沪科版七年级数学上册举一反三专项练习1.1有理数、数轴【十大题型】(学生版+解析)

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专题1.1 有理数、数轴【十大题型】【沪科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc31582" 【题型1 辨别正数和负数】  PAGEREF _Toc31582 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc11545" 【题型2 判断具有相反意义的量】  PAGEREF _Toc11545 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc9157" 【题型3 正负数表示的意义】  PAGEREF _Toc9157 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc24538" 【题型4 用正负数表示已知量】  PAGEREF _Toc24538 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc16449" 【题型5 应用正负数的实际意义解决问题】  PAGEREF _Toc16449 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc16967" 【题型6 有理数的分类】  PAGEREF _Toc16967 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc28401" 【题型7 数轴上的整点问题】  PAGEREF _Toc28401 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc15219" 【题型8 数轴上两点间的距离】  PAGEREF _Toc15219 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc24159" 【题型9 数轴上点的移动】  PAGEREF _Toc24159 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc7283" 【题型10 应用数轴解决实际问题】  PAGEREF _Toc7283 \h 7【知识点1 正数和负数的概念】大于0的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号．0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数【题型1 辨别正数和负数】【例1】（2023·浙江·七年级假期作业）把下列各数分别填在相应的括号内：125，10，−213，0，3.1415，−5，0.6，−113，712．(1)正数：{             …}；(2)负数：{             …}；(3)整数：{             …}．【变式1-1】（2023·江西宜春·统考模拟预测）下列各数中，负数是（　　）A．−2 B．0 C．2 D．3【变式1-2】（2023春·七年级课时练习）在﹣4、﹣2、0、1、3、4这六个数中，正数有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-3】（2023春·福建泉州·七年级校考期中）把下列各数填入相应的括号内．12,−56，1，5.2，﹣2.3，0.5%正数：{ }；    整数：{ }；分数：{ }；    负数：{ }．【知识点2 具有相反意义的量】一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示．【题型2 判断具有相反意义的量】【例2】（2023春·广西崇左·七年级校考阶段练习）下列各组数中，不是互为相反意义的量的是（　　）A．收入200元与支出20元 B．超过0.05mm与不足0.03mC．增大2L与减少2kg D．上升10m和下降7m【变式2-1】（2023春·湖南邵阳·七年级统考期中）下列是具有相反意义的量是（　　）A．身高增加1cm和体重减少1kg B．顺时针旋转90°和逆时针旋转45°C．向右走2米和向西走5米 D．购买5本图书和借出4本图书【变式2-2】（2023春·重庆渝北·七年级校联考阶段练习）下列各组叙述中，互为相反意义的量是（    ）A．篮球比赛胜5场与负5场B．上升的反义词是下降C．增产10吨粮食与减产−10吨粮食D．向东走3千米，再向南走2千米【变式2-3】（2023春·七年级单元测试）下列意义叙述不正确的是（    ）A．若上升5m记作+5m，则0m指不升不降B．鱼在水中的高度为−2m表示鱼在水下2mC．温度上升−5∘C，指温度下降5∘CD．盈利−1000元表示赚了1000元【题型3 正负数表示的意义】【例3】（2023春·内蒙古包头·七年级统考期末）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若盈余2万元记作+2万元，则−2万元表示（    ）A．亏损−2万元 B．盈余2万元 C．亏损2万元 D．不盈余不亏损【变式3-1】（2023春·浙江台州·七年级校考阶段练习）如果＋3圈 表示 顺时针转3圈，那么 －6圈  表示  （　　）A．增加6圈 B．增加－6圈 C．减少6圈 D．逆时针转6圈【变式3-2】（2023春·河北保定·七年级统考期末）如图所示的是某用户微信支付情况，−100表示的意思是（　　）A．发出100元红包 B．收入100元 C．余额100元 D．抢到100元红包【变式3-3】（2023春·山东潍坊·七年级统考期中）先向南走5m，再向南走-4m的意义是（    ）A．先向南走5m，再向南走4mB．先向南走5m，再向北走-4mC．先向北走-5m，再向南走4mD．先向南走5m，再向北走4m【题型4 用正负数表示已知量】【例4】（2023·浙江·七年级假期作业）中国是最早采用正负数表示相反意义的量并进行负数运算的国家. 若气温上升7℃，记作：+7℃，那么气温下降10℃可记作（   ）A．