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沪科版七年级数学上册举一反三专项练习1.5有理数的乘方【十大题型】(学生版+解析)
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专题1.5 有理数的乘方【十大题型】【沪科版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc25493" 【题型1 乘方的意义】 PAGEREF _Toc25493 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc1500" 【题型2 乘方运算的符号规律】 PAGEREF _Toc1500 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc19438" 【题型3 根据乘方运算判断整除问题】 PAGEREF _Toc19438 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc23544" 【题型4 根据乘方运算解决进制问题】 PAGEREF _Toc23544 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc2633" 【题型5 根据乘方运算判断末位数字问题】 PAGEREF _Toc2633 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc5235" 【题型6 含乘方的数字及图形规律问题】 PAGEREF _Toc5235 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc25939" 【题型7 含乘方的新定义问题】 PAGEREF _Toc25939 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc22669" 【题型8 应用乘方解决实际问题】 PAGEREF _Toc22669 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc29052" 【题型9 科学记数法的表示与还原】 PAGEREF _Toc29052 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc8774" 【题型10 近似数的表示】 PAGEREF _Toc8774 \h 10【知识点1 有理数乘方的概念】求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．即有：.在中，叫做底数， n叫做指数.【题型1 乘方的意义】【例1】（2023春·广西来宾·七年级统考期中）（﹣2）4表示的意义是（ ）A．﹣2×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2） B．﹣2+（﹣2）+（﹣2）+（﹣2）C．﹣2×4 D．2×2×2×2【变式1-1】（2023春·江苏苏州·七年级苏州市工业园区第一中学校考阶段练习）如图，写成幂的形式 ．2×2×⋅⋅⋅×2m个23+3+⋅⋅⋅+3n个3【变式1-2】（2022秋·河北邯郸·八年级校考期中）若 k 为正整数，则(k3)4的意义为（ ）A．4 个k3 相加 B．3 个k4 相加 C．4 个k3 相乘 D．7 个 k 相乘【变式1-3】（2023春·七年级课时练习）阅读理解：根据乘方的意义，可得：22×23＝（2×2）×（2×2×2）＝25．请你试一试，完成以下题目：（1）a3•a4＝（a•a•a）•（a•a•a•a）＝ ；（2）归纳、概括：am•an＝ ；（3）如果xm＝4，xn＝9，运用以上的结论，计算：xm+n＝ ．【知识点2 有理数乘方的运算】（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．【题型2 乘方运算的符号规律】【例2】（2023春·湖南娄底·七年级统考期末）计算（-2）11+（-2）10的值是（ ）A．-2 B．（-2）21 C．0 D．-210【变式2-1】（2022秋·湖南永州·七年级统考期末）若x−2+y+32=0，则x+y2020= ．【变式2-2】（2023春·安徽安庆·七年级统考期中）下列各组数中，数值相等的一组是（ ）A．32和23 B．（﹣2）3和﹣23C．﹣32和（﹣3）2 D．﹣（2×3）2和﹣2×32【变式2-3】（2023春·江苏南京·七年级统考期末）若x是有理数，则x2＋1一定（ ）A．大于1 B．小于1 C．不小于1 D．不大于1【知识点3 含乘方的混合运算】有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．【题型3 根据乘方运算判断整除问题】【例3】（2023春·重庆北碚·七年级江北中学校考阶段练习）阅读理解题，阅读材料：设正整数a可以写成a=an1000n+an−11000n−1+⋯+a0，（其中0≤ai<1000，i=0,1,⋯,n）若a0+a2+⋯−a1+a3+⋯能被13整除，则a也能被13整除，反之，若a能被13整除，则a0+a2+⋯−a1+a3+⋯也能被13整除。比如：①3055=3×1000+55，因为55−3=52=13×4，能被13整除，所以3055能被13整除②2052596=2×10002+52×1000+596因为596+2−52=546=13×42，能被13整除，所以2052596能被13整除③2771855489=2×10003+771×10002+855×1000+489因为489+771−855+2=403=13×31，能被13整除，所以2771855489能被13整除（1）按照上面提供的方法，试判断4060698967能否被13整除，并写出过程；（2）若7位正整数307552m能被13整除，试求m的值.【变式3-1】（2022秋·浙江·七年级专题练习）试说明257+513能被30整除．【变式3-2】（2022秋·全国·七年级期中）当自然数n的个位数分别为0，1，2，…，9时，n2,n3,n4的个位数如表所示：在10，11，12，13这四个数中，当n= 时，和数2001n+2002n+2003n+2004n能被5整除．