高一数学下册期末考点大串讲(人教A版)第2讲直线、平面平行和垂直的判定与性质(专题测试)特训（学生版+解析）

这是一份高一数学下册期末考点大串讲(人教A版)第2讲直线、平面平行和垂直的判定与性质(专题测试)特训（学生版+解析），共17页。
1．（2019秋•开封期末）下列条件中，能判断平面α与平面β平行的是（ ）
A．α内有无穷多条直线都与β平行
B．α与β同时平行于同一条直线
C．α与β同时要垂直于同一条直线
D．α与β同时垂直于同一个平面
2．（2019秋•吉安期末）下列命题是公理的是（ ）
A．平行于同一个平面的两个平面互相平行
B．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
D．空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
3．（2020•五华区校级模拟）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2AD，E为棱CD的中点，则（ ）
A．A1E⊥DD1B．A1E⊥DBC．A1E⊥D1C1D．A1E⊥DB1
4．（2019秋•南平期末）在空间中，已知AB→=（1，﹣1，0），DC→=（﹣1，0，1），则异面直线AB与DC所成角的大小为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
5．（2020•丹东一模）在空间中，l，m，n是三条两两不同的直线，α、β是两个不同的平面，则m∥n的一个充分条件是（ ）
A．m⊥l，n⊥lB．m∥α，n∥α
C．α∥β，m⊂α，n⊂βD．m∥α，m⊂β，α∩β＝n
6．（2020•龙岩模拟）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AD1的中点，F为BD的中点，下列结论正确的是（ ）
A．EF∥C1DB．EF⊥BD
C．EF∥平面BCC1B1D．EF⊥平面AB1C1D
7．（2020•柳州模拟）在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，若△ABC为等边三角形，且BB1=3AB，则AB1与C1B所成角的余弦值为（ ）
A．38B．14C．34D．58
8．（2020•甘肃模拟）设m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：
①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；
②若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α；
③若m⊥n，m⊥α，α∥β，则n∥β；
④若α⊥β，α∩β＝l，m∥α，m⊥l，则m⊥β．
其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
9．（2020春•广东月考）在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论，不一定成立的为（ ）
①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC．
A．①③B．③④C．①②D．②④
10．（2020•梧州模拟）如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD=2，BD⊥CD．将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是（ ）
A．A′C⊥BD
B．∠BA′C＝90°
C．CA′与平面A′BD所成的角为30°
D．四面体A′﹣BCD的体积为13
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共4小题）
11．（2020•贵州模拟）已知三个互不重合的平面α，β，γ，且直线m，n不重合，由下列条件：
①m⊥n，m⊥β；②n⊂α，α∥β；③α⊥γ，β⊥γ，n⊂α；
能推得n∥β的条件是 ．
12．（2019秋•汕头校级期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 ．
13．（2020•淇滨区校级模拟）已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB＝DC＝AD＝2，BC＝4，△PAD为等边三角形且平面PAD⊥平面ABCD，则球O的表面积为 ．
14．（2020•四川模拟）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若AB＝2，BC＝1，异面直线C1C与B1D所成角的大小为30°，则AD1＝ ．
三．解答题（共3小题）
15．（2020春•浙江月考）如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是等边三角形，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝BC＝2，∠ABC=π3，F，G分别是PC，AD的中点．
（1）①求证：FG∥平面PAB；
②求线段FG的长度．
（2）若PC＝3，求直线FG与平面PBC所成角的正弦值．
16．（2020•江苏模拟）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC=π3．四边形CDEF是平行四边形，且DE=212．点E，F在平面ABCD内的射影为H，G，且G在AC上，四棱锥F﹣ABCD的体积为2．
（1）求证：平面DHE⊥平面BDF；
（2）在EF上是否存在点M，使MG∥平面BCF？如果存在，试确定点M的位置，如果不存在，请说明理由．
17．（2020•全国Ⅱ卷模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD＝2，AB＝BC＝CD＝1，BC∥AD，∠PAD＝90°．∠PBA为锐角，平面PAB⊥平面PBD．