7℃ B．10℃ C． D．−7℃【变式4-1】（2023春·七年级单元测试）中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．如果公元前500年记作−500年，那么公元2023年应记作（    ）A．−2023年． B．+1523年． C．+2023年． D．+2523年．【变式4-2】（2023·山东烟台·一模）如果节约4吨水记为+4吨，那么浪费3吨水记为（    ）A．+3吨 B．-3吨 C．+7吨 D．-7吨【变式4-3】（2023春·湖北襄阳·七年级统考期末）随着季节的变化，某种蔬菜的价格也在发生变化．每千克涨1元记作+1元/千克，那么每千克降0.6元记作（  ）A．+0.6元/千克 B．+0.4元/千克 C．−0.4元/千克 D．−0.6元/千克【题型5 应用正负数的实际意义解决问题】【例5】（2023春·全国·七年级专题练习）大米包装袋上有(10±0.2)kg的标识，则下面几袋大米重量合格的是（    ）A．9.6kg B．9.7kg C．10.2kg D．10.3kg【变式5-1】（2023春·福建龙岩·七年级校考阶段练习）某工厂生产一批零件，要求对零件的标准是30±0.05mm为合格，该工厂生产出了一个29.9mm的零件，则该零件___________（填“合格”或“不合格”）.【变式5-2】（2023春·河南郑州·七年级统考期中）某零件的直径尺寸在图纸上标注是10±0.05（mm），则这种零件的标准尺寸是_____（mm），合格产品的零件尺寸范围是_____～_____（mm）．【变式5-3】（2023·全国·七年级专题练习）如图，加工一根轴，图纸上注明它的直径是Φ45−0.04+0.03．其中，Φ45表示直径是45mm，+0.03表示合格品的直径最大只能比规定的直径大0.03mm，–0.04表示合格品的直径最小只能比规定的直径小0.04mm，现有四根轴的直径尺寸（单位：mm），其中不合格的是（   ）A．45.02 B．45.01 C．44.98 D．44.93【知识点3 有理数】1.概念：正整数、零和负整数统称整数；正分数和负分数统称分数；整数和分数统称有理数．2.分类：①按整数和分数的关系分类；②按正有理数、零和负有理数的关系分类．【题型6 有理数的分类】【例6】（2023春·七年级单元测试）把下列各数填入相应的大括号内：+5，−12，4.2，0，−5.37，37，−3(1)自然数：{______________…}；(2)整数：{______________…}；(3)正分数：{______________…}；(4)负有理数：{______________…}．【变式6-1】（2023·全国·七年级假期作业）下列说法：①整数包括正整数和负整数；②分数包括正分数和负分数；③−7既是负数也是整数，但不是自然数；④0既是正整数也是负整数；⑤非负分数就是正分数．其中正确的个数是（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【变式6-2】（2023·全国·七年级假期作业）在15，−0.23，0，513，2，−35，316%这几个数中，是非负数的有（　　）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【变式6-3】（2023春·四川成都·七年级校考期中）把下列各数分别填入相应的集合：+26，0，−8，−4.8，−17，227，0.6，−58．正有理数集{_______________……}           负有理数集{_______________……}；非负数集{_______________……}；               整数集{_______________……}；                分数集{_______________……}．【知识点4 数轴】1.数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．2.数轴的画法：①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点，②通常规定直线上从原点向右为正方向，从原点向左为负方向；③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，……；从原点向左用类似的方法依次表示-1，-2，-3，…….3.数轴上的点与有理数之间的关系：①每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一点；②一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度.【题型7 数轴上的整点问题】【例7】（2023春·宁夏银川·七年级校考阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2022厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是(    )A．2021 B．2022 C．2021或2022 D．2022或2023【变式7-1】（2023春·云南曲靖·七年级曲靖市民族中学校考期中）数轴上，表示数-3.5与2.5的两点之间整数点的个数是（     ）A．5 B．6 C．7 D．8【变式7-2】（2023春·河北石家庄·七年级石家庄市藁城区第一中学校考阶段练习）如图的数轴上有两处不小心被墨水淹没了，所标注的数据是墨水部分边界与数轴相交点的数据;则被淹没的整数点有_______个，负整数点有______个.【变式7-3】（2023春·天津南开·七年级南开中学校考阶段练习）在数轴上任取一条长度为200019的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是（    ）A．1998 B．1999 C．2000 D．2001【题型8 数轴上两点间的距离】【例8】（2023春·重庆垫江·七年级校联考期末）已知A，B，C三点在数轴上从左向右依次排列，且AC=3AB=6，若B为原点，则点A所表示的数是（    ）A．−4 B．