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人教A版（2019）必修第二册第8章立体几何初步重难点归纳总结(原卷版+解析)
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第8章 立体几何初步 重难点归纳总结考点一 体积【例1】（2023浙江丽水）已知一个圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积2倍，则圆锥的体积为（ ）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023·江西）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上､下底面圆的圆心，且，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（ ）A． B． C． D．2．（2022秋·吉林）如图是一个棱长为2的正方体被过棱、的中点、，顶点和过点顶点、的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的体积为（ ）A．5 B．6 C．7 D．83．（2023·河南信阳）已知圆台上下底面半径之比为1：2，母线与底面所成的角为60°，其侧面面积为，则该圆台的体积为（ ）A． B． C． D．4．（2023·浙江）（多选）圆柱的侧面展开图是长4cm，宽2cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是（ ）A． B．C． D．考点二 表面积【例2】（2023辽宁）已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，侧面均为腰长为的等腰梯形，则该四棱台的表面积为（ ）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023江苏无锡）为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”．如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与六棱柱的高的比值为1∶3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为（ ）A． B． C． D．2（2022上海徐汇）若圆台的高是4，母线长为5，侧面积是，则圆台的上、下底面的面积之和是______.考点三 直线、平面平行【例3】（2022山东聊城）由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形为平行四边形，O为与的交点．(1)求证：∥平面；(2)求证：平面∥平面；(3)设平面与底面的交线为l，求证：．【一隅三反】1．（2022青海海南）如图，四边形是矩形，平面，平面．(1)证明：平面平面．(2)若平面与平面的交线为，求证：2．（2022秋·贵州）正的边长为2，是边上的高，E，F分别是和的中点（如图甲）.现将沿翻成直二面角（如图乙）.在图乙中：(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离.3．（2022秋·上海）（1）叙述两个平面平行的判定定理，并证明;（2）如图，正方体中，分别为的中点，求证:平面平面.考点四 直线、平面垂直【例4】（2023浙江丽水）（多选）已知正方体是中点，则（ ）A．面 B．C． D．平面【一隅三反】1．（2023·海南）（多选）在长方体中，，，则下列线段与垂直的有（ ）A． B． C． D．2．（2022秋·河北唐山）（多选）如图，在长方体中，M，N分别为棱，的中点，则下列判断正确的是（ ）.A．直线与是异面直线 B．平面C．平面 D．3．（2022秋·青海海东）如图，已知四棱锥的底面ABCD是菱形，，点E为PC的中点．(1)求证：平面BDE；(2)求证：平面平面PAC．考点五 空间角【例5】（2022·浙江）（多选）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳌臑.”其中，阳马是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.如图，在阳马中底面是边长为1的正方形，，侧棱垂直于底面，则（ ）A．直线与所成的角为60°B．直线与所成的角为60°C．直线与平面所成的角为30°D．直线与平面所成的角为30°【一隅三反】1．（2022春·广西桂林·高二校考期中）如图，在四棱锥中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角的正弦值等于（ ）A． B． C． D．2．（2022上海黄浦）过正方形ABCD之顶点A作平面，若，则平面与平面所成的锐二面角的度数为________．3．（2022秋·四川达州）如图，在四棱锥中，面，，，点分别为的中点，，.(1)证明：直线平面；(2)求二面角的余弦值.考点六 空间距离【例6-1】（2022秋·重庆南岸·高二重庆市第十一中学校校考期末）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，是棱的中点.