苏科版八年级上册第一章 全等三角形1.2 全等三角形精品一课一练

这是一份苏科版八年级上册第一章 全等三角形1.2 全等三角形精品一课一练，共41页。

专题1.3�全等三角形 重难点题型8个
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人
得分



一、单选题
1．如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（    ）

A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④
2．工人常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使，过角尺顶点C作射线，由此作法便可得，其依据是（    ）

A． B． C． D．
3．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是(     )

A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
4．如图，点E是BC的中点，，，AE平分，下列结论：①；②；③；④，四个结论中成立的是（    ）

A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②④
5．如图，点P是∠BAC平分线AD上的一点，AC=9，AB=5，PB=3，则PC的长可能是（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是AB上一点，且BE=BC，过E作DE⊥AB交AC于点D，如果AC=5cm，则AD+DE=（    ）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
7．如图，在中，点D，E分别在边，上，点A与点E关于直线对称．若，，，则的周长为（    ）

A．9 B．10 C．11 D．12
8．平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图．若AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，则∠BPD的度数为（　　）

A．110° B．125° C．130° D．155°
9．如图，在△ABC中，D，E是BC边上的两点，AD＝AE，BE＝CD，∠1＝∠2＝110°，∠BAE＝60°，则∠CAE的度数为（    ）

A．50° B．60° C．40° D．20°
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D，F分别是BC，AC上的点，DE⊥AB，垂足为E，CF＝BE，DF＝DB，则∠ADE的度数为（    ）

A．40° B．50° C．70° D．71°
11．如图，在中，分别为边上的高，相交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则周长等于的长．其中正确的有（    ）

A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④
12．如图，为测量桃李湖两端AB的距离，南开中学某地理课外实践小组在桃李湖旁的开阔地上选了一点C，测得∠ACB的度数，在AC的另一侧测得∠ACD=∠ACB，CD=CB，再测得AD的长，就是AB的长．那么判定△ABC≌△ADC的理由是（    ）

A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
13．如图，已知直线于点P，B是内部一点，过点B作于点A，于点C，四边形是边长为8cm的正方形，N是的中点，动点M从点P出发，以2cm/s的速度，沿方向运动，到达点C停止运动，设运动时间为，当时，t等于（    ）

A．2 B．4 C．2或4 D．2或6

评卷人
得分



二、解答题
14．如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，．

(1)若，，求四边形AECF的面积；
(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．
15．已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：BC＝DE．

16．如图，点在一条直线上，．求证：．

17．如图，在△ABC中，D是线段BC的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，且CF∥BE．求证：DE＝DF

18．如图，在四边形ABCD中，，点E为对角线BD上一点，，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．

19．如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是线段BC上一个动点，点F在线段AB上，且∠FDB＝∠ACB，BE⊥DF．垂足E在DF的延长线上．

（1）如图2，当点D与点C重合时，试探究线段BE和DF的数量关系．并证明你的结论；
（2）若点D不与点B，C重合，试探究线段BE和DF的数量关系，并证明你的结论．
20．如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．E为BD上一点，且BE＝AD，∠DEF＝∠ADC，EF交BC的延长线于点F．

（1）AD和BC相等吗？为什么？
（2）BF和BD相等吗？为什么？
21．如图，ABCD，∠ACD=90°，CD=CB，DE⊥BC于点E．求证：AB=CE．

22．如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为点、．
  
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
23．如图，E为BC上一点，AC∥BD，AC＝BE，∠ABC＝∠D．求证：AB＝ED．

24．如图，点E在△ABC的边AC上，且∠ABE＝∠C，AF平分∠BAE交BE于F，FD∥BC交AC于点D．

（1）求证：△ABF≌△ADF；
（2）若BE＝7，AB＝8，AE＝5，求△EFD的周长．
25．如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，ABDE，∠A=∠D．

(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)若BE=10m，BF=3m，则FC的长度为 m．
26．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、BE相交于点H，AE=BE．