4 C．−2 D．2【变式8-1】（2023·江苏·七年级假期作业）数轴上一个点到原点的距离为6，则这个点表示的数为______．【变式8-2】（2023·江苏·七年级假期作业）如图，数轴上的点A、B分别表示1和2，点C在数轴上且到A和B的距离相等，则点C表示的数是_____．【变式8-3】（2023春·浙江杭州·七年级杭州市十三中教育集团（总校）校考期中）A，B是数轴上的两个点，它们到原点的距离分别为2和1，则A，B两点的距离为（　　）A．1 B．3 C．1或−1 D．1或3【题型9 数轴上点的移动】【例9】（2023春·内蒙古兴安盟·七年级校考阶段练习）数轴上点M表示有理数−2，将点M向右平移2个单位长度到达点N，点E到点N的距离为4，则点E表示的有理数为 _____．【变式9-1】（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期末）在数轴上，将表示2的点A沿数轴向右移动4个单位长度得到的数是______．【变式9-2】（2023春·山东德州·七年级统考期末）点B先向右移动3个单位，又向左移动6个单位到达图中点A，则点B在数轴上表示的数为______． 【变式9-3】（2023春·广东佛山·七年级校考期末）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示−1的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则圆周上表示数字___的点与数轴上表示2023的点重合．【题型10 应用数轴解决实际问题】【例10】（2023春·江苏常州·七年级校考阶段练习）一辆货车从超市出发,向东走了3千米到达A地,继续向东走25千米到达B地,然后向西走了10千米到达C地,最后回到超市．(1)以超市为原点,以向东的方向为正方向,用1个单位长度表示1千米,画出数轴并在数轴上表示出A地、B地、C地的位置；(2)求C地距离A地多远?(3)货车一共行驶了多少千米?(4)货车每千米耗油0.5升,这次共耗油多少升?【变式10-1】（2023春·吉林长春·七年级校考期中）甲、乙两队进行拔河比赛，标志物先向乙队方向移动了0.2米，又向甲队方向移动了0.6米．相持一会儿后，标志物向乙队方向移动了0.5米，随后又向甲队方向移动了1.3米，在大家的加油声中，标志物又向甲队方向移动了0.9米．若规定标志物向某队方向移动2米以上该队即可获胜，通过计算说明最后哪队获胜？【变式10-2】（2023春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）一辆货车从超市出发，向东走了3km，到达小刚家，继续向东走了4km到达小红家，又向西走了11km到达小英家，最后回到超市．（1）请以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km，画出数轴．并在数轴上表示出小刚家、小红家、小英家的位置；（2）小英家距小刚家有多远？（3）货车一共行驶了多少千米？【变式10-3】（2023春·吉林长春·七年级长春外国语学校阶段练习）邮递员骑摩托车从邮局出发，先向西骑行2千米到达A村，继续向西骑行3千米到达B村，然后向东骑行9千米到达C村，最后回到邮局.（1）C村离A村多远？（2）若摩托车每10千米需1.5升汽油，邮递员最后回到邮局时，一共用了多少升汽油？专题1.1 有理数、数轴【十大题型】【沪科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc31582" 【题型1 辨别正数和负数】  PAGEREF _Toc31582 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc11545" 【题型2 判断具有相反意义的量】  PAGEREF _Toc11545 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc9157" 【题型3 正负数表示的意义】  PAGEREF _Toc9157 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc24538" 【题型4 用正负数表示已知量】  PAGEREF _Toc24538 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc16449" 【题型5 应用正负数的实际意义解决问题】  PAGEREF _Toc16449 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc16967" 【题型6 有理数的分类】  PAGEREF _Toc16967 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc28401" 【题型7 数轴上的整点问题】  PAGEREF _Toc28401 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc15219" 【题型8 数轴上两点间的距离】  PAGEREF _Toc15219 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc24159" 【题型9 数轴上点的移动】  PAGEREF _Toc24159 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc7283" 【题型10 应用数轴解决实际问题】  PAGEREF _Toc7283 \h 16【知识点1 正数和负数的概念】大于0的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号．0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数【题型1 辨别正数和负数】【例1】（2023·浙江·七年级假期作业）把下列各数分别填在相应的括号内：125，10，−213，0，3.1415，−5，0.6，−113，712．