求点到平面的距离等于_______【一隅三反】1．（2022秋·上海黄浦）的三边长分别为3、4、5，为平面外一点，它到三边的距离都等于2，则到平面的距离是________．2．（2022秋·上海黄浦）若正四棱柱的底面边长为，与底面成角，则到底面的距离为__________.3．（2023重庆巫山）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面平面，，，PD的中点为F.(1)求证：平面；(2)求直线到面的距离.4．（2023浙江）已知正方体的棱长均为1.(1)求到平面的距离；(2)求平面与平面之间的距离. 第8章 立体几何初步 重难点归纳总结考点一 体积【例1】（2023浙江丽水）已知一个圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积2倍，则圆锥的体积为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设圆锥的母线为l，由题意得，解得，所以圆锥的高为，所以圆锥的体积为，故选：B【一隅三反】1．（2023·江西）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上､下底面圆的圆心，且，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】已知底面圆的半径，由，则，故该陀螺的体积.故选：D.2．（2022秋·吉林）如图是一个棱长为2的正方体被过棱、的中点、，顶点和过点顶点、的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的体积为（ ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】如图将正方体还原可得如下图形：则，，，所以该几何体的体积.故选：C3．（2023·河南信阳）已知圆台上下底面半径之比为1：2，母线与底面所成的角为60°，其侧面面积为，则该圆台的体积为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】圆台轴截面如图，则，∴.圆台高，∴.故选：D4．（2023·浙江）（多选）圆柱的侧面展开图是长4cm，宽2cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是（ ）A． B．C． D．【答案】BD【解析】侧面展开图是长4cm，宽2cm的矩形，若圆柱的底面周长为4cm，则底面半径，，此时圆柱的体积若圆柱的底面周长为2cm，则底面半径，，此时圆柱的体积故选：BD考点二 表面积【例2】（2023辽宁）已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，侧面均为腰长为的等腰梯形，则该四棱台的表面积为（ ）A． B．C． D．【答案】C【解析】设在正四棱台中，取侧面，则，，，如下图所示：分别过点、在侧面内作，，垂足分别为、，因为，，，所以，，，因为，，，故四边形为矩形，故，所以，，，因此，该四棱台的表面积为.故选：C.【一隅三反】1．（2023江苏无锡）为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”．如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与六棱柱的高的比值为1∶3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意设正六边形的边长为a，设六棱柱的高为3b，六棱锥的高为b，正六棱柱的侧面积，正六棱锥的母线长为∴正六棱锥的侧面积，∵正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，∴，∴∴，故选：B．2（2022上海徐汇）若圆台的高是4，母线长为5，侧面积是，则圆台的上、下底面的面积之和是______.【答案】【解析】设上下底的半径分别为，，则母线，高，构成一个直角三角形，母线为斜边5，高为直角边4，由勾股定理得，即，圆台的侧面积，所以，则，所以圆台的上、下底面的面积之和是.故答案为：.考点三 直线、平面平行【例3】（2022山东聊城）由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形为平行四边形，O为与的交点．(1)求证：∥平面；(2)求证：平面∥平面；(3)设平面与底面的交线为l，求证：．【答案】证明见解析【解析】（1）取的中点，连接，∵是四棱柱，∴，∴四边形为平行四边形，∴，又平面平面，∴平面．（2）∵，∴四边形是平行四边形，∴，∵平面平面，∴平面，由（1）得平面且，平面，∴平面平面．（3）由（2）得：平面，又平面，平面平面，∴．【一隅三反】1．（2022青海海南）如图，四边形是矩形，平面，平面．(1)证明：平面平面．(2)若平面与平面的交线为，求证：【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)证明：因为平面，平面，所以，又因为平面，平面，所以平面，在矩形中，，平面，平面，所以平面，又，所以平面平面；(2)证明：，平面，又，.2．