苏科版（2024）八年级上册1.2 全等三角形课后作业题

这是一份苏科版（2024）八年级上册1.2 全等三角形课后作业题，共49页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc30753" 【题型1 全等三角形的判定条件】 PAGEREF _Tc30753 \h 1
\l "_Tc22248" 【题型2 灵活选择判定方法证明两个三角形全等】 PAGEREF _Tc22248 \h 3
\l "_Tc23134" 【题型3 运用全等三角形证明线段相等或角相等】 PAGEREF _Tc23134 \h 4
\l "_Tc8972" 【题型4 运用全等三角形证明线段间的位置关系】 PAGEREF _Tc8972 \h 5
\l "_Tc30844" 【题型5 运用全等三角形解决实际测量问题】 PAGEREF _Tc30844 \h 6
\l "_Tc12211" 【题型6 作辅助线构造全等三角形证明线段间的和差倍分关系】 PAGEREF _Tc12211 \h 7
\l "_Tc20909" 【题型7 与三角形全等有关的动点探究题】 PAGEREF _Tc20909 \h 8
\l "_Tc2642" 【题型8 与三角形全等有关的线段或角之间的规律的探究题】 PAGEREF _Tc2642 \h 10
【知识点 全等三角形的判定】
【题型1 全等三角形的判定条件】
【例1】（2023春·广东深圳·八年级校联考期中）如图，在△ABC和△BAD中，∠C=∠D=90°．在以下条件：①AC=BD；②AD=BC；③∠BAC=∠ABD；④∠ABC=∠BAD；⑤∠CAD=∠DBC中，再选一个条件，就能使△ABC≌△BAD，共有（ ）选择．
A．2种B．3种C．4种D．5种
【变式1-1】（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，点D在AB上，点E在AC上，且∠B=∠C．请结合图形，补充1个条件，使△ABE≌△ACD，则可以添加的条件是__________．

【变式1-2】（2023春·湖南长沙·八年级校联考期末）在△ABE与△DBC中，BC=BE，AB=DB，要使这两个三角形全等，还需具备的条件是（ ）
A．∠E=∠CB．∠ABD=∠CBEC．∠ABE=∠DBED．∠A=∠D
【变式1-3】（2023春·福建莆田·八年级统考期末）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对△ABC及△A'B'C'的对应边或对应角添加一组等量条件（点A'，B'，C'分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定△ABC与△A'B'C'全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．
上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是___________．（填写所有正确结论的序号）
①若第3轮甲添加∠C=∠C'=45°，则甲获胜；
②若第3轮甲添加BC=B'C'=3cm，则甲必胜；
③若第2轮乙添加条件修改为∠A=∠A'=90°，则乙必胜；
④若第2轮乙添加条件修改为BC=B'C'=3cm，则此游戏最多4轮必分胜负．
【题型2 灵活选择判定方法证明两个三角形全等】
【例2】（2023春·广东清远·八年级统考期末）如图，△ABC的高BD与CE相交于点O，OD＝OE，AO的延长线交BC于点M，请你写出图中三对全等的直角三角形，并选择其中一对全等三角形进行证明．
【变式2-1】（2023·云南·模拟预测）如图，点E在AB上，∠A＝∠B＝∠CED＝90°，CE＝ED．求证：△ACE≌△BED．
【变式2-2】（2023·福建泉州·统考二模）如图，在▱ABCD中，延长边DA至点E，使得AE=AD，连接CE交AB于点F，求证：△AEF≌△BCF．
【变式2-3】（2023春·全国·八年级期中）如图，AB//CD，∠B＝∠D，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．
（1）试判断AD与BE有怎样的位置关系，并说明理由；
（2）试说明△AOD≌△EOC．
【题型3 运用全等三角形证明线段相等或角相等】
【例3】（2023春·湖南株洲·八年级校考期中）如图，AD=CB，AB=CD，BE⊥AC，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F．求证：
(1)△ABC≌△CDA；
(2)BE=DF．
【变式3-1】（2023春·四川南充·八年级统考期中）已知△ABN和△ACM的位置如图所示，AB=AC，AD=AE，BD=CE．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）求证：∠AME=∠AND．
【变式3-2】（2023春·山东威海·八年级统考期中）如图，AD=AC，AB=AE，∠DAB=∠CAE．
(1)写出△ADE与△ACB全等的理由；
(2)判断线段DF与CF的数量关系，并说明理由．
【变式3-3】（2023·陕西西安·八年级校考开学考试）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD、DE，若AD=DE，AC=CD．
（1）求证：△ABD≌△DCE．
（2）若BD=3，CD=5，求AE的长．
【题型4 运用全等三角形证明线段间的位置关系】
【例4】（2023春·云南红河·八年级校考期中）如图，D为△ABC的边BC上的一点，E为AD上一点，已知∠1=∠2，∠3=∠4．求证：AD⊥BC．
【变式4-1】（2023春·江苏南京·八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，且AF=CE，连接BE，DF，求证：BE∥DF．
【变式4-2】（2023春·江西宜春·八年级校考期中）如图，已知AD平分∠BAC，且∠1=∠2．

(1)求证：BD=CD；
(2)判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
【变式4-3】（2023春·山东临沂·八年级统考期末）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，连接CD，C、D、E三点在同一条直线上，连接BD，BE．
(1)求证：BD=CE；
(2)判断BD与CE的位置关系并说明理由．
【题型5 运用全等三角形解决实际测量问题】
【例5】（2023春·八年级单元测试）如图，某市新开发了一个旅游区，有一湖心岛C，需测算景点A，B与C处的距离，请你设计一个方法，测量AC，BC的长度，并说明理由．

【变式5-1】（2023春·河南信阳·八年级统考期中）某建筑测量队为了测量一栋居民楼ED的高度，在大树AB与居民楼ED之间的地面上选了一点C，使B，C，D在一直线上，测得大树顶端A的视线AC与居民楼顶端E的视线EC的夹角为90°，若AB=CD=12米，BD=64米，请计算出该居民楼ED的高度．
【变式5-2】（2023春·八年级单元测试）如图，某校学生为测量点B到河对面的目标A之间的距离，他们在点B同侧选择了一点C，测得∠ABC=70°，∠ACB=40°，然后在M处立了标杆，使∠CBM=70°，为了测量A，B之间的距离，他们应该（ ）