(1)正数：{             …}；(2)负数：{             …}；(3)整数：{             …}．【答案】(1)125，10，3.1415，0.6，712(2)−213，−5，−113(3)10，0，−5【分析】（1）在有理数中，正数包括正整数、正分数；（2）在有理数中，负数包括负整数、负分数；（3）在有理数中，除了分数以外都是整数，包括正整数、负整数和零．【详解】（1）解：正数：125,10,3.1415,0.6,712…故答案为：125，10，3.1415，0.6，712（2）负数：−213,−5,−113…故答案为：−213，−5，−113（3）整数：10,0,−5…故答案为：10，0，−5【点睛】本题主要考查了有理数．正确把握正数、负数和整数的概念是解题关键．【变式1-1】（2023·江西宜春·统考模拟预测）下列各数中，负数是（　　）A．−2 B．0 C．2 D．3【答案】A【分析】根据负数的定义即可得出答案．【详解】解：−2是负数，0既不是正数也不是负数，2和3是正数．故选：A．【点睛】本题考查了实数，掌握在正数前面添加“−”得到负数是解题的关键．【变式1-2】（2023春·七年级课时练习）在﹣4、﹣2、0、1、3、4这六个数中，正数有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【详解】分析：实数分类为：正数，零，负数，其中数字前面带有符号 “﹣”的数为负数，“0”仅有一个数，其余均为正数,由此可得出判断.详解：这六个数中，只有“1,3,4”这三个数为正数，故答案为C.点睛：本题考查对正数的认识：数字前带符号“+”的数即为正数，符号“+”可省略不写，据此可以得出判断；也可以用排除法判断，实数可分为以下三类：正数，0，负数，排除了0和负数，其余的都是正数.【变式1-3】（2023春·福建泉州·七年级校考期中）把下列各数填入相应的括号内．12,−56，1，5.2，﹣2.3，0.5%正数：{ }；    整数：{ }；分数：{ }；    负数：{ }．【答案】12，1，5.2，0.5%；1；12，﹣56，5.2，﹣2.3，0.5%；﹣56，-2.3【分析】根据有理数的分类，把相应的数填写到相应的括号中．【详解】解：正数：{12，1，5.2，0.5%}；整数：{1}；分数：{12，﹣56，5.2，﹣2.3，0.5%}；负数：{﹣56，-2.3}．故答案为：12，1，5.2，0.5%；1；12，﹣56，5.2，﹣2.3，0.5%；﹣56，-2.3．【点睛】本题考查了有理数的分类．有理数分为整数和分数；正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数．非负整数包括正整数和0．【知识点2 具有相反意义的量】一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示．【题型2 判断具有相反意义的量】【例2】（2023春·广西崇左·七年级校考阶段练习）下列各组数中，不是互为相反意义的量的是（　　）A．收入200元与支出20元 B．超过0.05mm与不足0.03mC．增大2L与减少2kg D．上升10m和下降7m【答案】C【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．据此对各选项进行判断即可．【详解】解；A、收入200元与支出20元，是一组互为相反意义的量，故A不符合题意；B、超过0.05mm与不足0.03m，是一组互为相反意义的量，故B不符合题意；C、增加2L与减少2kg，不是相反意义的量，故C符合题意；D、上升10m与下降7m，是一组互为相反意义的量，故D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．【变式2-1】（2023春·湖南邵阳·七年级统考期中）下列是具有相反意义的量是（　　）A．身高增加1cm和体重减少1kg B．顺时针旋转90°和逆时针旋转45°C．向右走2米和向西走5米 D．购买5本图书和借出4本图书【答案】B【分析】相反意义的量主要记住两个因素，第一，同一属性，第二，意义相反．【详解】解：A、身高和体重不是相反的量，不符合题意； B、顺时针旋转与逆时针旋转是具有相反意义的量，符合题意； C、向右和向西不是相反的量，不符合题意； D、购买和借出不是相反的量，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查相反意义的量，解题关键：掌握相反意义的量的两个关键因素，必须是同一属性，意义相反．【变式2-2】（2023春·重庆渝北·七年级校联考阶段练习）下列各组叙述中，互为相反意义的量是（    ）A．篮球比赛胜5场与负5场B．上升的反义词是下降C．增产10吨粮食与减产−10吨粮食D．向东走3千米，再向南走2千米【答案】A【分析】根据相反意义的量的含义直接进行判断即可得到答案．【详解】解：A、篮球比赛胜5场与负5场，是相反意义的量，选项说法正确，符合题意；B、上升的反义词是下降是正确的，但上升和下降中没有具体数量，故不是相反意义的量，选项说法错误，不符合题意；C、减产−10吨粮食就是增产10吨粮食，故不是相反意义的量，选项说法错误，不符合题意；D、和向东走具有相反意义的是向西走，故不是相反意义的量，选项说法错误，不符合题意，故选：A．【点睛】本题考查相反意义的量，解题的关键是明确什么事相反意义的量．【变式2-3】（2023春·七年级单元测试）下列意义叙述不正确的是（    ）A．若上升5m记作+5m，则0m指不升不降B．鱼在水中的高度为−2m表示鱼在水下2mC．温度上升−5∘C，指温度下降5∘CD．盈利−1000元表示赚了1000元【答案】D【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负数表示，结合选项即可选出正确答案．【详解】解：A．若上升5m记作+5m，则0m指不升不降，说法正确，不符合题意；B．鱼在水中的高度为−2m表示鱼在水下2m，说法正确，不符合题意；C．温度上升−5∘C，指温度下降5∘C，说法正确，不符合题意；D．盈利−1000元表示亏了1000元，说法错误，符合题意；故选D．【点睛】本题考查具有相反意义的量，熟记和理解概念是解题关键．