（2022秋·贵州）正的边长为2，是边上的高，E，F分别是和的中点（如图甲）.现将沿翻成直二面角（如图乙）.在图乙中：(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）在△ABC中，因为E，F分别是AC，BC的中点，所以.又平面DEF，平面DEF，所以平面DEF.（2）在题图甲中，因为是正的高，所以，所以在题图乙中，，所以是二面角的平面角，又二面角是直二面角，所以，由于平面，所以平面.因为是的中点，所以三棱锥的高为.三角形的面积是，又是的中点，所以，所以.因为，所以.设点到平面的距离为，则，解得，所以点到平面的距离为.3．（2022秋·上海）（1）叙述两个平面平行的判定定理，并证明;（2）如图，正方体中，分别为的中点，求证:平面平面.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）面面平行的判定定理：如果一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，即，，，，，证明：假设，∵，，，∴，同理可得，，∴，与矛盾，所以不成立，所以.（2）取中点，连接，，，∵为正方体，，为，中点，∴，，，，∴四边形，为平行四边形，，，∵平面，平面，平面，平面，∴∥平面，∥平面，∵平面，平面，，∴平面∥平面.考点四 直线、平面垂直【例4】（2023浙江丽水）（多选）已知正方体是中点，则（ ）A．面 B．C． D．平面【答案】BC【解析】与平面相交于点，故选项A错误；,面面面,故选项B正确；连接,为等边三角形，为中点，,,则故选项C正确；由于,故不垂直于，不垂直于平面，故选项D错误.故选：BC.【一隅三反】1．（2023·海南）（多选）在长方体中，，，则下列线段与垂直的有（ ）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】如图所示，因为，所以侧面是正方形，所以，长方体中，平面，平面， ，平面，，故平面，平面， ，A选项正确；同理平面，平面，，B选项正确；，所以四边形为正方形，所以，D选项正确；易知，交于长方体的中心O，，在中，可得，故，所以不与垂直，C选项错误.故选：ABD2．（2022秋·河北唐山）（多选）如图，在长方体中，M，N分别为棱，的中点，则下列判断正确的是（ ）.A．直线与是异面直线 B．平面C．平面 D．【答案】AB【解析】由与平面相交于点，且不在直线上，平面，故与是异面直线，故A正确；根据题意知为长方体，故平面，故B正确；取的中点为Q，连接，且，故四边形为平行四边形，故，又与平面相交于点A，故与平面不平行，即与平面不平行，故C错误；因为，且与不垂直，所以与也不垂直，故D错误．故选：AB．3．（2022秋·青海海东）如图，已知四棱锥的底面ABCD是菱形，，点E为PC的中点．(1)求证：平面BDE；(2)求证：平面平面PAC．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）连接AC交BD于O点，连接EO，∵底面ABCD是菱形，O为AC的中点，∵点E为PC的中点，， ∵平面BDE，且平面BDE，∴平面BDE；（2）∵底面ABCD是菱形，∴， ∵，，平面PAC，平面PAC， ∴平面PAC， 又平面PBD，∴平面平面PAC．考点五 空间角【例5】（2022·浙江）（多选）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳌臑.”其中，阳马是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.如图，在阳马中底面是边长为1的正方形，，侧棱垂直于底面，则（ ）A．直线与所成的角为60°B．直线与所成的角为60°C．直线与平面所成的角为30°D．直线与平面所成的角为30°【答案】AD【解析】连接，由底面，所以，由，是边长为1的正方形，所以，，对A，由底面，所以，又，所以平面，由∥，所以直线与所成的角为直线与所成的角，，所以，故A正确；对B，由是边长为1的正方形，所以，由底面，所以，又，所以平面，所以，故B错误；对C，由底面，所以直线与平面所成的角为，由，所以，故C错误；对D，由底面，所以，又，，所以，直线与平面所成的角为，由，所以，所以，故D正确.故选：AD【一隅三反】1．（2022春·广西桂林·高二校考期中）如图，在四棱锥中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角的正弦值等于（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】连接BD交于，四边形ABCD为正方形，则为中点，∵G为△ABC的重心，则G在BD上，且，∴，∵PD⊥底面ABCD，∴为PG与底面ABCD所成的角，面ABCD，则，∴，∴.故选：C2．（2022上海黄浦）过正方形ABCD之顶点A作平面，若，则平面与平面所成的锐二面角的度数为________．【答案】【解析】根据已知条件可将四棱锥补成正方体如图所示：连接CE，则平面CDP和平面CPE为同一个平面，由题可知平面，平面，∴，，又平面和平面，平面，平面，∴为平面和平面所成的锐二面角的平面角，大小为.故答案为：.3．（2022秋·四川达州）如图，在四棱锥中，面，，，点分别为的中点，，.