A．直接测量BM的长B．测量BC的长
C．测量∠A的度数D．先作∠BCN=40°，交BM于点N，再测量BN的长
【变式5-3】（2023春·全国·八年级专题练习）某同学根据数学知识原理制作了如图所示的一个测量工具----拐尺,其中O为AB的中点,CA⊥AB,BD⊥AB,CA=BD,现要测量一透明隔离房间的深度,如何使用此测量工具,说明理由.
【题型6 作辅助线构造全等三角形证明线段间的和差倍分关系】
【例6】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE+CD=AC．

【变式6-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．
【变式6-2】（2023春·八年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，小明发现，用已学过的“倍长中线”加倍构造全等，就可以测量CD与AB数量关系．请根据小明的思路，写出CD与AB的数景关系，并证明这个结论．
【变式6-3】（2023春·八年级课时练习）如图，在四边形OACB中，CE⊥OA于E，∠1=∠2，CA=CB.求证：∠3+∠4=180°；OA+OB=2OE.
【题型7 与三角形全等有关的动点探究题】
【例7】（2023春·山东德州·八年级校考期中）如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上向点C运动，同时，点Q在线段DC上从点D向点C运动，已知点P的运动速度是2cm/s，则经过______s，△BPE与△CQP全等．
【变式7-1】（2023春·河南许昌·八年级统考期末）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=24cm，AC=12cm，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E经过（ ）秒时，△DEB与△BCA全等．（注：点E与A不重合）
A．4B．4、12C．4、8、12D．4、12、16
【变式7-2】（2023春·甘肃定西·八年级校考期末）如图所示，在△ABC中，∠ABC=68°，BD平分∠ABC，P为线段BD上一动点，Q为 边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APB的度数是（ ）
A．118°B．125°C．136°D．124°
【变式7-3】（2023春·八年级单元测试）如图，在△ABC中，AD为高，AC=12．点E为AC上的一点，使CE=12AE，连接BE，交AD于O，若△BDO≌△ADC．
备用图
(1)求∠BEC的度数；
(2)有一动点Q从点A出发沿射线AC以每秒8个单位长度的速度运动，设点Q的运动时间为t秒，是否存在t的值，使得△BOQ的面积为24？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)在（2）条件下，动点P从点O出发沿线段OB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，点F是直线BC上一点，且CF=AO．当△AOP与△FCQ全等时，求t的值．
【题型8 与三角形全等有关的线段或角之间的规律的探究题】
【例8】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．
①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．
（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．
【变式8-1】（2023春·江苏·八年级专题练习）问题发现：如图1，已知C为线段AB上一点，分别以线段AC，BC为直角边作等腰直角三角形，∠ACD=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE，BD，线段AE，BD之间的数量关系为______；位置关系为_______．
拓展探究：如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，线段AE，BD交于点F，则AE与BD之间的关系是否仍然成立？请说明理由．
【变式8-2】（2023春·浙江·八年级专题练习）(1)阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB=10，AC=6．求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使DE=AD，再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD)，把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是______；
(2)问题解决：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF；
(3)问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．
【变式8-3】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型” 兴趣小组进行了如下探究：
（1）如图1，两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，连接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是 ，此时BD和CE的数量关系是 ；
（2）如图2，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）如图3，已知△ABC，请完成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE和CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数．
判定方法
解释
图形
边边边
(SSS)
三条边对应相等的两个三角形全等

边角边
(SAS)
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

角边角
(ASA)
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

角角边
(AAS)
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等

斜边、直角边
(HL)
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

轮次
行动者
添加条件
1
甲
AB=A'B'=2cm
2
乙
∠A=∠A'=35°
3
甲
…
专题1.2 全等三角形的判定【八大题型】
【苏科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc30753" 【题型1 全等三角形的判定条件】 PAGEREF _Tc30753 \h 1
\l "_Tc22248" 【题型2 灵活选择判定方法证明两个三角形全等】 PAGEREF _Tc22248 \h 5
\l "_Tc23134" 【题型3 运用全等三角形证明线段相等或角相等】 PAGEREF _Tc23134 \h 9
\l "_Tc8972" 【题型4 运用全等三角形证明线段间的位置关系】 PAGEREF _Tc8972 \h 13
\l "_Tc30844" 【题型5 运用全等三角形解决实际测量问题】 PAGEREF _Tc30844 \h 17
\l "_Tc12211" 【题型6 作辅助线构造全等三角形证明线段间的和差倍分关系】 PAGEREF _Tc12211 \h 21
\l "_Tc20909" 【题型7 与三角形全等有关的动点探究题】 PAGEREF _Tc20909 \h 25
\l "_Tc2642" 【题型8 与三角形全等有关的线段或角之间的规律的探究题】 PAGEREF _Tc2642 \h 31
【知识点 全等三角形的判定】
【题型1 全等三角形的判定条件】
【例1】（2023春·广东深圳·八年级校联考期中）如图，在△ABC和△BAD中，∠C=∠D=90°．在以下条件：①AC=BD；②AD=BC；③∠BAC=∠ABD；④∠ABC=∠BAD；⑤∠CAD=∠DBC中，再选一个条件，就能使△ABC≌△BAD，共有（ ）选择．
A．2种B．3种C．4种D．5种
【答案】C
【分析】先得到∠C=∠D=90°，若添加AC=BD，则可根据“HL”判断△ABC≌△BAD；若添加BC=AD，则可根据“HL”判断△ABC≌△BAD；于是AC=BD，然后利用前面的结论可得到△ABC≌△BAD；若添加OA=OB，则∠ABC=∠BAD，于是可利用“AAS”判断△ABC≌△BAD；若添加∠BAC=∠ABD，则可直接利用“AAS”判断△ABC≌△BAD．
【详解】解：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
AC=BDAB=BA，
∴Rt△ABC≌Rt△BADHL，所以（1）正确；
∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠C=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
AC=BDAB=BA，
∴Rt△ABC≌Rt△BADHL，所以（2）正确；
∵OA=OB，
∴∠ABC=∠BAD，
在△ABC和△BAD中，
∠C=∠D∠ABC=∠BADAB=BA，
∴△ABC≌△BADAAS，所以（4）正确；
在△ABC和△BAD中，
∠C=∠D∠BAC=∠ABDAB=BA，
∴△ABC≌△BADAAS，所以（3）正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【变式1-1】（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，点D在AB上，点E在AC上，且∠B=∠C．请结合图形，补充1个条件，使△ABE≌△ACD，则可以添加的条件是__________．

