)
C．(－∞，1]D．[1，＋∞)
【答案】B [由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可得(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示圆，则5－5k>0，解得k<1.故实数k的取值范围是(－∞，1). ]
例2．(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为____________．
【答案】x2＋y2－2x＝0 [方法一 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F＝0，,2＋D＋E＋F＝0，,4＋2D＋F＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－2，,E＝0，,F＝0.))
∴圆的方程为x2＋y2－2x＝0．
方法二 画出示意图如图所示，则△OAB为等腰直角三角形，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1，所以所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.]
练习．(2019·黑龙江伊春月考)过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在x＋y－2＝0上的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
【答案】C [AB的中垂线方程为y＝x，所以由y＝x，x＋y－2＝0的交点得圆心(1,1)，半径为2，因此圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4 .]
5. 与圆有关的最值问题的常见解法
(1)形如μ＝eq \f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
例3. 已知实数x, y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0．
(1)求eq \f(y,x)的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值．
解 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，eq \r(3)为半径的圆．
(1) eq \f(y,x)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设eq \f(y,x)＝k，即y＝kx．
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取得最大值或最小值，此时eq \f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq \r(3)，解得k＝±eq \r(3)(如图1)．
所以eq \f(y,x)的最大值为eq \r(3)，最小值为－eq \r(3)．
图1 图2
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时eq \f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq \r(3)，解得b＝－2±eq \r(6)(如图2)．
所以y－x的最大值为－2＋eq \r(6)，最小值为－2－eq \r(6)．
[变式探究] 在本例条件下，求x2＋y2的最大值和最小值．
解 x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图)．
又圆心到原点的距离为eq \r(2－02＋0－02)＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋eq \r(3))2＝7＋4eq \r(3)，x2＋y2的最小值是(2－eq \r(3))2＝7－4eq \r(3)．
练习. 已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )
A．7 B．6
C．5 D．4
【答案】B [由(x－3)2＋(y－4)2＝1，知圆上点P(x0，y0)可化为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝3＋cs θ，,y0＝4＋sin θ.))
∵∠APB＝90°，即eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＝0，
∴(x0＋m)(x0－m)＋yeq \\al(2,0)＝0，
∴m2＝xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝26＋6cs θ＋8sin θ＝26＋10sin(θ＋φ)≤36(其中tanφ＝eq \f(3,4))，∴0定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准
方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心(a，b)，半径r
一般
方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F＞0)
圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，
半径eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)