(1)证明：直线平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2).【解析】（1）证明：点分别为的中点，，，，平面，平面，平面.（2）解：，，连接，由得，，，所以，，底面，底面，，是平面内两相交直线，平面，平面，二面角得平面角为，，，，所以二面角的余弦值为，即二面角的余弦值为.考点六 空间距离【例6-1】（2022秋·重庆南岸·高二重庆市第十一中学校校考期末）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，是棱的中点.求点到平面的距离等于_______【答案】【解析】因为是直三棱柱，所以平面，而平面，所以，因为是棱的中点，所以，由勾股定理可得：，，因为是等边三角形，是棱的中点.，所以，所以，因为，所以，因此，因为平面，平面，所以平面平面，因为平面平面，，平面，所以平面，设点到平面的距离为，由，故答案为：【一隅三反】1．（2022秋·上海黄浦）的三边长分别为3、4、5，为平面外一点，它到三边的距离都等于2，则到平面的距离是________．【答案】【解析】如图，，则为直角三角形，作平面于，于，于，于，连接，由题可知，故，由平面，平面，所以，又，平面，平面，平面，平面，，同理，故O是的内切圆圆心，设其半径为，则，所以，所以.故答案为：.2．（2022秋·上海黄浦）若正四棱柱的底面边长为，与底面成角，则到底面的距离为__________.【答案】【解析】∵正四棱柱，∴平面平面，平面，平面,到底面的距离为正四棱柱的高∵正四棱柱的底面边长为，与底面成角，故答案为:．3．（2023重庆巫山）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面平面，，，PD的中点为F.(1)求证：平面；(2)求直线到面的距离.【答案】(1)证明见解析(2).【解析】（1）连接BD交AC于O，连接FO，∵F为AD的中点，O为BD的中点，则，∵平面ACF，平面ACF，∴平面ACF.（2）因为平面平面ABCD，平面平面，，平面，所以平面ABCD.由于平面ACF，则PB到平面ACF的距离，即P到平面ACF的距离.又因为F为PD的中点，点P到平面ACF的距离与点D到平面ACF的距离相等.取AD的中点E，连接EF，CE， 则，因为平面ABCD，所以平面ABCD，因为平面，所以，因为菱形且，，所以，，则，，，，设点D到平面ACF的距离为，由得即直线PB到平面ACF的距离为.4．（2023浙江）已知正方体的棱长均为1.(1)求到平面的距离；(2)求平面与平面之间的距离.【答案】(1)；(2).【解析】（1）如图： 设到平面的距离为，正方体的棱长均为1，且面.,. .（2） 平面,平面.故平面平面.到平面的距离等于平面与平面之间的距离，设为. 即..
第8章 立体几何初步 重难点归纳总结考点一 体积【例1】（2023浙江丽水）已知一个圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积2倍，则圆锥的体积为（ ）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023·江西）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上､下底面圆的圆心，且，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（ ）A． B． C． D．2．（2022秋·吉林）如图是一个棱长为2的正方体被过棱、的中点、，顶点和过点顶点、的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的体积为（ ）A．5 B．6 C．7 D．83．（2023·河南信阳）已知圆台上下底面半径之比为1：2，母线与底面所成的角为60°，其侧面面积为，则该圆台的体积为（ ）A． B． C． D．4．（2023·浙江）（多选）圆柱的侧面展开图是长4cm，宽2cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是（ ）A． B．C． D．考点二 表面积【例2】（2023辽宁）已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，侧面均为腰长为的等腰梯形，则该四棱台的表面积为（ ）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023江苏无锡）为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”．如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与六棱柱的高的比值为1∶3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为（ ）A． B． C． D．2（2022上海徐汇）若圆台的高是4，母线长为5，侧面积是，则圆台的上、下底面的面积之和是______.考点三 直线、平面平行【例3】（2022山东聊城）由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形为平行四边形，O为与的交点．