【答案】AB=AC（答案不唯一，合理即可）
【分析】根据已知条件推出两组相等的角，再根据判定方法添加条件即可．
【详解】解：由题意，∠B=∠C，∠A=∠A，
若添加条件AB=AC，可根据“ASA”证明全等，
故答案为：AB=AC（答案不唯一，合理即可）．
【点睛】本题考查全等三角形判定条件的确定，掌握判断全等三角形的方法是解题关键．
【变式1-2】（2023春·湖南长沙·八年级校联考期末）在△ABE与△DBC中，BC=BE，AB=DB，要使这两个三角形全等，还需具备的条件是（ ）
A．∠E=∠CB．∠ABD=∠CBEC．∠ABE=∠DBED．∠A=∠D
【答案】B
【分析】本题要判定△ABE≌△DBC，已知BC=BE，AB=DB，具备了两组边对应相等，故添加∠ABD=∠CBE后可根据SAS判定两三角形全等．
【详解】解：A.添加∠E=∠C，结合BC=BE，AB=DB，根据SSA不能证明△ABE≌△DBC，故选项A不符合题意；
B.添加∠ABD=∠CBE．
∵∠ABD=∠CBE
∴∠ABD+∠DCE=∠CBE+∠DCE，即∠ABE=∠CBD
∵BC=BE，AB=DB，
∴△ABE≌△DBC
故选项B符合题意；
C.添加∠ABE=∠DBE不能得出∠ABD=∠CBE，故不能根据SAS判定△ABE≌△DBC，故选项C不符合题意；
D. ∠A=∠D，结合BC=BE，AB=DB，根据SSA不能证明△ABE≌△DBC，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【变式1-3】（2023春·福建莆田·八年级统考期末）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对△ABC及△A'B'C'的对应边或对应角添加一组等量条件（点A'，B'，C'分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定△ABC与△A'B'C'全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．
上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是___________．（填写所有正确结论的序号）
①若第3轮甲添加∠C=∠C'=45°，则甲获胜；
②若第3轮甲添加BC=B'C'=3cm，则甲必胜；
③若第2轮乙添加条件修改为∠A=∠A'=90°，则乙必胜；
④若第2轮乙添加条件修改为BC=B'C'=3cm，则此游戏最多4轮必分胜负．
【答案】②③④
【分析】根据全等三角形的判定定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：①若第3轮甲添加∠C=∠C'=45°，可根据角角边判定△ABC与△A'B'C'全等，则乙获胜，故本说法错误；
②若第3轮甲添加BC=B'C'=3cm，
如图，当∠A=35°，AB=2时，以B为圆心，3为半径画弧，与射线AD相交于点C，
，
此时交点C是唯一的，
故甲添加BC=B'C'=3cm时，△ABC与△A'B'C'全等，
故甲获胜，故本说法正确；
③若第2轮乙添加条件修改为∠A=∠A'=90°，
若第3轮甲添加一边相等，可根据边角边或斜边直角边判定△ABC与△A'B'C'全等，则乙获胜，
若第3轮甲添加一角相等，可根据角角边或角边角判定△ABC与△A'B'C'全等，则乙获胜，
故乙必胜，故本说法正确；
④若第2轮乙添加条件修改为BC=B'C'=3cm，
第3轮甲若添加一组边相等，满足边边边，能判定△ABC与△A'B'C'全等，则乙获胜；
甲若添加一组角相等，满足边边角，不能判定△ABC与△A'B'C'全等，
第4轮乙若添加一组边相等，满足边边边，能判定△ABC与△A'B'C'全等，则乙获胜； 乙若添加一组角相等，满足角角边（或角边角），能判定△ABC与△A'B'C'全等，则甲获胜，
此时此游戏4轮能分胜负，故本说法正确．
故答案为：②③④
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【题型2 灵活选择判定方法证明两个三角形全等】
【例2】（2023春·广东清远·八年级统考期末）如图，△ABC的高BD与CE相交于点O，OD＝OE，AO的延长线交BC于点M，请你写出图中三对全等的直角三角形，并选择其中一对全等三角形进行证明．
【答案】图中全等的直角三角形有：△ADO≌△AEO，△DOC≌△EOB，△COM≌△BOM，△ACM≌△ABM，△ADB≌△AEC，△BCE≌△CBD，证明见解析
【分析】结合已知条件与三角形全等的判定方法证明即可．
【详解】解：△ADO≌△AEO，△DOC≌△EOB，△COM≌△BOM，△ACM≌△ABM，△ADB≌△AEC，△BCE≌△CBD．
理由如下：
在△ADO与△AEO中，∠ADO=∠AEO=90°，
OA=OAOD=OE，
∴△ADO≌△AEOHL，
∴∠DAO=∠EAO，AD=AE，
在△DOC与△EOB中，
∠ODC=∠OEB=90°OD=OE∠DOC=∠EOB
∴△DOC≌△EOBASA，
∴DC=EB，OC=OB，
∴DC+AD=EB+AE，即AC=AB，
∵∠DAO=∠EAO，
∴AM⊥BC，CM=BM．
在△COM与△BOM中，∠OMC=∠OMB=90°，
OC=OBOM=OM，
∴△COM≌△BOMHL．
在△ACM与△ABM中，∠AMC=∠AMB=90°，
AC=ABAM=AM，
∴△ACM≌△ABMHL．
在△ADB与△AEC中，
AD=AE∠DAB=∠EACAB=AC ，
∴△ADB≌△AECSAS．
在△BCE与△CBD中，∠BEC=∠CDB=90°，
BC=CBBE=CD
∴△BCE≌△CBDHL．
综上所述，图中全等的直角三角形有：△ADO≌△AEO，△DOC≌△EOB，△COM≌△BOM，△ACM≌△ABM，△ADB≌△AEC，△BCE≌△CBD（任选三对即可）．
【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【变式2-1】（2023·云南·模拟预测）如图，点E在AB上，∠A＝∠B＝∠CED＝90°，CE＝ED．求证：△ACE≌△BED．
【答案】见解析
【分析】通过余角的性质可得∠C＝∠DEB，再用AAS证明三角形全等即可．
【详解】证明：∵∠A＝∠B＝∠CED＝90°，
∴∠C+∠CEA＝90°，∠CEA+∠DEB＝90°，
∴∠C＝∠DEB，
在△ACE和△BED中，
∵∠A=∠B∠C=∠DEBCE=ED，
∴△ACE≌△BED（AAS）．
【点睛】本题主要考查了用AAS或ASA证明三角形全等，通过余角的性质得到∠C＝∠DEB是解题的关键．
【变式2-2】（2023·福建泉州·统考二模）如图，在▱ABCD中，延长边DA至点E，使得AE=AD，连接CE交AB于点F，求证：△AEF≌△BCF．
【答案】见解析
【分析】首先根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC，进而得到∠E=∠BCF，然后证明△AEF≌△BCFAAS即可．
【详解】在▱ABCD中，∵AD∥BC，AD=BC，
∴∠E=∠BCF，
∵AE=AD，
∴AE=BC，
在△AEF与△BCF中，
∠E=∠BCF∠AFE=∠CFBAE=BC
∴△AEF≌△BCFAAS．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
【变式2-3】（2023春·全国·八年级期中）如图，AB//CD，∠B＝∠D，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．
（1）试判断AD与BE有怎样的位置关系，并说明理由；
（2）试说明△AOD≌△EOC．
【答案】（1）AD//BE，理由见解析；（2）见解析．