(1)求证：△AEH≌△BEC．
(2)若AH=4，求BD的长．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F，分别在AB，BC，AC边上，且BE＝CF，BD＝CE，∠A＝30°，求∠DEF的度数．

28．如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN．

(1)求证△AMB≌△CNA；
(2)求证∠BAC＝90°．
29．如图1，在中，过点作，且，连接．

(问题原型)(1)若，且，过点作的的边上的高，易证，从而得到的面积为______．
(变式探究)(2)如图2，若，，用含的代数式表示的面积，并说明理由．
(拓展应用)(3)如图3，若，，则的面积为______．

评卷人
得分



三、填空题
30．如图，△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在AB的延长线上，AD＝AC，BD＝BO，若∠ACB＝40°，则∠ABC的度数为 ．

31．如图，点D、A、E在直线m上，AB=AC，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，且BD=AE．若BD=3，CE=5，则DE=

32．如图，，cm，cm，点P在线段AC上，以每秒2cm的速度从点A出发向C运动，到点C停止运动，点Q在射线AM上运动，且，当点P的运动时间为 秒时，△ABC才能和△PQA全等．

33．如图，AB＝16，AC＝6，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B．点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿AB向点B运动；点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线BD方向运动．点P、点Q同时出发，当以P、B、Q为顶点的三角形与△CAP全等时，a的值为 ．

34．如图，已知四边形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，CD＝14cm，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度沿B﹣C运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等．

35．已知中，，，点为的中点，点、分别为边、上的动点，且，连接，下列说法正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
①；②；③；④


参考答案：
1．A
【分析】根据全等三角形的SSS判定条件解答即可．
【详解】解：∵AE=FB，
∴AE+BE=FB+BE，
∴AB=FE，
在△ABC和△FED中，
，
∴△ABC≌△FED（SSS），
∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE，
∴可利用的是①或②，
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．
2．A
【分析】由作图过程可知再加上公共边，可用定理判定．
【详解】解：∵ ，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法——边角边、角边角、角角边、边边边是解题的关键．
3．C
【分析】根据全等三角形的判定，已知两角及其夹边，就可以确定一个三角形．
【详解】解：第①块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这块不能配一块与原来完全一样的；
第②块只保留了原三角形的部分边，根据这两块中的任意一块均不能配一块与原来完全一样的；
第③块不仅保留了原三角形的两个角还保留了一边，则可根据来配一块与原来一样的玻璃．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法： 要求学生要对常用的几种方法熟练掌握．
4．D
【分析】过E点作EF⊥AD于F，如图，根据角平分线的性质得到EF=EB，则可判断≌,所以AB=AF，∠AEB=∠AEF，由于EC=EB=EF，则可判断≌,所以DC=DF，∠DEC=∠DEF，∠FDE=∠CDE，于是可对②进行判断；利用∠AED=∠AEF+∠DEF=∠BEF+∠CEF可对①进行判断；利用DE>EC，EC=BE可对③进行判断；利用AF=AB，DF=DC可对④进行判断．
【详解】解：过E点作EF⊥AD于F，如图，
∵AE平分∠BAD，EF⊥AD，EB⊥AB，
∴EF=EB，
在和中，
，
∴≌(HL)，
∴AB=AF，∠AEB=∠AEF，
∴∠AEB=∠AEF=∠BEF，
∵点E是BC的中点，
∴EC=EB，
∴EC=EF，
在和中，
，
∴≌(HL)，
∴DC=DF，∠DEC=∠DEF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；
∴∠DEC=∠DEF=∠CEF，，
∵∠AED=∠AEF+∠DEF=∠BEF+∠CEF=(∠BEF+∠CEF) =90°，
∴∠AED=90°，所以①正确；
∵DE>EC，而EC=BE，
∴DE>BE，所以③错误；
∵AF=AB，DF=DC，
∴AD=AF+DF=AB+CD，所以④正确．
故选：D．