(1)求证：∥平面；(2)求证：平面∥平面；(3)设平面与底面的交线为l，求证：．【一隅三反】1．（2022青海海南）如图，四边形是矩形，平面，平面．(1)证明：平面平面．(2)若平面与平面的交线为，求证：2．（2022秋·贵州）正的边长为2，是边上的高，E，F分别是和的中点（如图甲）.现将沿翻成直二面角（如图乙）.在图乙中：(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离.3．（2022秋·上海）（1）叙述两个平面平行的判定定理，并证明;（2）如图，正方体中，分别为的中点，求证:平面平面.考点四 直线、平面垂直【例4】（2023浙江丽水）（多选）已知正方体是中点，则（ ）A．面 B．C． D．平面【一隅三反】1．（2023·海南）（多选）在长方体中，，，则下列线段与垂直的有（ ）A． B． C． D．2．（2022秋·河北唐山）（多选）如图，在长方体中，M，N分别为棱，的中点，则下列判断正确的是（ ）.A．直线与是异面直线 B．平面C．平面 D．3．（2022秋·青海海东）如图，已知四棱锥的底面ABCD是菱形，，点E为PC的中点．(1)求证：平面BDE；(2)求证：平面平面PAC．考点五 空间角【例5】（2022·浙江）（多选）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳌臑.”其中，阳马是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.如图，在阳马中底面是边长为1的正方形，，侧棱垂直于底面，则（ ）A．直线与所成的角为60°B．直线与所成的角为60°C．直线与平面所成的角为30°D．直线与平面所成的角为30°【一隅三反】1．（2022春·广西桂林·高二校考期中）如图，在四棱锥中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角的正弦值等于（ ）A． B． C． D．2．（2022上海黄浦）过正方形ABCD之顶点A作平面，若，则平面与平面所成的锐二面角的度数为________．3．（2022秋·四川达州）如图，在四棱锥中，面，，，点分别为的中点，，.(1)证明：直线平面；(2)求二面角的余弦值.考点六 空间距离【例6-1】（2022秋·重庆南岸·高二重庆市第十一中学校校考期末）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，是棱的中点.求点到平面的距离等于_______【一隅三反】1．（2022秋·上海黄浦）的三边长分别为3、4、5，为平面外一点，它到三边的距离都等于2，则到平面的距离是________．2．（2022秋·上海黄浦）若正四棱柱的底面边长为，与底面成角，则到底面的距离为__________.3．（2023重庆巫山）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面平面，，，PD的中点为F.(1)求证：平面；(2)求直线到面的距离.4．（2023浙江）已知正方体的棱长均为1.(1)求到平面的距离；(2)求平面与平面之间的距离. 第8章 立体几何初步 重难点归纳总结考点一 体积【例1】（2023浙江丽水）已知一个圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积2倍，则圆锥的体积为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设圆锥的母线为l，由题意得，解得，所以圆锥的高为，所以圆锥的体积为，故选：B【一隅三反】1．（2023·江西）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上､下底面圆的圆心，且，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】已知底面圆的半径，由，则，故该陀螺的体积.故选：D.2．（2022秋·吉林）如图是一个棱长为2的正方体被过棱、的中点、，顶点和过点顶点、的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的体积为（ ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】如图将正方体还原可得如下图形：则，，，所以该几何体的体积.故选：C3．（2023·河南信阳）已知圆台上下底面半径之比为1：2，母线与底面所成的角为60°，其侧面面积为，则该圆台的体积为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】圆台轴截面如图，则，∴.圆台高，∴.故选：D4．（2023·浙江）（多选）圆柱的侧面展开图是长4cm，宽2cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是（ ）A． B．C． D．【答案】BD【解析】侧面展开图是长4cm，宽2cm的矩形，若圆柱的底面周长为4cm，则底面半径，，此时圆柱的体积若圆柱的底面周长为2cm，则底面半径，，此时圆柱的体积故选：BD考点二 表面积【例2】（2023辽宁）已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，侧面均为腰长为的等腰梯形，则该四棱台的表面积为（ ）A． B．