【变式3-3】（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考开学考试）阅读下列材料，回答问题：材料一：在大于1的整数中，除了能被1和本身整除外，还能被其它数（0除外）整除的数，称为合数．材料二：若一个各个数位上的数字都不为零的四位数，其千位上的数字与个位上的数字相等，百位上的数字与十位上的数字相等，且该数前两位数字组成的两位数和后两位数字组成的两位数都是合数，则称该数为“对称合数”，如2552，6886都是“对称合数”．（1）最小的“对称合数”为_________，最大的“对称合数”为_________；（2）若“对称合数”的前两位数字组成的两位数和后两位数字组成的两位数之和是完全平方数，求满足条件的所有“对称合数”的个数，并把它们写出来．【题型4 根据乘方运算解决进制问题】【例4】（2022秋·湖北武汉·七年级统考期中）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若干2n数的和，依次写出1或0即可．如1910=16+2+1=1×24+0×23+0×22+1×21+1=100112为二进制下的五位数，则十进制2022是二进制下的（ ）A．10位数 B．11位数 C．12位数 D．13位数【变式4-1】（2023春·山东威海·六年级统考期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）A．84 B．336 C．510 D．1326【变式4-2】（2022秋·浙江温州·七年级校考期中）远古美索不达米亚人创造了一套以60进制为主的楔形文记数系统，对于大于59的数，美索不达米亚人则采用六十进制的位值记法，位置的区分是靠在不同楔形记号组之间留空，例如：，左边的表示2×602，中间的表示3×60，右边的表示1个单位，用十进制写出来是7381．若楔形文字记数，表示十进制的数为（ ）A．4203 B．3603 C．3723 D．4403【变式4-3】（2023春·重庆·七年级重庆八中校考期中）我们通常用到的数我们称之为十进制数，在表示十进制数时，我们需要用到10 个数的数码：0，1，····，9：例如：9810···，如果用我们刚学习过的乘方运算来表示，那么9810=9000+800+10+0=9 103 +8102 +1101+0 ，在表示三进制数时，我们需要用到三个数码：0，1，2，例如：三进制数201=2×32+0×31+1，等于十进制的数19，那么二进制中的10101 等于十进制的数________．【题型5 根据乘方运算判断末位数字问题】【例5】（2023春·四川成都·七年级统考期末）观察下列算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，…，则3+32+33+34+35+…+32019的末位数字是 ．【变式5-1】（2023春·湖南湘潭·七年级湘潭电机子弟中学校考阶段练习）数72020的末位数字是（ ）A．1 B．3 C．7 D．9【变式5-2】（2022秋·全国·七年级期中）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…，根据上述算式中的规律，221+311的末位数字是（ ）A．3 B．5 C．7 D．9【变式5-3】（2022秋·湖南邵阳·七年级校联考期中）已知a=−3，b=4，那么a2022+b2023的末位数字是（ ）．A．3 B．5 C．7 D．无法确定【题型6 含乘方的数字及图形规律问题】【例6】（2023春·广东汕头·七年级汕头市龙湖实验中学校考期中）如图，数轴上O、A两点的距离为4，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4,A5,A6,...,An(n≥3，n是整数)处，问经过这样2021次跳动后的点与O点的距离是 ．【变式6-1】（2023春·河南南阳·七年级统考期中）“数形结合"是一种重要的数学思想，观察下面的图形和算式.1+3=4=22 1+3+5=9=32 1+3+5+7=16=42 1+3+5+7+9=25=52 解答下列问题：(1)试猜想1+3+5+7+9+…+19=______=（ ）²；(2)试猜想，当n是正整数时，1+3+5+7+9+…+(2n-1)= ；(3)请用（2）中得到的规律计算：19+21+23+25+27+…+99.【变式6-2】（2022秋·辽宁大连·七年级统考期末）观察下面三行数：2，−4，8，−16，32，−64，……； ①0，−6，6，−18，30，−66，……； ②−1，2，−4，8，−16，32，……； ③观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题．（1）第①行的第8个数是________，第n个数是________；（2）第②行的第n个数是________，第③行的第n个数是________；（3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和．【变式6-3】（2023·浙江·七年级期中）观察下列由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律，如图1所示：共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图2所示：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图3所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见；…….（1）写出第6个图中看不见的小立方体有______个；（2）猜想并写出第n个图形中看不见的小立方体的个数为______个.【题型7 含乘方的新定义问题】【例7】（2022秋·全国·七年级期末）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“和平数”．定义：对于一个正整数m，若将其各个数位上的数字分别平方后取其个位数字，顺次排列后，得到一个新数n，则称n是m的“和平数”．例如：m=354，将其各个数位上的数字分别平方后得到的数为9，25，16，它们的个位数字依次为9，5，6，那么m=354的“和平数”n为956．(1)求178的“和平数”与2035的“和平数”；(2)若一个三位正整数x的“和平数”是195，求满足条件的所有x的值．