【分析】（1）由AB//CD可得∠B＝∠DCE，进而可得∠DCE＝∠D，问题得证；
（2）由O是CD的中点，可得DO＝CO，结合（1）中∠DCE＝∠D，再结合对顶角，可根据ASA判定全等．
【详解】（1）AD//BE，
理由：∵AB//CD，
∴∠B＝∠DCE，
∵∠B＝∠D，
∴∠DCE＝∠D，
∴AD//BE；
（2）∵O是CD的中点，
∴DO＝CO，
在△ADO和△ECO中，
∠D=∠DCEDO=CO∠AOD=∠COE
∴△AOD≌△EOC（ASA）．
【点睛】本题主要考查了全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【题型3 运用全等三角形证明线段相等或角相等】
【例3】（2023春·湖南株洲·八年级校考期中）如图，AD=CB，AB=CD，BE⊥AC，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F．求证：
(1)△ABC≌△CDA；
(2)BE=DF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）直接用SSS即可证明△ABC≌△CDA；
（2）由△ABC≌△CDA，可得出∠ACB=∠DAC，由BE⊥AC，DF⊥AC，
可得出∠BEC=∠DFA=90°，由AAS即可得出△AFD≌△CEB，即可得出结论．
【详解】（1）证明：在△ABC和△CDA中
AD=CBAB=CDAC=CA
∴△ABC≌△CDASSS
（2）∵△ABC≌△CDA，
∴∠ACB=∠DAC，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEC=∠DFA=90°，
在△AFD和△CEB中，
∠DEA=∠BEC∠DAF=BCEDA=BC，
∴△AFD≌△CEBAAS，
∴BE=DF．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用各种方法进行判定三角形全等是解题的关键．
【变式3-1】（2023春·四川南充·八年级统考期中）已知△ABN和△ACM的位置如图所示，AB=AC，AD=AE，BD=CE．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）求证：∠AME=∠AND．
【答案】(1)见详解；(2)见详解．
【分析】(1)利用SSS证明△ABD≌△ACE即可得出结论;
(2) 利用ASA证明△AEM≌△ADN即可得出结论．
【详解】证明(1)∵AB=AC，AD=AE，BD=CE
∴△ABD≌△ACE(SSS)
∴∠1=∠2
(2)∵△ABD≌△ACE
∴∠ADB=∠AEC
∴180°-∠ADB=180°-∠AEC
即∠ADN=∠AEM
又∠DAE=∠DAE, AD=AE
∴△ADN≌△AEM(ASA)
∴∠AME=∠AND
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
【变式3-2】（2023春·山东威海·八年级统考期中）如图，AD=AC，AB=AE，∠DAB=∠CAE．
(1)写出△ADE与△ACB全等的理由；
(2)判断线段DF与CF的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)DF=CF，理由见解析
【分析】（1）由∠DAB＝∠CAE得出∠DAE＝∠CAB，再根据SAS判断△ADE与△ACB全等即可；
（2）由△ADB与△ACE全等得出DB＝EC，∠FDB＝∠FCE，判断△DBF与△ECF全等，最后利用全等三角形的性质可得．
【详解】（1）全等，理由如下：
∵∠DAB＝∠CAE ，
∴∠DAE＝∠CAB ，
在△ADE与△ACB中
AD=AC∠DAE=∠CABAB=AE
∴△ADE≌△ACB（SAS）
（2）DF＝CF，理由如下：
在△ADB与△ACE中
AD=AC∠DAB=∠CAEAB=AE，
∴△ADB≌△ACE（SAS） ，
∴∠DBA＝∠CEA ，
∵△ADE≌△ACB ，
∴∠ABC＝∠AED ，
∴∠DBF＝∠CEF ，
在△DBF与△ECF中
∠DFB=∠CFE∠DBF=∠CEFDB=EC，
∴△DBF≌△CEF（AAS） ，
∴DF＝CF．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，此题比较典型．
【变式3-3】（2023·陕西西安·八年级校考开学考试）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD、DE，若AD=DE，AC=CD．
（1）求证：△ABD≌△DCE．
（2）若BD=3，CD=5，求AE的长．
【答案】（1）见解析；（2）2
【分析】（1）根据AD=DE，AC=CD可知：∠DAE=∠DEA，∠DAC=∠ADC，继而推出∠AED=∠ADC，领补角相等，则∠ADB=∠DEC，结合已知条件，利用“角角边”证明三角形全等即可；
（2）根据（1）的结论可知：EC=BD,则AE=AC−EC即可求得
【详解】（1）∵ AD=DE
∴ ∠DAE=∠DEA
∵ AC=CD
∴ ∠DAC=∠ADC
∴ ∠AED=∠ADC
∴ 180°−∠AED=180°−∠ADC
即：∠ADB=∠DEC
∵ AB=AC,AC=CD
∴∠B=∠C,AB=CD
在△ABD和△DCE中
∠ADB=∠DEC∠B=∠CAB=DC
∴ △ABD≌△DCE（AAS）
（2）∵ △ABD≌△DCE，BD=3，CD=5，
∴CE=BD=3,
∵AC=AB
∴AC=5
∴ AE=AC−CE=5−3=2
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，证明∠ADB=∠DEC是解题的关键．
【题型4 运用全等三角形证明线段间的位置关系】
【例4】（2023春·云南红河·八年级校考期中）如图，D为△ABC的边BC上的一点，E为AD上一点，已知∠1=∠2，∠3=∠4．求证：AD⊥BC．
【答案】证明见解析．
【分析】在△ABE和△ACE中，由AAS判定△ABE≅△ACE，再根据全等三角对应边相等的性质，得到AB=AC，继而可以证明△ABD≅△ACD(SAS)，根据全等三角形对应角相等的性质得到∠ADB=∠ADC，最后由平角的定义解题即可．
【详解】证明：证明：在△ABE和△ACE中，
∠1=∠2∠3=∠4AE=AE
∴△ABE≅△ACE(AAS)，
∴AB=AC，
∵ 在△ABD和△ACD中，
AB=AC∠1=∠2AD=AD
∴ △ABD≅△ACD(SAS)，
∴∠ADB=∠ADC
∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠ADB=90°，
∴ AD⊥BC．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
【变式4-1】（2023春·江苏南京·八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，且AF=CE，连接BE，DF，求证：BE∥DF．
【答案】见解析
【分析】证明：根据平行四边形ABCD，可以证明△ADF≌△CBE，从而得∠AFD=∠CEB，所以∠DFC=∠BEA，由平行线的性质，即可得到DF∥BE．
【详解】证明：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DAF=∠BCE
在△ADF和△BCE中，
{AD=CB∠DAF=∠BCEAF=CE ，
∴△ADF≌△CBE，
∴∠AFD=∠CEB
∴∠DFC=∠BEA，
∴DF∥BE．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是熟悉并灵活应用以上性质解题．
【变式4-2】（2023春·江西宜春·八年级校考期中）如图，已知AD平分∠BAC，且∠1=∠2．