C． D．【答案】C【解析】设在正四棱台中，取侧面，则，，，如下图所示：分别过点、在侧面内作，，垂足分别为、，因为，，，所以，，，因为，，，故四边形为矩形，故，所以，，，因此，该四棱台的表面积为.故选：C.【一隅三反】1．（2023江苏无锡）为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”．如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与六棱柱的高的比值为1∶3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意设正六边形的边长为a，设六棱柱的高为3b，六棱锥的高为b，正六棱柱的侧面积，正六棱锥的母线长为∴正六棱锥的侧面积，∵正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，∴，∴∴，故选：B．2（2022上海徐汇）若圆台的高是4，母线长为5，侧面积是，则圆台的上、下底面的面积之和是______.【答案】【解析】设上下底的半径分别为，，则母线，高，构成一个直角三角形，母线为斜边5，高为直角边4，由勾股定理得，即，圆台的侧面积，所以，则，所以圆台的上、下底面的面积之和是.故答案为：.考点三 直线、平面平行【例3】（2022山东聊城）由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形为平行四边形，O为与的交点．(1)求证：∥平面；(2)求证：平面∥平面；(3)设平面与底面的交线为l，求证：．【答案】证明见解析【解析】（1）取的中点，连接，∵是四棱柱，∴，∴四边形为平行四边形，∴，又平面平面，∴平面．（2）∵，∴四边形是平行四边形，∴，∵平面平面，∴平面，由（1）得平面且，平面，∴平面平面．（3）由（2）得：平面，又平面，平面平面，∴．【一隅三反】1．（2022青海海南）如图，四边形是矩形，平面，平面．(1)证明：平面平面．(2)若平面与平面的交线为，求证：【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)证明：因为平面，平面，所以，又因为平面，平面，所以平面，在矩形中，，平面，平面，所以平面，又，所以平面平面；(2)证明：，平面，又，.2．（2022秋·贵州）正的边长为2，是边上的高，E，F分别是和的中点（如图甲）.现将沿翻成直二面角（如图乙）.在图乙中：(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）在△ABC中，因为E，F分别是AC，BC的中点，所以.又平面DEF，平面DEF，所以平面DEF.（2）在题图甲中，因为是正的高，所以，所以在题图乙中，，所以是二面角的平面角，又二面角是直二面角，所以，由于平面，所以平面.因为是的中点，所以三棱锥的高为.三角形的面积是，又是的中点，所以，所以.因为，所以.设点到平面的距离为，则，解得，所以点到平面的距离为.3．（2022秋·上海）（1）叙述两个平面平行的判定定理，并证明;（2）如图，正方体中，分别为的中点，求证:平面平面.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）面面平行的判定定理：如果一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，即，，，，，证明：假设，∵，，，∴，同理可得，，∴，与矛盾，所以不成立，所以.（2）取中点，连接，，，∵为正方体，，为，中点，∴，，，，∴四边形，为平行四边形，，，∵平面，平面，平面，平面，∴∥平面，∥平面，∵平面，平面，，∴平面∥平面.考点四 直线、平面垂直【例4】（2023浙江丽水）（多选）已知正方体是中点，则（ ）A．面 B．C． D．平面【答案】BC【解析】与平面相交于点，故选项A错误；,面面面,故选项B正确；连接,为等边三角形，为中点，,,则故选项C正确；由于,故不垂直于，不垂直于平面，故选项D错误.故选：BC.【一隅三反】1．（2023·海南）（多选）在长方体中，，，则下列线段与垂直的有（ ）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】如图所示，因为，所以侧面是正方形，所以，长方体中，平面，平面， ，平面，，故平面，平面， ，A选项正确；同理平面，平面，，B选项正确；，所以四边形为正方形，所以，D选项正确；易知，交于长方体的中心O，，在中，可得，故，所以不与垂直，C选项错误.故选：ABD2．（2022秋·河北唐山）（多选）如图，在长方体中，M，N分别为棱，的中点，则下列判断正确的是（ ）.A．直线与是异面直线 B．平面C．平面 D．【答案】AB【解析】由与平面相交于点，且不在直线上，平面，故与是异面直线，故A正确；根据题意知为长方体，故平面，故B正确；取的中点为Q，连接，且，故四边形为平行四边形，故，又与平面相交于点A，故与平面不平行，即与平面不平行，故C错误；因为，且与不垂直，所以与也不垂直，故D错误．故选：AB．3．（2022秋·青海海东）如图，已知四棱锥的底面ABCD是菱形，，点E为PC的中点．(1)求证：平面BDE；(2)求证：平面平面PAC．