高一数学下册期末考点大串讲(人教A版)第3讲等差数列及其前n项和(知识点串讲)特训（学生版+解析）

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【知识梳理】
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
【考点精炼】
考点一：定义辨析
例1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.( )
(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．( )
(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．( )
【知识梳理】
2．等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.
3．等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项.
4．等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝eq \f(na1＋an,2)或Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d.
5．等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n.
数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
【考点精炼】
考点二：等差数列的基本运算
例2、(2019·内蒙古赤峰月考)等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝0，则公差d等于( )
A．－1B．1
C．2D．－2
练习．(2018·山东临沂期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a6＝14，则S7＝( )
A．13B．35
C．49D．63
练习．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( )
A．－12B．－10
C．10D．12
练习．(2018·吉林长春期末)《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布( )
A．30尺B．90尺
C．150尺D．180尺
等差数列运算问题的通性通法
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．
(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．
考点三：等差数列的判定与证明
例3、已知数列{an}中，a1＝eq \f(3,5)，an＝2－eq \f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝eq \f(1,an－1)(n∈N*)．
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．
[变式探究] 本例中，若将条件变为a1＝eq \f(3,5)，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，试求数列{an}的通项公式．
等差数列的四种判断方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列. 可用来判定与证明．
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．可用来判定与证明．
(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列．
(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列．
练习 (2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．
已知S2＝2，S3＝－6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．
【知识梳理】
6．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．
7．等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d0，设其前n项和为Sn，且S5＝S12，则当n为何值时，Sn有最大值？
1．等差数列的性质
(1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔eq \f(am－an,m－n)＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差．
(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)．
②S2n－1＝(2n－1)an.
2．求等差数列前n项和Sn最值的两种方法
(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝An2＋Bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(易忽视n∈N*)
(2)邻项变号法：
①当a1>0，d0，d0，设其前n项和为Sn，且S5＝S12，则当n为何值时，Sn有最大值？
解 设等差数列{an}的公差为d，由S5＝S12得5a1＋10d＝12a1＋66d，d＝－eq \f(1,8)a10，n∈N*，所以当n＝8或n＝9时，Sn有最大值．
法二(通项变号法)：设此数列的前n项和最大，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥0，,an＋1≤0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋n－1·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)a1))≥0，,a1＋n·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)a1))≤0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n≤9，,n≥8，))即8≤n≤9，
又n∈N*，所以当n＝8或n＝9时，Sn有最大值．
1．等差数列的性质
(1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔eq \f(am－an,m－n)＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差．
(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)．
②S2n－1＝(2n－1)an.
2．求等差数列前n项和Sn最值的两种方法
(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝An2＋Bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(易忽视n∈N*)
(2)邻项变号法：
①当a1>0，d0；当n＝5时，an