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人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算课堂检测
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这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算课堂检测，共17页。
A．B．C．D．
2．（2022·湖北）在矩形中，，则向量的长度等于（ ）
A．4B．C．3D．2
3．（2022·江苏·滨海县五汛中学高一阶段练习），，向量与向量的夹角为，则向量在向量方向上的投影等于（ ）
A．B．C．1D．
4．（2022·北京）已知向量是与向量方向相同的单位向量，且，若在方向上的投影向量为，则（ ）
A．B．C．4D．-4
5．（2022·吉林·长春市实验中学高一阶段练习）已知两个非零向量，不共线，若，则实数等于（ ）
A．2B．C．D．
6．（2021·陕西西安·高一期末）设非零向量满足，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·吉林·长春市实验中学高一阶段练习）已知向量 是单位向量， 且，则向量与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·北京）已知向量是与向量方向相同的单位向量，且，若在方向上的投影向量为，则（ ）
A．B．C．4D．-4
9．（2022·湖北）已知向量与不共线，且与共线，则___________．
10．（2021·山东）已知是边长为的等边三角形，则________．
11．（2022·河南）已知向量，满足，，，则_________.
12.（2022·全国·高一课时练习）已知.其中与不共线且B，C，D三点共线，求的值 .
13．（2022·黑龙江·哈九中高一期中）已知向量，，与的夹角为.
(1)求及；(2)求．
14．（2022·浙江·宁波咸祥中学高一期末）已知向量，若，
(1)求与的夹角θ；
(2)求；
(3)当λ为何值时，向量与向量互相垂直？
15．（2022·湖南·高一课时练习）在中，已知，，求作：
(1)；(2)；(3)．
16．（2022·重庆）已知向量满足：，，．
(1)若，求在方向上的投影向量；
(2)求的最小值．
1．（2022·重庆）若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．（2022·全国·高一课时练习）（多选）向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，，则（ ）
A．B．与的夹角为
C．D．在上的投影向量为
3．（2022·全国·高一课时练习）设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（ ）
A．2B．C．D．
4．（2022·北京·临川学校高一期中）已知为正三角形的中心，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·高一课时练习）已知是正三角形，则下列等式中不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·福建省福州格致中学高一期末）己知为的外接圆圆心，若，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·安徽省淮南第五中学高一阶段练习）（多选）在△ABC中，下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．若，则是等腰三角形
D．若则是锐角三角形
8．（2021·上海·曹杨二中高一阶段练习）已知向量，对任意的，恒有，则（ ）
A．B．
C．D．
9．（2022·浙江·高一期中）已知是的外心，且满足，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校高一期末）（多选）下列说法中错误的是（ ）
A．单位向量都相等
B．向量与是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上
C．两个非零向量，若，则与共线且反向
D．已知向量，若与的夹角为锐角，则
6.2 平面向量的运算（精练）
1．（2022·全国·高一课时练习）（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由向量的运算法则，可得．
故选：A.
2．（2022·湖北）在矩形中，，则向量的长度等于（ ）
A．4B．C．3D．2
【答案】A
【解析】在矩形中，由可得,又因为,故，故，故选:A
3．（2022·江苏·滨海县五汛中学高一阶段练习），，向量与向量的夹角为，则向量在向量方向上的投影等于（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【解析】向量在向量方向上的投影等于.故选：C.
4．（2022·北京）已知向量是与向量方向相同的单位向量，且，若在方向上的投影向量为，则（ ）
A．B．C．4D．-4
【答案】C
【解析】.故选：C
5．（2022·吉林·长春市实验中学高一阶段练习）已知两个非零向量，不共线，若，则实数等于（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以存在实数，使得，即，解得.
故选：C
6．（2021·陕西西安·高一期末）设非零向量满足，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由得，代入得，
又故夹角为．故选：C
7．（2022·吉林·长春市实验中学高一阶段练习）已知向量 是单位向量， 且，则向量与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设向量 的夹角为，，因为为单位向量，，
因为，所以，所以.
因为，所以.故选：B
8．（2022·北京）已知向量是与向量方向相同的单位向量，且，若在方向上的投影向量为，则（ ）
A．B．C．4D．-4
【答案】C
【解析】.故选：C
9．（2022·湖北）已知向量与不共线，且与共线，则___________．
【答案】
【解析】因为与共线，所以存在唯一实数，使，即，
因为向量与不共线，所以，解得，故答案为：
10．（2021·山东）已知是边长为的等边三角形，则________．
【答案】
【解析】.