(1)求证：BD=CD；
(2)判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)AD⊥BC，理由见详解
【分析】（1）根据“角角边”证明△ABD≌△ACD(AAS)，由此即可求解；
（2）由（1）可知△ABC是等腰三角形，再根据等腰三角形“三线合一”即可求解．
【详解】（1）解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD,△ACD中，
∠BAD=∠CAD∠1=∠2AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(AAS)，
∴BD=CD．
（2）解：AD⊥BC，理由如下，
如图所示，延长AD交BC于点E，

由（1）可知，△ABD≌△ACD(AAS)，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定，性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
【变式4-3】（2023春·山东临沂·八年级统考期末）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，连接CD，C、D、E三点在同一条直线上，连接BD，BE．
(1)求证：BD=CE；
(2)判断BD与CE的位置关系并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)BD⊥CE，见解析
【分析】（1）由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得∠ACE=∠ABD，由三角形内角和定理可求解．
【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAESAS，
∴BD=CE；
（2）解：BD⊥CE，理由如下：
如图，设AC与BD于G，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠AGB=∠CGD，∠BAC=90°，
∴∠CDG=90°，
∴BD⊥CE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．
【题型5 运用全等三角形解决实际测量问题】
【例5】（2023春·八年级单元测试）如图，某市新开发了一个旅游区，有一湖心岛C，需测算景点A，B与C处的距离，请你设计一个方法，测量AC，BC的长度，并说明理由．

【答案】见解析
【分析】过点A作∠BAM=∠BAC，过点B作∠ABN=∠ABC，AM,BN交于点D，测量AD,BD的长度即可．
【详解】解：过点A作∠BAM=∠BAC，过点B作∠ABN=∠ABC，AM,BN交于点D，测量AD,BD的长度即可，
理由：∵∠BAM=∠BAC，∠ABN=∠ABC，AB=AB，
∴△ABD≌△ABCASA，
∴AD=AC,BD=BC．

【点睛】此题考查了全等三角形的应用，正确理解题意作出全等的三角形是解题的关键．
【变式5-1】（2023春·河南信阳·八年级统考期中）某建筑测量队为了测量一栋居民楼ED的高度，在大树AB与居民楼ED之间的地面上选了一点C，使B，C，D在一直线上，测得大树顶端A的视线AC与居民楼顶端E的视线EC的夹角为90°，若AB=CD=12米，BD=64米，请计算出该居民楼ED的高度．
【答案】52米
【分析】先根据大树顶端A的视线AC与居民楼顶端E的视线EC的夹角为90°以及AB=CD可以推出ΔABC≌ΔCDE，从而得到ED=BC，进而计算出BC即可．
【详解】解：由题意可知：∠B=∠CDE=∠ACE=90°，
∴∠ACB+∠DCE=180°−90°=90°，
∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC，
∴∠DCE=∠BAC，
在ΔABC和ΔCDE中，
∠BAC=∠DCE∠B=∠CDEAB=CD，
∴ΔABC≌ΔCDE，
∴ED=BC，
又∵CD=12米，BD=64米，
∴BC=BD−CD=64−12=52米，
∴ED=52米，
答：该居民楼ED的高度为52米．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，利用AAS证明ΔABC≌ΔCDE是解题的关键．
【变式5-2】（2023春·八年级单元测试）如图，某校学生为测量点B到河对面的目标A之间的距离，他们在点B同侧选择了一点C，测得∠ABC=70°，∠ACB=40°，然后在M处立了标杆，使∠CBM=70°，为了测量A，B之间的距离，他们应该（ ）

A．直接测量BM的长B．测量BC的长
C．测量∠A的度数D．先作∠BCN=40°，交BM于点N，再测量BN的长
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定及性质解答即可
【详解】解：为了测量A，B之间的距离，他们应该先作∠BCN=40°，交BM于点N，再测量BN的长，
理由：∵∠BCN=40°，∠ACB=40°，
∴∠BCN=∠ACB，
∵∠CBM=∠ABC=70°，BC=BC，
∴△BCN≌△BCAASA，
∴BN=AB，
故选：D