【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是如何添加辅助线，构造全等三角形．
5．A
【分析】在AC上取AE=AB=5，然后证明△AEP-ABP，根据全等三角形对应边相等得到PE=PB=3，再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解．
【详解】解：在AC上截取AE=AB=5，连接PE，

∵AC=9，
∴CE=AC-AE=9-5=4，
∵点P是∠BAC平分线AD上的一点，
∴∠CAD=∠BAD，
在△APE和△APB中，，
∴△APE≌△APB（SAS），
∴PE=PB=3，
∵4-3＜PC＜4+3，
解得1＜PC＜7，
观察四个选项，PC的长可能是6，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系；通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
6．C
【分析】利用HL得到直角三角形BDE与直角三角形BDC全等，利用全等三角形对应边相等得到DC=DE，根据AD+DC=AC，等量代换即可确定出AD+DE的长．
【详解】试题解析：


在和中




故选C．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
7．B
【分析】连接，交于点，由点与点关于直线对称，可证得，继而可证明，由全等三角形对应边相等解得，同理可证及，最后结合线段的和差与已知条件解题即可．
【详解】连接，交于点，
由点与点关于直线对称，

在与中，



同理，在与中，



，，，
的周长为：






故选：B．

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
8．C
【分析】易证△ACD≌△BCE，由全等三角形的性质可知：∠A＝∠B，再根据已知条件和四边形的内角和为360°，即可求出∠BPD的度数．
【详解】解：在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SSS），
∴∠A＝∠B，∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCA＝∠ECD，
∵∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，
∴∠BCA+∠ECD＝100°，
∴∠BCA＝∠ECD＝50°，
∵∠ACE＝55°，
∴∠ACD＝105°
∴∠A+∠D＝75°，
∴∠B+∠D＝75°，
∵∠BCD＝155°，
∴∠BPD＝360°﹣75°﹣155°＝130°，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理，解题的关键是利用整体的数学思想求出∠B+∠D＝75°．
9．D
【分析】首先根据已知条件可证得∠ADC＝∠AEB，即可证得△ACD≌△ABE（SAS），∠CAD＝∠BAE＝60°，再根据三角形的内角和定理及外角的性质，即可求得∠CAE的度数．
【详解】解：∵∠1＝∠2＝110°，
∴180°﹣∠1＝180°﹣∠2，
∵∠ADC＝∠180°﹣∠1，∠AEB＝180°﹣∠2，
∴∠ADC＝∠AEB，
在△ACD和△ABE中，
，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴∠CAD＝∠BAE＝60°，
∴∠C＝∠1﹣∠CAD＝110°﹣60°＝50°，
∴∠CAE＝180°﹣∠2﹣∠C＝180°﹣110°﹣50°＝20°，
∴∠CAE的度数为20°，
故选：D．
【点睛】此题考查了三角形的内角和定理及外角的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ACD≌△ABE是解题的关键．
10．C
【分析】先利用三角形内角和算出，再证明得到；再证明，得到，即可算出
【详解】
根据题意：
在中

在和中

∴
∴
在和中

∴
∴
在中
∴
故选：C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，注意HL这个判定方法的使用．
11．B
【分析】证明△BDF≌△ADC，可判断①；求出∠FCD=45°，∠DAC＜45°，延长CF交AB于H，证明∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，可判断③；根据①可以得到E是AC的中点，然后可以推出EF是AC的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质可判断④．
【详解】解：∵△ABC中，AD，BE分别为BC、AC边上的高，∠ABC=45°，
∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，
而∠ADB=∠ADC=90°，
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴BF=AC，FD=CD，故①正确，
∵∠FDC=90°，
∴∠DFC=∠FCD=45°，
∵∠DAC=∠DBF＜∠ABC=45°，
∴∠FCD≠∠DAC，故②错误；
延长CF交AB于H，