【题型3 正负数表示的意义】【例3】（2023春·内蒙古包头·七年级统考期末）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若盈余2万元记作+2万元，则−2万元表示（    ）A．亏损−2万元 B．盈余2万元 C．亏损2万元 D．不盈余不亏损【答案】C【分析】结合题意运用正负数的意义进行求解．【详解】解：∵与盈余意义相反的量是亏损，∴盈余2万元记作+2万元，，则−2万元表示亏损2万元，故选：C．【点睛】此题考查了运用正负数的概念和正负数的意义解决实际问题的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．【变式3-1】（2023春·浙江台州·七年级校考阶段练习）如果＋3圈 表示 顺时针转3圈，那么 －6圈  表示  （　　）A．增加6圈 B．增加－6圈 C．减少6圈 D．逆时针转6圈【答案】D【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义：顺时针旋转为正，逆时针旋转为负，再根据题意作答．【详解】如果＋3圈表示顺时针转3圈，那么－6圈表示逆时针转6圈；故选D.【点睛】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．【变式3-2】（2023春·河北保定·七年级统考期末）如图所示的是某用户微信支付情况，−100表示的意思是（　　）A．发出100元红包 B．收入100元 C．余额100元 D．抢到100元红包【答案】A【分析】根据相反意义的量可以用正负数来表示，正数表示收到，则负数表示发出，据此解答即可．【详解】解：由题意可知，−100表示的意思是发出100元红包．故选：A．【点睛】考查用正负数表示相反意义的量，理解正负数的意义是解决问题的前提．【变式3-3】（2023春·山东潍坊·七年级统考期中）先向南走5m，再向南走-4m的意义是（    ）A．先向南走5m，再向南走4mB．先向南走5m，再向北走-4mC．先向北走-5m，再向南走4mD．先向南走5m，再向北走4m【答案】D【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答即可．【详解】解：先向南走5m，再向南走-4m的意义是：先向南走5m，再向北走4m，故选D.【点睛】此题考查了正数和负数，关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【题型4 用正负数表示已知量】【例4】（2023·浙江·七年级假期作业）中国是最早采用正负数表示相反意义的量并进行负数运算的国家. 若气温上升7℃，记作：+7℃，那么气温下降10℃可记作（   ）A．7℃ B．10℃ C． D．−7℃【答案】C【分析】主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：若上升记为正，则下降就记为负，直接得出结论即可．【详解】解：若气温上升7℃，记作：+7℃，那么气温下降10℃，可记作：−10℃，故选：C．【点睛】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．【变式4-1】（2023春·七年级单元测试）中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．如果公元前500年记作−500年，那么公元2023年应记作（    ）A．−2023年． B．+1523年． C．+2023年． D．+2523年．【答案】C【分析】根据相反意义的量进行求解即可．【详解】解：∵公元前500年记作−500年，∴公元前为“−”，∴公元后为“+”，∴公元2023年就是公元后2023年，∴公元2023年应记作+2023年．故选：C．【点睛】本题考查了相反意义的量，理解相反意义的量是解题的关键．【变式4-2】（2023·山东烟台·一模）如果节约4吨水记为+4吨，那么浪费3吨水记为（    ）A．+3吨 B．-3吨 C．+7吨 D．-7吨【答案】B【分析】根据正负数可以表示具有相反意义的量解答即可．【详解】解：∵节约记为“正”，∴浪费记为“负”，∴浪费3吨水记为－3吨．故选：B．【点睛】本题考查了正负数在实际中的应用，属于应知应会题型，熟知具有相反意义的量可以用正负数表示是关键．【变式4-3】（2023春·湖北襄阳·七年级统考期末）随着季节的变化，某种蔬菜的价格也在发生变化．每千克涨1元记作+1元/千克，那么每千克降0.6元记作（  ）A．+0.6元/千克 B．+0.4元/千克 C．−0.4元/千克 D．−0.6元/千克【答案】D【分析】根据正数和负数代表的含义即可解答．【详解】每千克涨1元记作+1元/千克，那么每千克降0.6元记作−0.6元/千克，故选：D．【点睛】本题考查正数和负数代表的含义，解题的关键是正确掌握正数和负数的意义．【题型5 应用正负数的实际意义解决问题】【例5】（2023春·全国·七年级专题练习）大米包装袋上有(10±0.2)kg的标识，则下面几袋大米重量合格的是（    ）A．9.6kg B．9.7kg C．10.2kg D．10.3kg【答案】C【分析】根据正负数的意义求出质量合格的取值范围，然后判断即可．【详解】解：∵10-0.2=9.8，10+0.2=10.2，∴质量合格的取值范围是9.8kg～10.2kg．所以，四个选项中只有10.2kg合格．故选：C．【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【变式5-1】（2023春·福建龙岩·七年级校考阶段练习）某工厂生产一批零件，要求对零件的标准是30±0.05mm为合格，该工厂生产出了一个29.9mm的零件，则该零件___________（填“合格”或“不合格”）.【答案】不合格【分析】根据题意，判断29.9mm的零件，不在30±0.05mm范围之内，进而即可求解．【详解】解：∵要求对零件的标准是30±0.05mm为合格，∴29.9mm的零件不在合格的范围内，即该零件不合格，故答案为：不合格．【点睛】本题主要考查正负数的意义，理解题意，得出零件的标准合格范围是关键．