【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
【变式5-3】（2023春·全国·八年级专题练习）某同学根据数学知识原理制作了如图所示的一个测量工具----拐尺,其中O为AB的中点,CA⊥AB,BD⊥AB,CA=BD,现要测量一透明隔离房间的深度,如何使用此测量工具,说明理由.
【答案】理由见解析.
【分析】使AC与房间内壁在一条直线上，且C与一端点接触，然后人在BD的延长线上移动至F，使F、O、E三点正好在一条直线上，记下F点，这时量出DF长，即为房间深度CE．通过证△EAO≌△FBO，可得BF＝AE，则BF－BD＝AE－AC，即DF＝CE．
【详解】解：如图,使AC与房间内壁在一条直线上,且C与一端点接触,然后人在BD的延长线上移动至F,使F,O,E三点正好在一条直线上,记下F点,这时量出DF长,即为房间深度CE.理由如下:由∠A=∠B=90°,OA=OB,∠EOA=∠FOB,
∴△EAO≌△FBO,
得BF=AE,
则BF-BD=AE-AC,即DF=CE.
【点睛】本题考核知识点：全等三角形判定的应用. 解题关键点：构造全等三角形.
【题型6 作辅助线构造全等三角形证明线段间的和差倍分关系】
【例6】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE+CD=AC．

【答案】证明见解析
【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到∠AOC=120°，∠AOE=∠COD=60°，在AC上截取AF=AE，连接OF，分别证明△AOE≌△AOFSAS，△COD≌△COFASA，得到CD=CF，即可证明结论．
【详解】证明：∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠ACB=180°−∠B=120°，
∵ AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，
∴∠OAC=∠OAB=12∠BAC，∠OCA=∠OCB=12∠ACB，
∴∠OAC+∠OCA=12∠BAC+12∠ACB=12∠BAC+∠ACB=60°，
∴∠AOC=120°，
∴∠AOE=∠COD=180°−∠AOC=60°，
如图，在AC上截取AF=AE，连接OF，