∵∠ABC=45°，∠FCD=45°，
∴∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，
∴CH⊥AB，
即CF⊥AB，故③正确；
∵BF=2EC，BF=AC，
∴AC=2EC，
∴AE=EC=AC，
∵BE⊥AC，
∴BE垂直平分AC，
∴AF=CF，BA=BC，
∴△FDC的周长=FD+FC+DC
=FD+AF+DC
=AD+DC
=BD+DC
=BC
=AB，
即△FDC的周长等于AB，故④正确，
综上：①③④正确，
故选B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，也考查了线段的垂直平分线的性质与判定，也利用了三角形的周长公式解题，综合性比较强，对学生的能力要求比较高．＜
12．A
【分析】已知条件是∠ACD=∠ACB，CD=CB，AC=AC，据此作出选择．
【详解】解：在△ADC与△ABC中，
．
∴△ADC≌△ABC（SAS）．
故选：A．
【点睛】此题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
13．D
【分析】分点M是AP的中点和点M与点N重合两种情况讨论，由全等三角形的性质和正方形的性质即可求解．
【详解】解：当点M是AP的中点时，
∵四边形PABC是正方形，
∴PC＝PA＝AB，∠CPA＝∠PAN＝90°，
∵N是AB的中点，点M是AP的中点，
∴PM＝AN＝4，
在△CPM和△PAN中，

∴△CPM≌△PAN（SAS），
∴PN＝CM，
∴t2，
当点M与点N重合时，由正方形的对称性可得PN＝CM，
∴t6，
故选：D
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
14．(1)48
(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，证明见解析

【分析】（1）连接AC，证明△ACE ≌△ACF，则S△ACE＝S△ACF，根据三角形面积公式求得S△ACF与S△ACE，根据S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE求解即可；
（2）由△ACE ≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
【详解】（1）解：连接AC，如图，

在△ACE 和△ACF中
∴△ACE ≌△ACF（SSS）．
∴S△ACE＝S△ACF，∠FAC＝∠EAC．
∵CB⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CB＝6．
∴S△ACF＝S△ACE＝AE·CB＝×8×6＝24．
∴S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48．
（2）∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
证明：∵△ACE ≌△ACF，
∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．
∵∠DFC与∠AFC互补，∠BEC与∠AEC互补，
∴∠DFC＝∠BEC．
∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，
∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC
＝∠DAB＋∠ECF．
∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
15．证明见解析
【分析】根据全等三角形的判定定理SAS，即可得到答案.
【详解】证明：∵∠BAE＝∠DAC，
∴∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC．
即：∠BAC＝∠EAD．
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
∴BC＝DE．
【点睛】本题考查全等三角形的判定定理SAS，熟练掌握全等三角形的判定定理SAS是解题的关键.
16．证明见解析
【分析】先证明，，再由“”可证，可得结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，  
∴，
【点睛】本题考查了全等三角形的性质判定和性质，平行线的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
17．见解析
【分析】根据平行线性质得出∠FCD=∠EBD，由BD=DC，∠CDF=∠BDE，根据ASA推出△CDF≌△BDE即可．
【详解】∵CF∥BE
∴∠FCD＝∠EBD   
∵D是线段BC的中点
∴CD＝BD   
又∵∠CDF＝∠BDE
∴△CDF≌△BDE  
∴ CF＝BE
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等，对应边相等．
18．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）通过证明△ADB≌△EBC得到，利用线段和差即可得证；
（2）根据等边对等角得到，再利用平行线的性质得到，根据角的和差即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
在△ADB和△EBC中，
，
∴△ADB≌△EBC，
∴，
∴，
∴；
（2）∵△ADB≌△EBC，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．
19．（1）BE＝FD．证明见解析；（2）BE＝FD，证明见解析．
【分析】（1）首先延长CA与BE交于点G，根据∠FDB=∠ACB，BE⊥DE，判断出BE=EG=BG；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ABG≌△ACF，即可判断出BG=CF=FD，再根据BE=BG，可得BE=FD，据此判断即可．
（2）首先过点D作DG∥AC，与AB交于H，与BE的延长线交于G，根据DG∥AC，∠BAC=90°，判断出∠BDE=∠EDG；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△DEB≌△DEG，即可判断出BE=EG=BG；最后根据全等三角形的判定方法，判断出△BGH≌△DFH，即可判断出BG=FD，所以BE=FD，据此判断即可．
【详解】解：（1）如图，延长CA与BE交于点G，