故答案为：
11．（2022·河南）已知向量，满足，，，则_________.
【答案】
【解析】由可得，，即，解得：，所以．故答案为：．
12.（2022·全国·高一课时练习）已知.其中与不共线且B，C，D三点共线，求的值 .
【答案】.
【解析】由B，C，D三点共线，得，
又，
所以，
，
所以，即，
所以，解得.
13．（2022·黑龙江·哈九中高一期中）已知向量，，与的夹角为.
(1)求及；(2)求．
【答案】(1)，(2)
【解析】（1），
（2）
14．（2022·浙江·宁波咸祥中学高一期末）已知向量，若，
(1)求与的夹角θ；
(2)求；
(3)当λ为何值时，向量与向量互相垂直？
【答案】(1)(2)(3)
【解析】（1）解：因为，，所以，又因，所以；
（2）解：；
（3）解：当向量与向量互相垂直时，，
即，即，解得.
15．（2022·湖南·高一课时练习）在中，已知，，求作：
(1)；(2)；(3)．
【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析.
【解析】(1)解：如图，在线段AB的延长线上取，则；
(2)解：如图，在线段AB的延长线上取，则，在线段AC的延长线上取，则，所以.
(3)解：如图，在线段AB的延长线上取，则，在线段AC的延长线上取，则，所以.
16．（2022·重庆）已知向量满足：，，．
(1)若，求在方向上的投影向量；
(2)求的最小值．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由数量积的定义可知：，所以在方向上的投影向量为：
；
（2）
又，，所以
令所以所以当时，取到最小值为
1．（2022·重庆）若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】C
【解析】由已知，，
所以，
，
设向量与的夹角为，
则
故选：C
2．（2022·全国·高一课时练习）（多选）向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，，则（ ）
A．B．与的夹角为
C．D．在上的投影向量为
【答案】BC
【解析】，,
,解得,故A错误
,，
由于，与的夹角为，故B正确,
,故C正确
在上的投影向量为，故D错误,
故选：BC
3．（2022·全国·高一课时练习）设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解析】因为在方向上的投影向量为，所以，所以，
因为与垂直，所以，即，解得.故选：B.
4．（2022·北京·临川学校高一期中）已知为正三角形的中心，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】取中点，连接，因为为正三角形的中心，故，则向量在向量上的投影向量为
故选：C
5．（2022·全国·高一课时练习）已知是正三角形，则下列等式中不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】对于A，因为，,
所以，故正确；
对于B，因为,(为中点)，故错误；
对于C，因为(为中点),
(为中点),
所以，故正确；
对于D，因为，，
所以，故正确.
故选：B.
6．（2022·福建省福州格致中学高一期末）己知为的外接圆圆心，若，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意三角形的外接圆圆心为，，即，
所以是的中点，即是圆的直径，且，
又，，所以，所以，
∴，所以在上的投影向量为.故选：A.
7．（2022·安徽省淮南第五中学高一阶段练习）（多选）在△ABC中，下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．若，则是等腰三角形
D．若则是锐角三角形
【答案】ABD
【解析】由向量减法法则可得，故A项错误；
，故B项错误；
设中点为，，则，因为,所以由三线合一得，所以是等腰三角形， 故C项正确；
可以得到是锐角，不能得到是锐角三角形，故D项错误；
故选：ABD.
8．（2021·上海·曹杨二中高一阶段练习）已知向量，对任意的，恒有，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由可得，
又，令则上式等价于，对任意的恒成立，
故，解得，解得，即；
对A：由，故不成立，A错误；
对B：，不确定其结果，故不一定成立，B错误；
对C：，故，C正确；
对D： ，不确定其结果，故不一定成立，D错误.故选：C.
9．（2022·浙江·高一期中）已知是的外心，且满足，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设的中点为，则，所以，
所以外心与中点重合，故为直角三角形.
设，则，，
，设为方向上的单位向量，则
在上的投影向量为.故选：C.