（Ⅰ）证明：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）AD与平面PBD所成角的正弦值为24，求三棱锥P﹣ABD的表面积．
第2讲 直线、平面平行和垂直的判定与性质（专题测试）
一．选择题（共10小题）
1．（2019秋•开封期末）下列条件中，能判断平面α与平面β平行的是（ ）
A．α内有无穷多条直线都与β平行
B．α与β同时平行于同一条直线
C．α与β同时要垂直于同一条直线
D．α与β同时垂直于同一个平面
【解析】解：对于A，若α内有无穷多条平行的直线与β平行，则不能说明α平行β；
对于B，平行于同一条直线的两个平面可能不平行，还可以相交；
对于C，垂直于同一条直线的两平面平行；
对于D，垂直于同一平面的两个平面不一定平行，还可以垂直．
综上，选项C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查空间中面面平行的判定，考查空间直线、平面间的位置关系，属于基础题．
2．（2019秋•吉安期末）下列命题是公理的是（ ）
A．平行于同一个平面的两个平面互相平行
B．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
D．空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
【解析】解：A，D为定理，不是公理；
对于B，垂直于同一条直线的两条直线可能平行、也可能相交、也可能异面，故B错误；
C是教材中给出的公理．
故选：C．
【点睛】本题考查平面的基本性质及推论，是基础题．
3．（2020•五华区校级模拟）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2AD，E为棱CD的中点，则（ ）
A．A1E⊥DD1B．A1E⊥DBC．A1E⊥D1C1D．A1E⊥DB1
【解析】解：连结AE，BD，
因为AB=2AD，所以ABAD=ADDE=2，
所以△ABD∽△DAE，所以∠DAE＝∠ABD，
所以∠EAB+∠ABD＝90°，即AE⊥BD，
所以BD⊥平面A1AE，
所以A1E⊥DB．
故选：B．
【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
4．（2019秋•南平期末）在空间中，已知AB→=（1，﹣1，0），DC→=（﹣1，0，1），则异面直线AB与DC所成角的大小为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【解析】解：cs＜AB→，DC→＞=|AB→⋅DC→||AB→||DC→|=12⋅2=12，
由异面直线所成角的范围为(0，π2]可知，异面直线AB与DC所成角的大小为π3．
故选：B．
【点睛】本题考查利用空间向量求异面直线所成角，考查运算求解能力，属于基础题．
5．（2020•丹东一模）在空间中，l，m，n是三条两两不同的直线，α、β是两个不同的平面，则m∥n的一个充分条件是（ ）
A．m⊥l，n⊥lB．m∥α，n∥α
C．α∥β，m⊂α，n⊂βD．m∥α，m⊂β，α∩β＝n
【解析】解：若m⊥l，n⊥l，则m与n可能平行，还可能相交，还可能异面，∴A不是m∥n的一个充分条件；
若m∥α，n∥α，则m与n可能平行，还可能相交，还可能异面，∴B不是m∥n的一个充分条件；
若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n可能平行，还可能异面，∴C不是m∥n的一个充分条件；
若m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则根据直线与平面平行的性质定理，得到m∥n，∴D是m∥n的一个充分条件．
故选：D．
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
6．（2020•龙岩模拟）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AD1的中点，F为BD的中点，下列结论正确的是（ ）
A．EF∥C1DB．EF⊥BD
C．EF∥平面BCC1B1D．EF⊥平面AB1C1D
【解析】解：如图，
连接CD1，∵F为BD的中点，则F为AC的中点，
又E为AD1的中点，∴EF为△ACD1的中位线，得EF∥CD1，
∵CD1与C1D相交，∴EF与C1D不平行，故A错误；
连接B1D1，B1C，可得△B1D1C为等边三角形，即∠B1CD1＝60°，
又EF∥CD1，BD∥B1D1，∴∠B1CD1为EF与BD所成角为60°，故B错误；
∵CD1与平面BCC1B1相交，而EF∥CD1，∴EF与平面BCC1B1相交，故C错误；
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C1⊥CD1，而CD1⊥C1D，
又B1C1∩C1D＝C1，∴CD1⊥平面平面AB1C1D，而EF∥CD1，∴EF⊥平面AB1C1D，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
7．（2020•柳州模拟）在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，若△ABC为等边三角形，且BB1=3AB，则AB1与C1B所成角的余弦值为（ ）
A．38B．14C．34D．58
【解析】解：设AB＝1，BB1=3，
连结B1C交BC1于点M，取AC中点N，
连结MN，BN，则AB1∥MN且MN=12AB1=123+1=1，
则AB1与C1B所成角即为∠NMB，
又BN=32，BM=12BC1=1，
所以cs∠NMB=1+1−342×1×1=58．
故AB1与C1B所成角的余弦值为58．
故选：D．
【点睛】本题考查异面所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
8．（2020•甘肃模拟）设m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：
①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；