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）连接AC交BD于O点，连接EO，∵底面ABCD是菱形，O为AC的中点，∵点E为PC的中点，， ∵平面BDE，且平面BDE，∴平面BDE；（2）∵底面ABCD是菱形，∴， ∵，，平面PAC，平面PAC， ∴平面PAC， 又平面PBD，∴平面平面PAC．考点五 空间角【例5】（2022·浙江）（多选）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳌臑.”其中，阳马是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.如图，在阳马中底面是边长为1的正方形，，侧棱垂直于底面，则（ ）A．直线与所成的角为60°B．直线与所成的角为60°C．直线与平面所成的角为30°D．直线与平面所成的角为30°【答案】AD【解析】连接，由底面，所以，由，是边长为1的正方形，所以，，对A，由底面，所以，又，所以平面，由∥，所以直线与所成的角为直线与所成的角，，所以，故A正确；对B，由是边长为1的正方形，所以，由底面，所以，又，所以平面，所以，故B错误；对C，由底面，所以直线与平面所成的角为，由，所以，故C错误；对D，由底面，所以，又，，所以，直线与平面所成的角为，由，所以，所以，故D正确.故选：AD【一隅三反】1．（2022春·广西桂林·高二校考期中）如图，在四棱锥中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角的正弦值等于（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】连接BD交于，四边形ABCD为正方形，则为中点，∵G为△ABC的重心，则G在BD上，且，∴，∵PD⊥底面ABCD，∴为PG与底面ABCD所成的角，面ABCD，则，∴，∴.故选：C2．（2022上海黄浦）过正方形ABCD之顶点A作平面，若，则平面与平面所成的锐二面角的度数为________．【答案】【解析】根据已知条件可将四棱锥补成正方体如图所示：连接CE，则平面CDP和平面CPE为同一个平面，由题可知平面，平面，∴，，又平面和平面，平面，平面，∴为平面和平面所成的锐二面角的平面角，大小为.故答案为：.3．（2022秋·四川达州）如图，在四棱锥中，面，，，点分别为的中点，，.(1)证明：直线平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2).【解析】（1）证明：点分别为的中点，，，，平面，平面，平面.（2）解：，，连接，由得，，，所以，，底面，底面，，是平面内两相交直线，平面，平面，二面角得平面角为，，，，所以二面角的余弦值为，即二面角的余弦值为.考点六 空间距离【例6-1】（2022秋·重庆南岸·高二重庆市第十一中学校校考期末）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，是棱的中点.求点到平面的距离等于_______【答案】【解析】因为是直三棱柱，所以平面，而平面，所以，因为是棱的中点，所以，由勾股定理可得：，，因为是等边三角形，是棱的中点.，所以，所以，因为，所以，因此，因为平面，平面，所以平面平面，因为平面平面，，平面，所以平面，设点到平面的距离为，由，故答案为：【一隅三反】1．（2022秋·上海黄浦）的三边长分别为3、4、5，为平面外一点，它到三边的距离都等于2，则到平面的距离是________．【答案】【解析】如图，，则为直角三角形，作平面于，于，于，于，连接，由题可知，故，由平面，平面，所以，又，平面，平面，平面，平面，，同理，故O是的内切圆圆心，设其半径为，则，所以，所以.故答案为：.2．（2022秋·上海黄浦）若正四棱柱的底面边长为，与底面成角，则到底面的距离为__________.【答案】【解析】∵正四棱柱，∴平面平面，平面，平面,到底面的距离为正四棱柱的高∵正四棱柱的底面边长为，与底面成角，故答案为:．3．（2023重庆巫山）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面平面，，，PD的中点为F.(1)求证：平面；(2)求直线到面的距离.【答案】(1)证明见解析(2).【解析】（1）连接BD交AC于O，连接FO，∵F为AD的中点，O为BD的中点，则，∵平面ACF，平面ACF，∴平面ACF.（2）因为平面平面ABCD，平面平面，，平面，所以平面ABCD.由于平面ACF，则PB到平面ACF的距离，即P到平面ACF的距离.又因为F为PD的中点，点P到平面ACF的距离与点D到平面ACF的距离相等.取AD的中点E，连接EF，CE， 则，因为平面ABCD，所以平面ABCD，因为平面，所以，因为菱形且，，所以，，则，，，，设点D到平面ACF的距离为，由得即直线PB到平面ACF的距离为.4．（2023浙江）已知正方体的棱长均为1.(1)求到平面的距离；(2)求平面与平面之间的距离.【答案】(1)；(2).【解析】（1）如图： 设到平面的距离为，正方体的棱长均为1，且面.,. .（2） 平面,平面.故平面平面.到平面的距离等于平面与平面之间的距离，设为. 即..
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