【变式5-2】（2023春·河南郑州·七年级统考期中）某零件的直径尺寸在图纸上标注是10±0.05（mm），则这种零件的标准尺寸是_____（mm），合格产品的零件尺寸范围是_____～_____（mm）．【答案】 10 9.95 10.05【分析】根据零件的直径尺寸是10±0.05（mm），意思是这种零件的标准尺寸是10mm，最大尺寸是（10＋0.05）mm，最小尺寸是（10−0.05）mm，计算后则可得出结果．【详解】解：“正”和“负”相对，所以，某零件的直径尺寸在图纸上标注是10±0.05（mm），则这种零件的标准尺寸是10（mm），合格产品的零件尺寸范围是9.95～10.05（mm）．故答案为：10，9.95，10.05．【点睛】本题主要考查正负数的实际应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，并能准确理解题意．【变式5-3】（2023·全国·七年级专题练习）如图，加工一根轴，图纸上注明它的直径是Φ45−0.04+0.03．其中，Φ45表示直径是45mm，+0.03表示合格品的直径最大只能比规定的直径大0.03mm，–0.04表示合格品的直径最小只能比规定的直径小0.04mm，现有四根轴的直径尺寸（单位：mm），其中不合格的是（   ）A．45.02 B．45.01 C．44.98 D．44.93【答案】D【分析】根据题意可得出合格的范围，从而可判断出直径是否合格．【详解】由题意得：合格范围为：45–0.04=44.96到45+0.03=45.03，而44.93<44.96，故可得D不合格．故选D．【点睛】本题考查正数和负数的意义，解题的关键是熟练掌握正数和负数的意义.【知识点3 有理数】1.概念：正整数、零和负整数统称整数；正分数和负分数统称分数；整数和分数统称有理数．2.分类：①按整数和分数的关系分类；②按正有理数、零和负有理数的关系分类．【题型6 有理数的分类】【例6】（2023春·七年级单元测试）把下列各数填入相应的大括号内：+5，−12，4.2，0，−5.37，37，−3(1)自然数：{______________…}；(2)整数：{______________…}；(3)正分数：{______________…}；(4)负有理数：{______________…}．【答案】(1)+5，0(2)+5，0，−3(3)4.2，37(4)−12，−5.37，−3【分析】根据自然数、整数、正分数、负有理数的定义即可得到结果．【详解】（1）解：自然数有：+5，0；故答案为：+5，0；（2）解：整数有：+5，0，−3；故答案为：+5，0，−3；（3）解：正分数有：4.2，37；故答案为：4.2，37；（4）解：负有理数有：−12，−5.37，−3；故答案为：−12，−5.37，−3．【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握自然数、整数、正分数、负有理数的定义是解题的关键．【变式6-1】（2023·全国·七年级假期作业）下列说法：①整数包括正整数和负整数；②分数包括正分数和负分数；③−7既是负数也是整数，但不是自然数；④0既是正整数也是负整数；⑤非负分数就是正分数．其中正确的个数是（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据有理数的分类方法逐一判断即可．【详解】解：①整数包括正整数、负整数和0，故原说法错误，不符合题意；②分数包括正分数和负分数，故原说法正确，符合题意；③−7既是负数也是整数，但不是自然数，故原说法正确，符合题意；④0既不是正数也不是负数，故原说法错误，不符合题意；⑤非负分数就是正分数，故原说法正确，符合题意．∴正确的个数是3个．故选：C．【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键．【变式6-2】（2023·全国·七年级假期作业）在15，−0.23，0，513，2，−35，316%这几个数中，是非负数的有（　　）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【答案】B【分析】直接利用非负数定义判断即可得出答案．【详解】解：根据非负数的定义，非负数包含正数和零，所以在15，−0.23，0，513，2，−35，316%这七个数中，是非负数的有15，0，513，2，316%共5个．故选：B．【点睛】本题考查了有理数的分类，解题的关键是正确掌握有理数的分类，非负数的定义．【变式6-3】（2023春·四川成都·七年级校考期中）把下列各数分别填入相应的集合：+26，0，−8，−4.8，−17，227，0.6，−58．正有理数集{_______________……}           负有理数集{_______________……}；非负数集{_______________……}；               整数集{_______________……}；                分数集{_______________……}．【答案】+26，227，0.6；−8，−4.8，−17， −58；+26，0，227，0.6；+26，0，−8，−17；−4.8，227，0.6，−58．【分析】根据有理数分类逐个判断即可得到答案．【详解】解：由题意可得，正有理数集：+26，227，0.6，负有理数集：−8，−4.8，−17， −58，非负数集： +26，0，227，0.6，整数集：+26，0，−8，−17，分数集：−4.8，227，0.6，−58，故答案为：+26，227，0.6；−8，−4.8，−17， −58；+26，0，227，0.6；+26，0，−8，−17；−4.8，227，0.6，−58．【点睛】本题考查有理数的分类，解题的关键是熟练掌握几个定义．【知识点4 数轴】1.数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．2.数轴的画法：①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点，②通常规定直线上从原点向右为正方向，从原点向左为负方向；③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，……；从原点向左用类似的方法依次表示-1，-2，-3，…….3.