∵∠FDB＝∠ACB，
∴∠EDG＝∠ACB，
∴∠BDE＝∠EDG，
即CE是∠BCG的平分线，
又∵BE⊥DE，
∴BE＝EG＝BG，
∵∠BED＝∠BAD＝90°，∠BFE＝∠CFA，
∴∠EBF＝∠ACF，
即∠ABG＝∠ACF，
在△ABG和△ACF中，
，
∴△ABG≌△ACF（ASA），
∴BG＝CF＝FD，
又∵BE＝BG，
∴BE＝FD．
（2）BE＝FD，
理由如下：如图，过点D作DG∥AC，与AB交于H，与BE的延长线交于G，

∵DG∥AC，∠BAC＝90°，
∴∠BDG＝∠C，∠BHD＝∠BHG＝∠BAC＝90°，
又∵∠BDE＝∠ACB，
∴∠EDG＝∠BDG﹣∠BDE＝∠C﹣∠C＝∠C，
∴∠BDE＝∠EDG，
在△DEB和△DEG中，
，
∴△DEB≌△DEG（ASA），
∴BE＝EG＝BG，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠GDB，
∴HB＝HD，
∵∠BED＝∠BHD＝90°，∠BFE＝∠DFH，
∴∠EBF＝∠HDF，
即∠HBG＝∠HDF，
在△BGH和△DFH中，
，
∴△BGH≌△DFH（ASA），
∴BG＝FD，
又∵BE＝BG，
∴BE＝FD．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
20．（1）AD＝CB，理由见解析；（2）BF＝BD，理由见解析．
【分析】（1）由AB∥CD，得∠ABD＝∠CDB，证明△ABD≌△CDB，证得AD＝CB；
（2）由AD＝CB，BE＝AD，得BC＝BE，结合AD∥BC，得∠ADB＝∠DBF，进而得到∠EFB＝∠CDB，证明△EFB≌△CDB（AAS），证得FB＝DB．
【详解】（1）AD＝CB，
理由如下：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
同理可得，∠ADB＝∠CBD，
在△ABD与△CDB中，

∴△ABD≌△CDB（ASA），
∴AD＝CB；
（2）BF＝BD，
理由
∵AD＝CB，BE＝AD，
∴BC＝BE，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBF，
∵∠DEF＝∠ADC，
∴∠DEF﹣∠DBF＝∠ADC﹣∠ADB，
即∠EFB＝∠CDB，
在△EFB与△CDB中，
，
∴△EFB≌△CDB（AAS），
∴FB＝DB．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，全等三角形的证明，熟练使用以上知识是解题的关键．
21．见解析
【分析】先根据已知条件证明∠CED=∠BAC，∠B=∠BCD，进而证明△ABC≌△ECD，即可证明AB=CE．
【详解】证明：∵ABCD
∴∠B=∠BCD，∠BAC+∠ACD=180°
∵∠ACD=90°，
∴∠BAC=90°
∵DE⊥BC，
∴∠CED=90°
∴∠CED=∠BAC
在△ABC和△ECD中

∴△ABC≌△ECD
∴AB=CE
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
22．（1）证明见解析；（2）=80°
【分析】（1）利用已知条件和等腰三角形的性质证明，根据全等三角形的性质即可证明；
（2）根据三角形内角和定理得∠B=50°，所以∠C=50°，在△ABC中利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：（1）证明：∵点D为BC的中点，
∴BD=CD，
∵，，
∴∠DEB=∠DFC=90°
在△BDE和△CDF中，