在△AOE和△AOF中，
AE=AF∠OAE=∠OAFAO=AO，
∴△AOE≌△AOFSAS，
∴∠AOE=∠AOF=60°，
∴∠COF=∠AOC−∠AOF=120°−60°=60°，
∵∠COD=60°，
∴∠COD=∠COF，
在△COD和△COF中，
∠OCD=∠OCFCO=CO∠COD=∠COF，
∴△COD≌△COFASA，
∴CD=CF，
∵AF=AE，
∴AF+CF=AE+CD=AC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，做辅助线构造全等三角形是解题关键．
【变式6-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．
【答案】见解析
【分析】在AB上找到F使得AF＝AD，易证△AEF≌△AED，可得AF＝AD，∠AFE＝∠D，根据平行线性质可证∠C＝∠BFE，即可证明△BEC≌△BEF，可得BF＝BC，即可解题．
【详解】证明：在AB上找到F使得AF＝AD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠EAD＝∠EAF，
∵在△AEF和△AED中，
AD=AF∠EAD=∠EAFAE=AE，
∴△AEF≌△AED，（SAS）
∴AF＝AD，∠AFE＝∠D，
∵AD∥BC，
∴∠D＋∠C＝180°，
∵∠AFE＋∠BFE＝180°
∴∠C＝∠BFE，
∵BE平分∠BAD，
∴∠FBE＝∠C，
∵在△BEC和△BEF中，
∠BFE=∠C∠FBE=∠CBEBE=BE，
∴△BEC≌△BEF，（AAS）
∴BF＝BC，
∵AB＝AF＋BF，
∴AB＝AD＋BC，
即AD＝AB﹣BC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△AEF≌△AED和△BEC≌△BEF是解题的关键．
【变式6-2】（2023春·八年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，小明发现，用已学过的“倍长中线”加倍构造全等，就可以测量CD与AB数量关系．请根据小明的思路，写出CD与AB的数景关系，并证明这个结论．
【答案】CD=12AB，证明过程详见解析
【分析】延长CD到点E，使ED=CD，连接BE，根据全等三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：CD=12AB，证明：如图，延长CD到点E，使ED=CD，连接BE，
在△BDE和△ADC中，
BD=AD∠BDE=∠ADCED=CD
∴△BDE≌△ADC(SAS)，
∴EB=AC，∠DBE=∠A，
∴BE∥AC，
∵∠ACB=90°，
∴∠EBC=180°-∠ACB=90°，
∴∠EBC=∠ACB，
在△ECB和△ABC中，
EB=AC∠EBC=∠ACBCB=BC
∴△ECB≌△ABC(SAS)，
∴EC=AB，
∴CD=12EC=12AB．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是正确的作出辅助线．
【变式6-3】（2023春·八年级课时练习）如图，在四边形OACB中，CE⊥OA于E，∠1=∠2，CA=CB.求证：∠3+∠4=180°；OA+OB=2OE.
【答案】详见解析
【分析】过点C向OA、OB作垂线，构建全等三角形，继而根据平角定义以及线段的和差即可证得结论.
【详解】如图，过点C作CF⊥OB与点F，则∠F=∠CEO=90°，
∵∠1=∠2，OC=OC，
∴ΔFOC≅ΔEOC，
∴CE=CF，OE=OF，
∵CA=CB，∠CEA=∠CFB=90°，
∴RtΔCAE≅Rt△CBFHL，
∴∠4=∠CBF，AE=BF，
∵∠3+∠CBF=180°，∴∠3+∠4=180°，
∴OA+OB=OE+AE+OF−BF=OE+OF=2OE.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构建全等三角形是解题的关键.
【题型7 与三角形全等有关的动点探究题】
【例7】（2023春·山东德州·八年级校考期中）如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上向点C运动，同时，点Q在线段DC上从点D向点C运动，已知点P的运动速度是2cm/s，则经过______s，△BPE与△CQP全等．
【答案】1或4
【分析】分两种情况：①当EB=PC时，△BPE≅△CQP，②当BP=CP时，△BEP≅CQP，进而求出即可．
【详解】解：设运动的为ts，分两种情况：
①当EB=PC，BP=QC时，△BPE≅△CQP，
∵AB=20cm，AE=6cm，
∴EB=14cm，
∴PC=14cm，
∵BC=16cm，
∴BP=2cm，
∴QC=2cm，
∵点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C运动，
∴t=2÷2=1（s），此时点Q的运动速度为2÷1=2(cm/s)；
②当BP=CP，BE=QC=14cm时，△BEP≅CQP，
由题意得：2t=16−2t，
解得：t=4（s），此时点Q的运动速度为14÷4=3.5(cm/s)；
综上，点P经过1或4s时；△BPE与△CQP全等．
故答案为：1或4．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质等知识，关键是掌握两个三角形全等的判定和性质．
【变式7-1】（2023春·河南许昌·八年级统考期末）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=24cm，AC=12cm，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E经过（ ）秒时，△DEB与△BCA全等．（注：点E与A不重合）
A．4B．4、12C．4、8、12D．4、12、16
【答案】A
【分析】设点E经过t秒时，△DEB与△BCA全等；由斜边ED=CB，分类讨论BE=AC或BE=AB时的情况，求出t的值即可．
【详解】解：设点E经过t秒时，△DEB与△BCA全等；此时AE=3tcm,
分情况讨论：
（1）当点E在点B的左侧时，△DEB≌△BCA，则BE=AC，
∴24−3t=12，
∴t=4；
（2）当点E在点B的右侧时，
①△DEB≌△BCA，BE=AC时，3t=24+12，
∴t=12；
②△EDB≌△BCA，BE=AB时，3t=24+24，
∴t=16．
综上所述，点E经过4、12、16秒时，△DEB与△BCA全等．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法；分类讨论各种情况下的三角形全等是解决问题的关键．
【变式7-2】（2023春·甘肃定西·八年级校考期末）如图所示，在△ABC中，∠ABC=68°，BD平分∠ABC，P为线段BD上一动点，Q为 边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APB的度数是（ ）
A．118°B．125°C．136°D．124°
【答案】A
【分析】先在BC上截取BE=BQ，连接PE，证明△PBQ≌△PBESAS，得出PE=PQ，说明AP+PQ=AP+PE，找出当A、P、E在同一直线上，且AE⊥BC时，AP+PE最小，即AP+PQ最小，过点A作AE⊥BC于点E，交BD于点P，根据三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：在BC上截取BE=BQ，连接PE，如图：
∵BD平分∠ABC，∠ABC=68°，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=34°，
∵BP=BP，
∴△PBQ≌△PBESAS，
∴PE=PQ，
∴AP+PQ=AP+PE，
∴当A、P、E在同一直线上，且AE⊥BC时，AP+PE最小，即AP+PQ最小，过点A作AE⊥BC于点E，交BD于点P，如图：
∵∠AEB=90°，∠CBD=34°，
∴∠APB=∠AEB+∠CBD=124°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使AP+PQ最小时点P的位置．
【变式7-3】（2023春·八年级单元测试）如图，在△ABC中，AD为高，AC=12．点E为AC上的一点，使CE=12AE，连接BE，交AD于O，若△BDO≌△ADC．
备用图
(1)求∠BEC的度数；
(2)有一动点Q从点A出发沿射线AC以每秒8个单位长度的速度运动，设点Q的运动时间为t秒，是否存在t的值，使得△BOQ的面积为24？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)在（2）条件下，动点P从点O出发沿线段OB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，点F是直线BC上一点，且CF=AO．当△AOP与△FCQ全等时，求t的值．
【答案】(1)90°
(2)存在，t=12或t=32
(3)65或2
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到∠OBD=∠CAD，利用三角形内角和得到∠AEO=∠ODB=90°即可；
（2）根据全等三角形的性质求出AE=8，CE=4，分两种情况：① 当01时，Q在射线EC上，根据三角形的面积公式列方程求解；
（3）由△BDO≌△ADC得到∠BOD＝∠ACD，①当点F在线段BC延长线上时，如图3，当OP＝CQ时，△AOP≌△FCQ（SAS），得到2t＝12﹣8t，求解即可；②当点F在线段BC上时，如图4，当OP＝CQ时，△AOP≌△FCQ（SAS），列得2t＝8t﹣12，计算即可．
【详解】（1）∵在△ABC中，AD为高，
∴∠ODB=90°，
又∵△BDO≌△ADC，
∴∠OBD=∠CAD，
在△AOE与△OBD中
∵∠OBD=∠CAD，∠BOD=∠AOE，
∴∠AEO=∠ODB=90°，
∴ ∠BEC=180°-∠AEO= 90° ；
（2）∵ △BDO≌△ADC，AC＝12，
∴BO=AC＝12，
∵ AC＝12，CE＝12AE，
∴ AE=8，CE=4，
① 当0∴ S △BOQ =12BO×QE= 12×12 ×(8-8t) =24，
解得t=12；
② 当t>1时，Q在射线EC上，
∴ S △BOQ =12BO×QE= 12×12 ×(8t-8) =24，
解得t=32；
∴存在，t=12或t=32；
（3）∵△BDO≌△ADC，
∴∠BOD＝∠ACD，
①当点F在线段BC延长线上时，如图3，
∵∠BOD＝∠ACD，
∴∠AOP＝∠ACF，
∵AO＝CF，
∴当OP＝CQ时，△AOP≌△FCQ（SAS），
此时，2t＝12﹣8t，
解得：t＝65；
②当点F在线段BC上时，如图4，
∵∠BOD＝∠ACD，
∴∠AOP＝∠FCQ，
∵AO＝CF，
∴当OP＝CQ时，△AOP≌△FCQ（SAS），
此时，2t＝8t﹣12，
解得：t＝2；
综上所述，当△AOP与△FCQ全等时，t的值为65或2．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，图形与动点问题，熟练掌握全等三角形的性质并应用是解题的关键，解题中还需注意运用分类思想解决问题．
【题型8 与三角形全等有关的线段或角之间的规律的探究题】
【例8】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．