数轴上的点与有理数之间的关系：①每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一点；②一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度.【题型7 数轴上的整点问题】【例7】（2023春·宁夏银川·七年级校考阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2022厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是(    )A．2021 B．2022 C．2021或2022 D．2022或2023【答案】D【分析】分线段的端点与整数点重合、不重合两种情况进行计算即可．【详解】解：当长2022厘米的线段AB的端点A与整数点重合时，两端与中间的整数点共有2023个，当长2022厘米的线段AB的端点A不与整数点重合时，中间的整数点只有2022个，故选：D．【点睛】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解线段及端点与数轴上点的对应关系是解决问题的前提．【变式7-1】（2023春·云南曲靖·七年级曲靖市民族中学校考期中）数轴上，表示数-3.5与2.5的两点之间整数点的个数是（     ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根据题意画出数轴，在数轴上标出−3.5与2.5，再找出符合条件的整数点即可．【详解】解：如图所示：符合条件的点有：-3、-2、-1、0、1、2共6个；故选：B．【点睛】本题考查的是数轴，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．【变式7-2】（2023春·河北石家庄·七年级石家庄市藁城区第一中学校考阶段练习）如图的数轴上有两处不小心被墨水淹没了，所标注的数据是墨水部分边界与数轴相交点的数据;则被淹没的整数点有_______个，负整数点有______个.【答案】 70 53【详解】由数轴可知，−7212和−4115 之间的整数点有：-72，-71，……，-41，共32个；−2134和1623之间的整数点有：-21，-20，……，15，16，共38个，所以被淹没的整数点有70个，负整数点有个53.【变式7-3】（2023春·天津南开·七年级南开中学校考阶段练习）在数轴上任取一条长度为200019的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是（    ）A．1998 B．1999 C．2000 D．2001【答案】D【分析】把这条线段的一个端点覆盖第一个整数点记作0，再进行计算即可．【详解】解：把这条线段的一个端点覆盖第一个整数点若记作0，则覆盖的最后一个数是2000，因而共有从0到2000共有2001个数．故选：D．【点睛】此题主要考查了数轴上的点与实数的对应关系，能够理解什么情况最多是解决本题的关键．【题型8 数轴上两点间的距离】【例8】（2023春·重庆垫江·七年级校联考期末）已知A，B，C三点在数轴上从左向右依次排列，且AC=3AB=6，若B为原点，则点A所表示的数是（    ）A．−4 B．4 C．−2 D．2【答案】C【分析】A到C长度为6，A到B长度为2，B为原点，由此即可求解．【详解】解：A，B，C三点在数轴上从左向右依次排列，且AC=3AB=6，∴A到C长度为6，A到B长度为2，∵B为原点，即B对应的数是0，∴A对应的数是−2，故选：C．【点睛】本题主要考查有理数与数轴的关系，掌握数轴上线段与线段之间的数量关系，原点的位置是解题的关键．【变式8-1】（2023·江苏·七年级假期作业）数轴上一个点到原点的距离为6，则这个点表示的数为______．【答案】±6【分析】根据“与原点的距离相等的点（除原点外）在数轴的两旁”可得答案．【详解】解：∵数轴上有一点到原点的距离是6，∴该点表示为±6．故答案为：±6．【点睛】本题考查了数轴的应用，涉及数轴上点到原点的距离的含义．【变式8-2】（2023·江苏·七年级假期作业）如图，数轴上的点A、B分别表示1和2，点C在数轴上且到A和B的距离相等，则点C表示的数是_____．【答案】1.5【分析】根据数轴的特点解答即可．【详解】解：∵数轴上的点A、B分别表示1和2，点C在数轴上且到A和B的距离相等，∴点C表示的数为1.5，故答案为：1.5．【点睛】本题考查了数轴上对应的点，熟记概念是解题关键．【变式8-3】（2023春·浙江杭州·七年级杭州市十三中教育集团（总校）校考期中）A，B是数轴上的两个点，它们到原点的距离分别为2和1，则A，B两点的距离为（　　）A．1 B．3 C．1或−1 D．1或3【答案】D【分析】根据题意分别求出A点表示的数是2或−2，B点表示的数是1或−1，再求A、B两点的距离即可．【详解】解：∵A点到原点的距离是2，∴A点表示的数是2或−2，∵B点到原点的距离是1，∴B点表示的数是1或−1，∴当A、B在原点同侧时，距离为1，和当A、B在原点两侧时距离为3，∴A、B两点的距离是1或3．故选：D．【点睛】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，数轴上两点间距离的求法是解题的关键．【题型9 数轴上点的移动】【例9】（2023春·内蒙古兴安盟·七年级校考阶段练习）数轴上点M表示有理数−2，将点M向右平移2个单位长度到达点N，点E到点N的距离为4，则点E表示的有理数为 _____．【答案】4或−4【分析】先求出N点表示的数，再分情况讨论求点E表示的数．【详解】解：数轴上点M表示有理数−2，将点M向右平移2个单位长度到达点N，则点N所表示的数为−2+2=0，当点E在点N的右侧时，点E到点N的距离为4，点E所表示的数为4，当点E在点N的左侧时，点E到点N的距离为4，点E所表示的数为−4，故答案为：4或−4．【点睛】本题考查了数轴上点的平移和两点之间的距离问题，解题关键是掌握右移增加，左移减小，以及掌握分类讨论的思想方法．