10．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校高一期末）（多选）下列说法中错误的是（ ）
A．单位向量都相等
B．向量与是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上
C．两个非零向量，若，则与共线且反向
D．已知向量，若与的夹角为锐角，则
【答案】ABD
【解析】对于A选项，单位向量方向不同，则不相等，故A错误；
对于B选项，向量与是共线向量，也可能是，故B错误；
对于C选项，两个非零向量，若，则与共线且反向，故C正确；
对于D选项，向量，若与的夹角为锐角，则且与不共线，故，解得且，故D错误；故选：ABD
A．B．C．D．
2．（2022·湖北）在矩形中，，则向量的长度等于（ ）
A．4B．C．3D．2
3．（2022·江苏·滨海县五汛中学高一阶段练习），，向量与向量的夹角为，则向量在向量方向上的投影等于（ ）
A．B．C．1D．
4．（2022·北京）已知向量是与向量方向相同的单位向量，且，若在方向上的投影向量为，则（ ）
A．B．C．4D．-4
5．（2022·吉林·长春市实验中学高一阶段练习）已知两个非零向量，不共线，若，则实数等于（ ）
A．2B．C．D．
6．（2021·陕西西安·高一期末）设非零向量满足，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·吉林·长春市实验中学高一阶段练习）已知向量 是单位向量， 且，则向量与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·北京）已知向量是与向量方向相同的单位向量，且，若在方向上的投影向量为，则（ ）
A．B．C．4D．-4
9．（2022·湖北）已知向量与不共线，且与共线，则___________．
10．（2021·山东）已知是边长为的等边三角形，则________．
11．（2022·河南）已知向量，满足，，，则_________.
12.（2022·全国·高一课时练习）已知.其中与不共线且B，C，D三点共线，求的值 .
13．（2022·黑龙江·哈九中高一期中）已知向量，，与的夹角为.
(1)求及；(2)求．
14．（2022·浙江·宁波咸祥中学高一期末）已知向量，若，
(1)求与的夹角θ；
(2)求；
(3)当λ为何值时，向量与向量互相垂直？
15．（2022·湖南·高一课时练习）在中，已知，，求作：
(1)；(2)；(3)．
16．（2022·重庆）已知向量满足：，，．
(1)若，求在方向上的投影向量；
(2)求的最小值．
1．（2022·重庆）若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．（2022·全国·高一课时练习）（多选）向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，，则（ ）
A．B．与的夹角为
C．D．在上的投影向量为
3．（2022·全国·高一课时练习）设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（ ）
A．2B．C．D．
4．（2022·北京·临川学校高一期中）已知为正三角形的中心，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·高一课时练习）已知是正三角形，则下列等式中不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·福建省福州格致中学高一期末）己知为的外接圆圆心，若，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·安徽省淮南第五中学高一阶段练习）（多选）在△ABC中，下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．若，则是等腰三角形
D．若则是锐角三角形
8．（2021·上海·曹杨二中高一阶段练习）已知向量，对任意的，恒有，则（ ）
A．B．
C．D．
9．（2022·浙江·高一期中）已知是的外心，且满足，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校高一期末）（多选）下列说法中错误的是（ ）
A．单位向量都相等
B．向量与是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上
C．两个非零向量，若，则与共线且反向
D．已知向量，若与的夹角为锐角，则
6.2 平面向量的运算（精练）
1．（2022·全国·高一课时练习）（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由向量的运算法则，可得．
故选：A.
2．（2022·湖北）在矩形中，，则向量的长度等于（ ）
A．4B．C．3D．2
【答案】A
【解析】在矩形中，由可得,又因为,故，故，故选:A
3．（2022·江苏·滨海县五汛中学高一阶段练习），，向量与向量的夹角为，则向量在向量方向上的投影等于（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【解析】向量在向量方向上的投影等于.故选：C.
4．（2022·北京）已知向量是与向量方向相同的单位向量，且，若在方向上的投影向量为，则（ ）
A．B．C．4D．-4
【答案】C
【解析】.故选：C
5．（2022·吉林·长春市实验中学高一阶段练习）已知两个非零向量，不共线，若，则实数等于（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以存在实数，使得，即，解得.
故选：C
6．（2021·陕西西安·高一期末）设非零向量满足，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由得，代入得，
又故夹角为．故选：C
7．（2022·吉林·长春市实验中学高一阶段练习）已知向量 是单位向量， 且，则向量与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设向量 的夹角为，，因为为单位向量，，
因为，所以，所以.
因为，所以.故选：B
8．（2022·北京）已知向量是与向量方向相同的单位向量，且，若在方向上的投影向量为，则（ ）
A．B．C．4D．-4
【答案】C
【解析】.故选：C
9．（2022·湖北）已知向量与不共线，且与共线，则___________．
【答案】
【解析】因为与共线，所以存在唯一实数，使，即，
因为向量与不共线，所以，解得，故答案为：
10．（2021·山东）已知是边长为的等边三角形，则________．
【答案】
【解析】.
