高中6.4 平面向量的应用第2课时精练

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1．在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2eq \r(2)，则c等于( )
A．1 B．2 C.eq \r(2) D.eq \r(3)
2．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若A＝60°，a＝eq \r(3)，则△ABC外接圆的半径等于( )
A．2 B.eq \r(3) C.eq \f(\r(3),2) D．1
4．在△ABC中，已知AB＝eq \r(2)AC，B＝30°，则C等于( )
A．45° B．15°
C．45°或135° D．15°或105°
5．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cs B等于( )
A．－eq \f(2\r(2),3) B.eq \f(2\r(2),3) C．－eq \f(\r(6),3) D.eq \f(\r(6),3)
6．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.则下列各组条件中使得△ABC有唯一解的是( )
A．a＝3，b＝4，A＝eq \f(π,6) B．a＝3，b＝4，cs B＝eq \f(3,5)
C．a＝3，b＝4，C＝eq \f(π,6) D．a＝3，b＝4，B＝eq \f(π,6)
7．在△ABC中，若a＝eq \r(3)，b＝eq \r(2)，B＝eq \f(π,4)，则A＝________.
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cs A＝eq \f(4,5)，cs C＝eq \f(5,13)，a＝1，则sin B＝________，b＝________.
9．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B的值．
10．在△ABC中，已知b＝6eq \r(3)，c＝6，C＝30°，求a的值．
11．在△ABC中，若eq \f(sin A,a)＝eq \f(cs C,c)，则C的值为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
12．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(eq \r(3)＋1)∶2，则最大角为( )
A．45° B．60° C．75° D．90°
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c等于( )
A．3∶4∶5 B．5∶4∶3
C．2∶eq \r(3)∶1 D．1∶eq \r(3)∶2
14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足B＝60°，c＝2的三角形有两解，则b的取值范围为________．
15．锐角三角形的内角分别是A，B，C，并且A>B.则下列三个不等式中成立的是________．(填序号)
①sin A>sin B；
②cs A③sin A＋sin B>cs A＋cs B.
16．在△ABC中，a＝eq \r(3)，A＝eq \f(π,3)，试求△ABC的周长的取值范围．
第2课时 正弦定理(一)
1.B 2.B 3.D 4.C 5.D 6.BCD 7.eq \f(π,3)或eq \f(2π,3) 8.eq \f(63,65) eq \f(21,13)
9.解 ∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，
∴a＝eq \f(csin A,sin C)＝eq \f(10sin 45°,sin 30°)＝10eq \r(2).
B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.
又∵eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，
∴b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(10sin 105°,sin 30°)＝20sin 75°
＝20×eq \f(\r(6)＋\r(2),4)＝5(eq \r(6)＋eq \r(2)).
10.解 由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，
得sin B＝eq \f(bsin C,c)＝eq \f(\r(3),2).
因为b>c，所以B>C＝30°，
所以B＝60°或120°.
当B＝60°时，A＝90°，
a＝eq \f(csin A,sin C)＝eq \f(6sin 90°,sin 30°)＝12.
当B＝120°时，A＝30°，
a＝eq \f(csin A,sin C)＝eq \f(6sin 30°,sin 30°)＝6.
所以a＝6或12.
11.B 12.C
13.D [在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C＝180°，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°，所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶eq \r(3)∶2.]
14.(eq \r(3)，2)
解析 在△ABC中，B＝60°，c＝2，由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，得c＝eq \f(bsin C,sin B).若此三角形有两解，则必须满足的条件为c>b>csin B，
即eq \r(3)15.①②③
解析 A>B⇔a>b⇔sin A>sin B，故①成立.
函数y＝cs x在区间[0，π]上单调递减，
∵A>B，∴cs A在锐角三角形中，∵A＋B>eq \f(π,2)，
∴0又函数y＝sin x在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增，
则sin A>sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－B))，
即sin A>cs B，
同理sin B>cs A，故③成立.
16.解 由正弦定理，
得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，
即eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(\r(3),\f(\r(3),2))＝2，
∴b＝2sin B，c＝2sin C，
∴△ABC的周长为L＝a＋b＋c
＝eq \r(3)＋2sin B＋2sin C
＝eq \r(3)＋2sin B＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－B))
＝eq \r(3)＋3sin B＋eq \r(3)cs B
＝eq \r(3)＋2eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,6)))，
又B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))，
∴B＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,6)))∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，
∴L∈(2eq \r(3)，3eq \r(3)].
即△ABC的周长的取值范围为(2eq \r(3)，3eq \r(3)].