∴，
∴．
（2）∵
∴∠B=180°-（∠BDE+∠BED）=50°，
∴∠C=50°，
在△ABC中，=180°-（∠B+∠C）=80°，
故=80°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质并灵活应用是解题的关键．
23．见解析
【分析】根据全等三角形的判定与性质即可求出答案．
【详解】解：，
，
在与中，
，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于基础题型．
24．（1）见详解；（2）10
【分析】（1）由“AAS”可证△DAF≌△BAF；
（2）由全等三角形的性质得AD=AB＝8，BF=DF，结合BE＝7，AB＝8，AE＝5，即可求解．
【详解】（1）证明：∵FD∥BC，
∴∠ADF＝∠C，
∵∠ABE＝∠C，
∴∠ADF＝∠ABF，
∵AF平分∠BAE，
∴∠DAF＝∠BAF，
又∵AF＝AF，
∴△ABF≌△ADF（AAS）；
（2）∵△ABF≌△ADF，
∴AD=AB＝8，BF=DF，
∵AE＝5，
∴DE=8-5=3，
∴EF+DF= EF+BF=BE=7，
∴△EFD的周长= EF+DF+DE=7+3=10．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握“AAS”证三角形全等，是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)4

【分析】（1）先证明∠ABC=∠DEF，再根据ASA即可证明．
（2）根据全等三角形的性质即可解答．
【详解】（1）证明：∵ABDE
∴∠ABC=∠DEF
在△ABC与△DEF中，

∴△ABC≌△DEF(ASA)
（2）解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，
∴BF+FC=EC+FC，
∴BF=EC，
∵BE=10m，BF=3m，
∴FC=10﹣3﹣3=4m．
故答案为：4．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的判定方法，属于基础题，中考常考题型．
26．(1)见解析
(2)BD=2

【分析】（1）先根据角的代换求得∠DAC=∠EBC，再由“ASA”可证△AEH≌△BEC；
（2）由全等三角形的性质可得AH＝BC，由等腰三角形的性质可得答案．
【详解】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠EBC+∠C=90°，
∴∠DAC=∠EBC，
在△AEH与△BEC中，
，
∴△AEH≌△BEC（ASA）；
（2）解：∵△AEH≌△BEC，
∴AH=BC=4，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BC=2BD，
∴AH=2BD=4，
∴BD=2．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键．
27．75°
【分析】利用边角边定理证明△DBE≌△CEF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．
【详解】解：如图,

∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△CEF中，

∴△DBE≌△CEF（SAS），
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B（180°﹣30°）＝75°，
∴∠1+∠2＝105°，
∴∠3+∠2＝105°，
∴∠DEF＝75°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
28．(1)证明见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）由题意知∠AMB＝∠CNA＝90°，证明即可；
（2）由，可知∠BAM＝∠ACN，根据∠CAN+∠ACN＝90°，可得∠CAN+∠BAM＝90°，进而结论得证．
【详解】（1）证明：∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，
∴∠AMB＝∠CNA＝90°，
在和中，
∵，
∴．
（2）证明：∵，
∴∠BAM＝∠ACN，
∵∠CAN+∠ACN＝90°，
∴∠CAN+∠BAM＝90°，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
29．(1)；(2)，理由见解析；(3)．
【分析】(1)如图1中，由定理可证，就有．进而由三角形的面积公式得出结论；
(2)如图2中，过点作的垂线，与的延长线交于点，由定理可证得，就有．进而由三角形的面积公式得出结论．
(3)如图3中，过点作与，过点作 交延长线于点，由等腰三角形的性质可以得出，由条件可以得出就可以得出，由三角形的面积公式就可以得出结论．
【详解】解：(1)∵在中，，
过点作且过点作的的边上的高，