故答案为：
11．（2022·河南）已知向量，满足，，，则_________.
【答案】
【解析】由可得，，即，解得：，所以．故答案为：．
12.（2022·全国·高一课时练习）已知.其中与不共线且B，C，D三点共线，求的值 .
【答案】.
【解析】由B，C，D三点共线，得，
又，
所以，
，
所以，即，
所以，解得.
13．（2022·黑龙江·哈九中高一期中）已知向量，，与的夹角为.
(1)求及；(2)求．
【答案】(1)，(2)
【解析】（1），
（2）
14．（2022·浙江·宁波咸祥中学高一期末）已知向量，若，
(1)求与的夹角θ；
(2)求；
(3)当λ为何值时，向量与向量互相垂直？
【答案】(1)(2)(3)
【解析】（1）解：因为，，所以，又因，所以；
（2）解：；
（3）解：当向量与向量互相垂直时，，
即，即，解得.
15．（2022·湖南·高一课时练习）在中，已知，，求作：
(1)；(2)；(3)．
【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析.
【解析】(1)解：如图，在线段AB的延长线上取，则；
(2)解：如图，在线段AB的延长线上取，则，在线段AC的延长线上取，则，所以.
(3)解：如图，在线段AB的延长线上取，则，在线段AC的延长线上取，则，所以.
16．（2022·重庆）已知向量满足：，，．
(1)若，求在方向上的投影向量；
(2)求的最小值．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由数量积的定义可知：，所以在方向上的投影向量为：
；
（2）
又，，所以
令所以所以当时，取到最小值为
1．（2022·重庆）若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】C
【解析】由已知，，
所以，
，
设向量与的夹角为，
则
故选：C
2．（2022·全国·高一课时练习）（多选）向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，，则（ ）
A．B．与的夹角为
C．D．在上的投影向量为
【答案】BC
【解析】，,
,解得,故A错误
,，
由于，与的夹角为，故B正确,
,故C正确
在上的投影向量为，故D错误,
故选：BC
3．（2022·全国·高一课时练习）设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解析】因为在方向上的投影向量为，所以，所以，
因为与垂直，所以，即，解得.故选：B.
4．（2022·北京·临川学校高一期中）已知为正三角形的中心，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】取中点，连接，因为为正三角形的中心，故，则向量在向量上的投影向量为
故选：C
5．（2022·全国·高一课时练习）已知是正三角形，则下列等式中不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】对于A，因为，,
所以，故正确；
对于B，因为,(为中点)，故错误；
对于C，因为(为中点),
(为中点),
所以，故正确；
对于D，因为，，
所以，故正确.
故选：B.
6．（2022·福建省福州格致中学高一期末）己知为的外接圆圆心，若，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意三角形的外接圆圆心为，，即，
所以是的中点，即是圆的直径，且，
又，，所以，所以，
∴，所以在上的投影向量为.故选：A.
7．（2022·安徽省淮南第五中学高一阶段练习）（多选）在△ABC中，下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．若，则是等腰三角形
D．若则是锐角三角形
【答案】ABD
【解析】由向量减法法则可得，故A项错误；
，故B项错误；
设中点为，，则，因为,所以由三线合一得，所以是等腰三角形， 故C项正确；
可以得到是锐角，不能得到是锐角三角形，故D项错误；
故选：ABD.
8．（2021·上海·曹杨二中高一阶段练习）已知向量，对任意的，恒有，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由可得，
又，令则上式等价于，对任意的恒成立，
故，解得，解得，即；
对A：由，故不成立，A错误；
对B：，不确定其结果，故不一定成立，B错误；
对C：，故，C正确；
对D： ，不确定其结果，故不一定成立，D错误.故选：C.
9．（2022·浙江·高一期中）已知是的外心，且满足，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设的中点为，则，所以，
所以外心与中点重合，故为直角三角形.
设，则，，
，设为方向上的单位向量，则
在上的投影向量为.故选：C.
10．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校高一期末）（多选）下列说法中错误的是（ ）
A．单位向量都相等
B．向量与是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上
C．两个非零向量，若，则与共线且反向
D．已知向量，若与的夹角为锐角，则
【答案】ABD
【解析】对于A选项，单位向量方向不同，则不相等，故A错误；
对于B选项，向量与是共线向量，也可能是，故B错误；
对于C选项，两个非零向量，若，则与共线且反向，故C正确；
对于D选项，向量，若与的夹角为锐角，则且与不共线，故，解得且，故D错误；故选：ABD
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