②若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α；
③若m⊥n，m⊥α，α∥β，则n∥β；
④若α⊥β，α∩β＝l，m∥α，m⊥l，则m⊥β．
其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
【解析】解：由m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．知：
在①中，若m∥α，n∥β，α∥β，则m与n相交、平行或异面，故①错误；
在②中，若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则由线面垂直的性质定理得m∥α，故②正确；
在③中，若m⊥n，m⊥α，α∥β，则n与β平行或n⊂β，故③错误；
在④中，若α⊥β，α∩β＝l，m∥α，m⊥l，则由线面垂直的判定定理得m⊥β，故④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查命题的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
9．（2020春•广东月考）在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论，不一定成立的为（ ）
①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC．
A．①③B．③④C．①②D．②④
【解析】解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．
在①中：由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，
∴SO⊥AC．
∵SO∩BD＝O，∴AC⊥平面SBD，
∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，
∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN＝N，
∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．
在②中：由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，
不可能EP∥BD，因此不正确；
在③中：由①可知平面EMN∥平面SBD，
∴EP∥平面SBD，因此正确．
在④中：由①同理可得：EM⊥平面SAC，
若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM＝E相矛盾，
因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．
∴恒不一定成立的结论是：②④．
故选：D．
【点睛】考查空间线面、面面的位置关系判定，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．
10．（2020•梧州模拟）如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD=2，BD⊥CD．将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是（ ）
A．A′C⊥BD
B．∠BA′C＝90°
C．CA′与平面A′BD所成的角为30°
D．四面体A′﹣BCD的体积为13
【解析】解：若A成立可得BD⊥A'D，产生矛盾，故A不正确；
由题设知：△BA'D为等腰Rt△，CD⊥平面A'BD，得BA'⊥平面A'CD，于是B正确；
由CA'与平面A'BD所成的角为∠CA'D＝45°知C不正确；
VA′﹣BCD＝VC﹣A′BD=16，D不正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及三棱锥的体积的计算，同时考查了空间想象能力，论证推理能力，解题的关键是须对每一个进行逐一判定．
二．填空题（共4小题）
11．（2020•贵州模拟）已知三个互不重合的平面α，β，γ，且直线m，n不重合，由下列条件：
①m⊥n，m⊥β；②n⊂α，α∥β；③α⊥γ，β⊥γ，n⊂α；
能推得n∥β的条件是 ② ．
【解析】解：①m⊥n，m⊥β；可能n⊂β；
②n⊂α，α∥β；面面平行的性质得出成立；
③α⊥γ，β⊥γ，n⊂α；若α与β相交，n可能与β相交，
故答案为：②
【点睛】考查线面，线线，面面平行的性质和判定定理，基础题．
12．（2019秋•汕头校级期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 1010 ．
【解析】解：以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），B（0，0，0），B1（0，0，1），C1（0，1，1），
AB1→=（﹣2，0，1），BC1→=（0，1，1），
设异面直线AB1与BC1所成角为θ，
则csθ=|AB1→⋅BC1→||AB1→|⋅|BC1→|=15⋅2=1010．
∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为1010．
故答案为：1010．
【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
13．（2020•淇滨区校级模拟）已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB＝DC＝AD＝2，BC＝4，△PAD为等边三角形且平面PAD⊥平面ABCD，则球O的表面积为 523π ．
【解析】解：由题意可知，几何体的图形，如图：
底面ABCD是等腰梯形，侧面PAD是正三角形与底面ABCD垂直，所以四棱锥的外接球的球心，是O，在底面ABCD的外心的垂直直线与侧面PAD的外心的垂直直线的交点，
因为AD∥BC，AB＝DC＝AD＝2，BC＝4，△PAD为等边三角形且平面PAD⊥平面ABCD，
所以E是底面ABCD的外心，半径为2，OE＝GF，G是正三角形的外心，OE=33，EA＝2，