①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．
（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析；
【分析】（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，△BEF≌△CED，∠BAE＝∠F， AB＝CD；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，△BEF≌△CEG
△BAF≌△CDG，AB＝CD；
（2）如图3，过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，则∠BAE＝∠EMC，△BAE≌△CFE（AAS），∠F＝∠EDC，CF＝CD，AB＝CD；
【详解】（1）①如图1，
延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，
∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，
在△BEF和△CED中，
BE=CE∠BEF=∠CEDEF=ED ，
∴△BEF≌△CED（SAS），∴BF＝CD，∠F＝∠CDE，
∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F，
∴AB＝BF，∴AB＝CD；
②如图2，
分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，
∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，
∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，
在△BEF和△CEG中，
∠F=∠CGF=90°∠BEF=∠CEGBE=CE ，
∴△BEF≌△CEG（AAS），∴BF＝CG，
在△BAF和△CDG中，
∠BAE=∠CDE∠F=∠CGD=90°BF=CG，
∴△BAF≌△CDG（AAS），
∴AB＝CD；
（2）如图3，
过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，
则∠BAE＝∠EMC，
∵E是BC中点，
∴BE＝CE，
在△BAE和△CME中，
∠BAE=∠CME∠BEA=∠CEMBE=CE，
∴△BAE≌△CFE（AAS），∴CF＝AB，∠BAE＝∠F，
∵∠BAE＝∠EDC，
∴∠F＝∠EDC，∴CF＝CD，∴AB＝CD．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
【变式8-1】（2023春·江苏·八年级专题练习）问题发现：如图1，已知C为线段AB上一点，分别以线段AC，BC为直角边作等腰直角三角形，∠ACD=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE，BD，线段AE，BD之间的数量关系为______；位置关系为_______．
拓展探究：如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，线段AE，BD交于点F，则AE与BD之间的关系是否仍然成立？请说明理由．
【答案】问题发现：AE=BD，AE⊥BD；拓展探究：成立，理由见解析
【分析】问题发现：根据题目条件证△ACE≌△DCB，再根据全等三角形的性质即可得出答案；
拓展探究：用SAS证ΔACE≅ΔDCB，根据全等三角形的性质即可证得．
【详解】解：问题发现：延长BD，交AE于点F，如图所示：
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=∠DCB=90°，
又∵CA=CD,CB=CE,
∴ΔACE≅ΔDCB（SAS），
∴AE=ED,∠CAE=∠CDB，
∵∠CDB+∠CBD=90°，
∴∠CAE+∠CBD=90°，
∴∠AFD=90°，
∴AF⊥FB，
∴AE⊥BD，
故答案为：AE=BD，AE⊥BD；
拓展探究：成立．
理由如下：设CE与BD相交于点G，如图1所示：
∵∠ACD=∠BCE=90°，
∴∠ACE=∠BCD，
又∵CB=CE，AC=CD，
∴ΔACE≅ΔDCB（SAS），
∴AE=BD，∠AEC=∠DBC，
∵∠CBD+∠CGB=90°，
∴∠AEC+∠EGF=90°，
∴∠AFB=90°，
∴BD⊥AE，
即AE=BD，AE⊥BD依然成立．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，手拉手模型，熟练掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解决本题的关键．
【变式8-2】（2023春·浙江·八年级专题练习）(1)阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB=10，AC=6．求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使DE=AD，再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD)，把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是______；
(2)问题解决：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF；
(3)问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．
【答案】(1)2【分析】（1）延长AD至E，使DE=AD，连接BE，证明△BDE≌△CDA（SAS），根据三角形三边关系即可求解；
（2）延长FD至点M，使DM=DF，连接BM，EM，同（1）得，△BMD≌Δ△CFD(SAS)，证明△EDM≌△EDF(SAS)在ΔBME中，由三角形的三边关系得BE+BM>EM，即可得证；
（3）延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，证明△NBC≌△FDC(SAS)，△NCE≌△FCE(SAS)，根据求的三角形的性质即可得证．
【详解】（1）解：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，如图①所示：
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDA中，
BD=CD∠BDE=∠CDADE=AD
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE=AC=6，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB−BE∴10−6∴2故答案为：2（2）证明：延长FD至点M，使DM=DF，连接BM，EM，如图所示
同（1）得，△BMD≌Δ△CFD(SAS)，
∴BM=CF
∵DE⊥DF，DM=DF，DE=DE
∴△EDM≌△EDF(SAS)，
∴EM=EF
在ΔBME中，由三角形的三边关系得BE+BM>EM，
∴BE+CF>EF
（3）BE+DF=EF
证明如下：
延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，如图所示
∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°
∴∠NBC=∠D
在△NBC和△FDC中，
BN=DF∠NBC=∠DBC=DC，
∴△NBC≌△FDC(SAS)
∴CN=CF，∠NCB=∠FCD
∵∠BCD=140°，∠ECF=70°
∴∠BCE+∠FCD=70°，∴∠ECN=70°=∠ECF
在△NCE和△FCE中，
CM=CF∠ECN=∠ECFBC=DC
∴△NCE≌△FCE(SAS)，
∴EN=EF．
∵BE+BN=EN，
∴BE+DF=EF
【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质、三角形三边关系、角的和差等，解答此题的关键是作出辅助线，构造出与图①中结构相关的图形．
【变式8-3】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型” 兴趣小组进行了如下探究：
（1）如图1，两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，连接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是 ，此时BD和CE的数量关系是 ；
（2）如图2，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）如图3，已知△ABC，请完成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE和CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数．
【答案】（1）△AEC，BD=CE；（2）BD=CE且BD⊥CE，理由见解析；（3）作图见解析，BE=CD，∠PBC+∠PCB=60°．
【分析】（1）根据SAS证明两个三角形全等即可证明；
（2）通过条件证明△DAB≌△EAC（SAS），得到∠DBC+∠ECB=90°，即可证明BD⊥CE，从而得到结果；
（3）根据已知条件证明△DAC≌△BAE(SAS)，即可得到结论．
【详解】解：（1）∵AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，
∴∠DAE+∠EAB=∠BAC+∠EAB，
即∠DAB=∠EAC，
∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴BD=CE；
（2）BD=CE且BD⊥CE；
理由如下：因为∠DAE=∠BAC=90°，如图2．
所以∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE．
所以∠DAB=∠EAC．
在△DAB和△EAC中，
AD=AE∠DAB=∠EACAB=AC，
所以△DAB≌△EAC（SAS）．
所以BD=CE，∠DBA=∠ECA．
因为∠ECA+∠ECB+∠ABC=90°，
所以∠DBA+∠ECB+∠ABC=90°．
即∠DBC+∠ECB=90°．
所以∠BPC=180°-（∠DBC+∠ECB）=90°．
所以BD⊥CE．
综上所述：BD=CE且BD⊥CE．
（3）如图3所示，BE=CD，∠PBC+∠PCB=60°．
判定方法
解释
图形
边边边
(SSS)
三条边对应相等的两个三角形全等

边角边
(SAS)
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

角边角
(ASA)
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

角角边
(AAS)
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等

斜边、直角边
(HL)
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

轮次
行动者
添加条件
1
甲
AB=A'B'=2cm
2
乙
∠A=∠A'=35°
3
甲
…