【变式9-1】（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期末）在数轴上，将表示2的点A沿数轴向右移动4个单位长度得到的数是______．【答案】6【分析】根据数轴的特点进行解答即可．【详解】解：将表示2的点向右移动4个单位后，对应点表示的数为2+4=6．故答案为：6．【点睛】此题考查数轴，掌握点在数轴上的平移规律：左减右加是解决问题的关键．【变式9-2】（2023春·山东德州·七年级统考期末）点B先向右移动3个单位，又向左移动6个单位到达图中点A，则点B在数轴上表示的数为______． 【答案】0【分析】点B在数轴上表示的数为点A向右移动6个单位，再向左移动3个单位得到的．【详解】解：根据题意可得：点B在数轴上表示的数为点A向右移动6个单位，再向左移动3个单位得到的，∵点A在数轴上表示的数为：−3，∴点B在数轴上表示的数为：0，故答案为：0．【点睛】本题考查了数轴，注意数形结合的运用是解答此题的关键．【变式9-3】（2023春·广东佛山·七年级校考期末）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示−1的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则圆周上表示数字___的点与数轴上表示2023的点重合．【答案】0【分析】圆周上的0点与−1重合，滚动到2023，圆滚动了2024个单位长度，用2024除以4，余数即为重合点．【详解】解：圆周上的0点与−1重合，2023+1=2024，2024÷4=506，圆滚动了506 周到2023，圆周上的0与数轴上的2023重合，故答案为：0．【点睛】本题考查了数轴，找出圆运动的规律与数轴上的数字的对应关系是解决此类题目的关键．【题型10 应用数轴解决实际问题】【例10】（2023春·江苏常州·七年级校考阶段练习）一辆货车从超市出发,向东走了3千米到达A地,继续向东走25千米到达B地,然后向西走了10千米到达C地,最后回到超市．(1)以超市为原点,以向东的方向为正方向,用1个单位长度表示1千米,画出数轴并在数轴上表示出A地、B地、C地的位置；(2)求C地距离A地多远?(3)货车一共行驶了多少千米?(4)货车每千米耗油0.5升,这次共耗油多少升?【答案】（1）见解析；（2）7.5千米；（3）20；（4）10.【分析】（1）根据题目的叙述1个单位长度表示1千米，即可表示出；（2）根据（1）得到的数轴，得到表示小明家与小彬家的两点之间的距离，利用1个单位长度表示1千米，即可得到实际距离；（3）路程是10×2=20千米；（4）路程是20千米，乘以0.5即可求得耗油量．【详解】(1)；(2)根据数轴可知：C地距离A地是7.5个单位长度，因而是7.5千米；(3)路程是2×10=20千米；（4）耗油量是：20×0.5=10升.答：小明家距小彬家7.5千米，这趟路货车共耗油10升.故答案为（1）见解析；（2）7.5千米；（3）20；（4）10.【点睛】本题考查数轴，正数和负数，解题的关键是熟练掌握利用数轴表示一对具有相反意义的量.【变式10-1】（2023春·吉林长春·七年级校考期中）甲、乙两队进行拔河比赛，标志物先向乙队方向移动了0.2米，又向甲队方向移动了0.6米．相持一会儿后，标志物向乙队方向移动了0.5米，随后又向甲队方向移动了1.3米，在大家的加油声中，标志物又向甲队方向移动了0.9米．若规定标志物向某队方向移动2米以上该队即可获胜，通过计算说明最后哪队获胜？【答案】甲队胜，见解析【分析】根据题目内容建立数轴模型，规定原点、正方向、单位长度后，利用数轴表示数的方法求出标志物最后表示的数，由此判断即可．【详解】解：把拔河绳看作数轴，标志物开始在原点，甲在正方向，乙在负方向，标志物最后表示的数＝−0.2＋0.6−0.5＋1.3＋0.9＝2.1米＞2米．即标志物向正方向移了2.1m，而规定标志物向某队方向2米该队即可获胜，所以甲获胜．【点睛】本题主要考查数轴的相关知识，解题的关键是规定正方向，灵活变化，能说明问题是否成立的理由．【变式10-2】（2023春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）一辆货车从超市出发，向东走了3km，到达小刚家，继续向东走了4km到达小红家，又向西走了11km到达小英家，最后回到超市．（1）请以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km，画出数轴．并在数轴上表示出小刚家、小红家、小英家的位置；（2）小英家距小刚家有多远？（3）货车一共行驶了多少千米？【答案】（1）见解析；（2）7千米；（3）22千米；【分析】(1)以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km，依此画出数轴，并在数轴上表示出小刚家、小红家、小英家的位置；(2)根据已知图象可得；(3)注意用绝对值来表示所走的总路程，再乘以耗油量可得答案.【详解】(1)如图所示：(2)由图知小英家距小刚家的距离为7km；(3)货车一共行驶了3+4+11+4=22(km).【点睛】此题考查数轴，解题关键在于根据题意画出数轴.【变式10-3】（2023春·吉林长春·七年级长春外国语学校阶段练习）邮递员骑摩托车从邮局出发，先向西骑行2千米到达A村，继续向西骑行3千米到达B村，然后向东骑行9千米到达C村，最后回到邮局.（1）C村离A村多远？（2）若摩托车每10千米需1.5升汽油，邮递员最后回到邮局时，一共用了多少升汽油？【答案】（1）6；（2）2.7【分析】(1)以邮局为原点，向东为正方向，则向西为负方向，用1cm表示1km，按此画出数轴即可，直接计算出即可.（2）计算出邮递员行驶的总路程，即可得出正确答案.【详解】解：（1）依据题意，以邮局为原点，向东为正方向，则向西为负方向，用1cm表示1km，画出数轴为：则C点与A点距离为：2+4=6（千米）；（2）根据题意，邮递员一共行驶了：2+3+9+4=18（千米），∵每10千米需1.5升汽油，∴共用了18÷10×1.5=2.7升，故一共用了2.7升汽油.【点睛】本题主要考查了学生有实际生活中对数轴的应用能力，掌握数轴的基本知识即可.