所以外接球的半径为R=(33)2+22=133，
则球O的表面积为：4π×(133)2=523π．
故答案为：523π．
【点睛】本题考查空间几何体的外接球的表面积的求法，四棱锥的结构特征的判断，判断外接球的外心的位置是解题的难题，也是关键，空间空间想象能力以及计算能力，是难题．
14．（2020•四川模拟）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若AB＝2，BC＝1，异面直线C1C与B1D所成角的大小为30°，则AD1＝ 4 ．
【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设CD1＝t，则C（0，2，0），C1（0，2，t），B1（1，2，t），D（0，0，0），
CC1→=（0，0，t），B1D→=（﹣1，﹣2，﹣t），
∵异面直线C1C与B1D所成角的大小为30°，
∴cs30°=|C1C→⋅B1D→||C1C→|⋅|B1D→|=t2t5+t2，
解得t=15，
∴AD1=(15)2+12=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．
三．解答题（共3小题）
15．（2020春•浙江月考）如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是等边三角形，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝BC＝2，∠ABC=π3，F，G分别是PC，AD的中点．
（1）①求证：FG∥平面PAB；
②求线段FG的长度．
（2）若PC＝3，求直线FG与平面PBC所成角的正弦值．
【解析】解：（1）①证明：取BC的中点I，则GI∥AB，FI∥PB，
∵GI∩FI＝I，AB∩BP＝B，
∴平面GFI∥平面PAB，
∴FG∥平面PAB；
②由①可知，FI=1，IG=32，∠FIG=∠PBA=60°，
由余弦定理有，FG=1+94−2×1×32×cs60°=72．
（2）∵PO=OC=3，PC=3，
∴∠POC＝120°，
又EO⊥AB，OC⊥AB，
∴AB⊥平面POC，
∴平面POC⊥平面ABC，
延长CO到H，使得PH⊥OH，则PH⊥平面ABC，PH=32，
∵PB＝BC＝2，PC＝3，
∴S△GBC=374，
设G到平面PBC的距离设为h，则ℎ×374=32×334，
∴ℎ=32114，
∴直线FG与平面PBC所成角的正弦值为ℎFG=337．
【点睛】本题考查线面平行的判定以及面面平行的判定及性质，考查线面角的求解，同时也考查了线面垂直的判定以及等体积法的运用，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
16．（2020•江苏模拟）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC=π3．四边形CDEF是平行四边形，且DE=212．点E，F在平面ABCD内的射影为H，G，且G在AC上，四棱锥F﹣ABCD的体积为2．
（1）求证：平面DHE⊥平面BDF；
（2）在EF上是否存在点M，使MG∥平面BCF？如果存在，试确定点M的位置，如果不存在，请说明理由．
【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又F在平面ABCD内的射影为G，且G在AC上，
∴FG⊥平面ABCD，
又BD在平面ABCD内，
∴FG⊥BD，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴DE∥FG，则BD⊥DE，
又点E在平面ABCD内的射影为H，
∴EH⊥平面ABCD，
又BD在平面ABCD内，
∴EH⊥BD，
∵DE∩EH＝E，且都在平面DHE内，
∴BD⊥平面DHE，
又BD在平面BDF内，
∴平面DHE⊥平面BDF；
（2）在EF上存在点M，且FMEF=34，使MG∥平面BCF，理由如下：
∵四棱锥F﹣ABCD的体积为2．
∴13×(2×12×2×2×32)×FG=2，
∴FG=3，则DE=3，
又DE=212，则DH=214−3=32，则CG=32，
又AC＝2，
∴CGAC=322=34，
在CD上取点N，使得CNCD=34，在EF上取点M，使得FMEF=34，则NG∥AD∥BC，MN∥CF，
又MN∩NG＝N，CF∩BC＝C，且CF与BC均在平面BCF内，
∴平面MNG∥平面BCF，
又MG在平面MNG内，
∴MG∥平面BCF．
【点睛】本题考查面面垂直的判定及面面平行的性质定理以及线面平行的判定，考查逻辑推理能力，属于中档题．
17．（2020•全国Ⅱ卷模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD＝2，AB＝BC＝CD＝1，BC∥AD，∠PAD＝90°．∠PBA为锐角，平面PAB⊥平面PBD．
（Ⅰ）证明：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）AD与平面PBD所成角的正弦值为24，求三棱锥P﹣ABD的表面积．
【解析】解：（Ⅰ）证明：作AM⊥PB于M，
则由平面PAB⊥平面PBD⇒AM⊥平面PBD⇒AM⊥BD．
取AD中点为Q，
则BC∥¯¯QD⇒BQ=CD=1=QD=QA⇒∠ABD=90°．
又∠PBA为锐角，∴点M与点B不重合．
DB⊥ABDB⊥AM⇒DB⊥平面PAB⇒DB⊥PA．
又PA⊥AD，DB与AD为平面ABCD内两条相交直线，
故PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：AM⊥平面PBD，
故∠ADM即为AD与平面PBD所成角，AMAD=24⇒AM=22．
在Rt△PAB中，AM=22⇒∠PBA=45°，
故PA＝1，S△PAB=12，S△PAD＝1，S△ABD=AB⋅BD2=32．
而∠PBD=90°⇒S△PBD=PB⋅BD2=2×32=62，
故所求表面积为：12+1+32+62=3+3+62．
【点睛】本题考查空中线面平行、线面垂直、面面垂直、锥体表面积求法，考查空间想象能力、推理论证能力、考查运算求解能力，是中档题．