∴
∴
∵
∴．
在与中，

∴，
∴
故答案为：
(2)理由：过点作延长线于点

∴
∵，
∵
∴．
在与中，

∴，
∴
(3)如图3中，∵
∴．
过点作与，过点作的延长线于点，

∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴
∴的面积为16．
故答案为：16
【点睛】本题考查了直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等是关键．
30．/80度
【分析】连接，，利用证明，则，根据角平分线的定义得到，再利用三角形外角性质得出，最后根据角平分线的定义即可得解．
【详解】解：连接，，

平分，
，
在和中，
，
，
，
平分，，
，
，
，
，
，
平分，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线，解题的关键是利用证明．
31．8
【分析】根据BD⊥m，CE⊥m，得∠BDA=∠CEA=90°，再结合已知AB=AC，BD=AE可推出Rt△ADB≌Rt△CEA，最后由全等三角形的性质，即可计算出结果．
【详解】解：∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
在Rt△ADB和Rt△CEA中，
∵AB=AC，BD=AE，
∴Rt△ADB≌Rt△CEA（HL），
∵BD=3，CE=5，
∴AE=BD=3，AD=CE=5，
∴DE= AD+ AE=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握利用HL判定直角三角形的全等是解题的关键．
32．2或4/4或2
【分析】据全等三角形的判定HL定理分AP=BC和AP=AC解答即可．
【详解】解：设点P的运动时间为t秒，
∵，，
∴当AP=BC=4cm，时，Rt△QPA≌Rt△ABC（HL），
∴t=4÷2=2秒；
当AP=AC=8cm，时，Rt△PQA≌Rt△ABC（HL），
∴t=8÷2=4秒，
综上，当点P的运动时间为2或4秒时，△ABC才能和△PQA全等．
故答案为：2或4．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握证明直角三角形全等的HL定理，利用分类讨论思想是解答的关键．
33．2或
【分析】根据题意，可以分两种情况讨论，第一种△CAP≌△PBQ，第二种△CAP≌△QBP，然后分别求出相应的a的值即可．
【详解】解：当△CAP≌△PBQ时，则AC=PB，AP=BQ，
∵AC=6，AB=16，
∴PB=6，AP=AB-PB=16-6=10，
∴BQ=10，
∴10÷a=10÷2，
解得a=2；
当△CAP≌△QBP时，则AC=BQ，AP=BP，．
∵AC=6，AB=16，
∴BQ=6，AP=BP=8，
∴6÷a=8÷2，
解得a=，
由上可得a的值是2或，
故答案为：2或
【点睛】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确有两种情况，利用数形结合的思想解答．
34．2或
【分析】设运动时间为t秒，点Q的运动速度是vcm/s，则BP=2t cm，CQ=vt cm，CP=（10-2t）cm，求出BE=6cm，根据全等三角形的判定得出当BE=CP，BP=CQ或BE=CQ，BP=CP时，△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等，再代入求出t、v即可．
【详解】设运动时间为t秒，点Q的运动速度是vcm/s，则BP=2t cm，CQ=vt cm，CP=（10-2t）cm，
∵E为AB的中点，AB=12cm，
∴BE=AE=6cm，
∵∠B=∠C，
∴要使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等，必须BE=CP，BP=CQ或BE=CQ，BP=CP，
当BE=CP，BP=CQ时，6=10-2t，2t=vt，
解得：t=2，v=2，即点Q的运动速度是2cm/s，
当BE=CQ，BP=CP时，6=vt，2t=10-2t，
解得：t=，v=，即点Q的运动速度是cm/s，
故答案为2或
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
35．①②④
【分析】根据补角的性质计算可得①；连接D，证明，根据三角形全等的性质判断可得后面的结果；
【详解】，
，
，
；
故①正确；
连接AD，

∵，，
∴，
又∵点为的中点，
∴，，，即，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
在△BED和△AFD中，
，
∴，
∴ED=FD；
故②正确；
∵，
∴，
则，
故④正确；
当点E移动到点A时，此时点F与点C重合，很明显此时EF=AC，FC=0，即；
故③错误；
故答案为①②④．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．