【变式7-1】（2023·全国·九年级专题练习）定义运算：a∗b=aba≤b，a≠0baa>b，b≠0，则2∗1∗−3∗3= ．【变式7-2】（2022秋·江苏南京·七年级校考阶段练习）概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作−3④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把a÷a÷⋅⋅⋅÷an个a（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．初步探究（1）直接写出计算结果：2③ = ，−12⑤= ；（2）关于除方，下列说法错误的是 A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1； C．3④=4③ D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．深入思考：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．−3的圈4次方＝ ；5的圈5次方＝ ；(−12)的圈6次方＝ ．（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于________；（3）算一算：24÷23+−8×2③．【变式7-3】（2022秋·全国·七年级专题练习）请认真阅读下面材料，并解答下列问题．如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，即指数式ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，对数式记作：logaN＝b．例如：①因为指数式22＝4，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：log24＝2；②因为指数式42＝16，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：log416＝2.（1）请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式：①62＝36；②43＝64；（2）将下列对数式改为指数式：①log525＝2；②log327＝3；（3）计算：log232【题型8 应用乘方解决实际问题】【例8】（2022秋·江苏南京·七年级统考期中）下列情景描述的结果与25相符的是 （填写所有正确选项的序号） ①把一张报纸沿同一方向连续对折5次得到的后折痕条数；②把一团和好的面，揉搓成一根长条后，连续拉扣5次得到的面条根数③细胞分裂时，由1个分裂成2个，由2个分裂成4个，以此类推，一个这样的细胞分裂5次形成的细胞个数．【变式8-1】（2022秋·浙江·七年级期中）小王在word文档中设计好一张A4规格的表格根据要求，这种规格的表格需要设计1000张，小王欲使用“复制一粘贴”（用鼠标选中表格，右键点击“复制”，然后在本word文档中“粘贴”）的办法满足要求．请问：小王需要使用“复制一粘贴”的次数至少为（ ）A．9次 B．10次 C．11次 D．12次【变式8-2】（2022秋·四川成都·七年级四川省成都市七中育才学校校考期中）《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完，若按此方式截一根长为1的木棍，第4天截取后木棍剩余的长度是 ．【变式8-3】（2023春·安徽亳州·七年级校考期中）细菌繁殖时，一个细菌分裂成两个，一个细菌在分裂n次后，数量变为2n个，有一种细菌分裂速度很快，它每12min分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么60min后，盘子里有多少个细菌？2h后细菌的个数是1h后的多少倍?【知识点4 科学记数法的表示】科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．（科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．【题型9 科学记数法的表示与还原】【例9】（2023春·山西太原·七年级统考期末）根据国家统计局发布的数据，2022年全国夏粮总产量约14700万吨，比去年增加143.4万吨，我国夏粮生产连续两年实现增长．数据14700万吨用科学记数法表示为（ ） A．1.47×104吨 B．0.147×105吨 C．1.47×108吨 D．1.47×109吨【变式9-1】（2022秋·福建厦门·七年级福建省厦门第六中学校考期中）一个正整数将其用科学记数法表示为a×108，则下列说法正确的是（ ）A．这个正整数是一个8位数 B．这个正整数是一个9位数C．这个正整数一定有8个0 D．这个正整数一定有9个0【变式9-2】（2023春·山西晋城·七年级统考期末）月球的直径大约是3476千米，太阳直径大约是月球直径的400倍，那么太阳的直径用科学记数法表示约为（ ）A．0.139×107千米 B．1.3904×107千米C．1.3904×106千米 D．3.476×103千米【变式9-3】（2022秋·四川成都·七年级统考期末）根据国家卫健委公布的数据，截止2021年12月5日，全国累计报告接种新冠病毒疫苗2.553×109次，则数据2.553×109表示的原数是（ ）A．25530000 B．255300000 C．2553000000 D．25530000000【知识点5 近似数】 “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些.【题型10 近似数的表示】【例10】（2023·江苏·八年级假期作业）320000精确到千位应记为 ；1.02×105有 个有效数字；5.204保留三个有效数字应记为 ．【变式10-1】（2023·湖南长沙·统考二模）湘雅路过江通道工程是长沙市区“十八横十六纵”三十四条主干路之一，位于三一大道与营盘路之间，总投资53.278亿元．其中数据53.278亿元精确到哪位？（ ）A．万位 B．十万位 C．百万位 D．亿位【变式10-2】（2022秋·福建福州·七年级校考期中）将有理数x精确到十分位，其结果是3.5，则x的取值范围是（ ）A．3.4
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