数学6.2 平面向量的运算精练

这是一份数学6.2 平面向量的运算精练，共20页。试卷主要包含了平面向量的线性运算，共线定理，数量积，取值范围等内容，欢迎下载使用。


典例精讲
考点一 平面向量的线性运算
【例1-1】（2022·全国·高一课时练习）化简（1）
（2）；
（3）＋．
【例1-2】（2022·全国·高一课前预习）计算：
（1）；
（2）.
【一隅三反】
1．（2022·湖南·高一课时练习）化简：
(1)； (2)； (3)．
(4)； (5)； (6)．
2．（2022·全国·高一课时练习）化简：
（1）；
（2）；
（3）．
3．（2022·全国·高一专题练习）已知向量，，，求作和.
考点二 共线定理
【例2】（2022·全国·高一课时练习）设，是两个不共线的向量，如果，，.
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定的值，使和共线；
(3)若与不共线，试求的取值范围.
【一隅三反】
1．（2022·浙江·高一期中）已知为不共线的两个单位向量，若与平行，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高一专题练习）判断向量是否共线(其中,是两个非零不共线的向量):
(1);(2);(3).
3．（2022·全国·高一课时练习）设两个非零向量与不共线．
(1)若，，，求证：，，三点共线；
(2)试确定实数，使和同向．
考点三 数量积
【例3-1】（2022·湖北省天门中学高一阶段练习）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】（2022·内蒙古大学满洲里学院附属中学高一期末）已知向量，满足，，则向量，的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【例3-3】．（2022·全国·高一课时练习）已知向量，满足，，，则_________.
【例3-4】（2021·山东·高一阶段练习）在中，，若D为BC中点，则为_________．
【一隅三反】
1．（2022·上海市）已知向量满足的夹角为，则的值是_____．
2．（2022·上海市曹杨中学高一期末）已知向量与的夹角为，记且，则_____．
3．（2022·上海市控江中学高一期末）已知向量满足且，则在方向上的数量投影为______.
4．（2022·全国·高一课时练习）已知单位向量，满足，若向量，则＝
5．（2021·云南·昭通市昭阳区第一中学高二月考（文））已知向量与的夹角为，且，，设，，则向量在方向上的投影为___________．
考点四 取值范围
【例4-1】（2022·湖北）若 ，则 的取值范围是（ ）
A．[3，7]B． C．D．
【例4-2】（2022·上海）已知平面向量、满足，，则在方向上的数量投影的最小值是______.
【一隅三反】
1．（2022·上海崇明·）在边长为2的正六边形ABCDEF中，点P为其内部或边界上一点，则的取值范围为______.
2．（2022·上海）如图，已知正六边形ABCDEF边长为1，点P是其内部一点，（包括边界），则的取值范围为______
3．（2022·上海）设，为单位向量，非零向量，．若，的夹角为，则的最大值等于________．
6.2 平面向量的运算（精讲）
思维导图
典例精讲
考点一 平面向量的线性运算
【例1-1】（2022·全国·高一课时练习）化简（1）
（2）；
（3）＋．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）方法一(统一成加法)：
方法二(利用)：
（2）．
（3）
【例1-2】（2022·全国·高一课前预习）计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）
=.
（2）
=
【一隅三反】
1．（2022·湖南·高一课时练习）化简：
(1)； (2)； (3)．
(4)； (5)； (6)．
【答案】(1)；(2)；(3).(4)；(5)；(6).
【解析】(1).
(2).
(3).
(4).
(5).
(6).
2．（2022·全国·高一课时练习）化简：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式．
3．（2022·全国·高一专题练习）已知向量，，，求作和.
【答案】详见解析
【解析】由向量加法的三角形法则作图：
由向量三角形加减法则作图：
考点二 共线定理
【例2】（2022·全国·高一课时练习）设，是两个不共线的向量，如果，，.
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定的值，使和共线；
(3)若与不共线，试求的取值范围.
【答案】(1)证明过程见解析(2)(3)
【解析】（1）证明：因为，所以与共线.
因为与有公共点B，所以A，B，D三点共线.
（2）因为与共线，所以存在实数，使.
因为，不共线，所以所以.
（3）假设与共线，则存在实数m，使.
因为，不共线，所以所以.因为与不共线，所以.
【一隅三反】
1．（2022·浙江·高一期中）已知为不共线的两个单位向量，若与平行，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为与平行，所以存在实数，使得，即，
又为不共线，所以，解得.故选：B.
2．（2022·全国·高一专题练习）判断向量是否共线(其中,是两个非零不共线的向量):
(1);(2);(3).
【答案】(1)共线；(2)共线；(3)不共线.
【解析】(1)因，则有，所以共线.
(2)因，，则，所以共线.
(3)假设，则，即，
因不共线，于是得，此方程组无解，因此不存在实数，使得，所以不共线.
3．（2022·全国·高一课时练习）设两个非零向量与不共线．
(1)若，，，求证：，，三点共线；
(2)试确定实数，使和同向．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】（1）证明：因为，，，
所以．所以，共线．
又因为，有公共点，所以，，三点共线．
（2）解：因为与同向，所以存在实数，使，
即．所以．
因为，是不共线的两个非零向量，所以，解得，或，又因为，所以．
考点三 数量积
【例3-1】（2022·湖北省天门中学高一阶段练习）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，，所以，
所以，故选：A
【例3-2】（2022·内蒙古大学满洲里学院附属中学高一期末）已知向量，满足，，则向量，的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，即，即，
又，，解得，，所以.故选：C
【例3-3】．（2022·全国·高一课时练习）已知向量，满足，，，则_________.
【答案】
【解析】由可得，，即，解得：，所以．
故答案为：．
【例3-4】（2021·山东·高一阶段练习）在中，，若D为BC中点，则为_________．
【答案】
【解析】，所以，故，
，两式相减得 ，所以，
所以＝.故答案为：
【一隅三反】
1．（2022·上海市）已知向量满足的夹角为，则的值是_____．
【答案】
【解析】，即，即，解得或（舍）.故答案为：3.
2．（2022·上海市曹杨中学高一期末）已知向量与的夹角为，记且，则_____．
【答案】
【解析】且，，即
又向量与的夹角为，，解得，
，，
又，所以
故答案为：
3．（2022·上海市控江中学高一期末）已知向量满足且，则在方向上的数量投影为______.
【答案】
【解析】，，
所以在方向上的数量投影为.故答案为：
4．（2022·全国·高一课时练习）已知单位向量，满足，若向量，则＝
【答案】
【解析】因为，是单位向量，所以，
又因为，，所以，
，所以，
因为，所以
5．（2021·云南·昭通市昭阳区第一中学高二月考（文））已知向量与的夹角为，且，，设，，则向量在方向上的投影为___________．
【答案】2
【解析】与的夹角为，且， ,又，，设,在方向上的投影为在方向上的投影为故答案为：2
考点四 取值范围
【例4-1】（2022·湖北）若 ，则 的取值范围是（ ）
A．[3，7]B． C．D．
【答案】C
【解析】由题意知，且,
当同向时，取得最小值，；
当反向时，取得最大值，；
当不共线时，取得最小值，，
故 的取值范围是，
故选：C
【例4-2】（2022·上海）已知平面向量、满足，，则在方向上的数量投影的最小值是______.
【答案】2
【解析】因为在方向上的数量投影为，
所以当最小时，数量投影取得最小值.
设，则.
因为，则当时，有最小值6.
所以，在方向上的数量投影的最小值是.故答案为：2.
【一隅三反】
1．（2022·上海崇明·）在边长为2的正六边形ABCDEF中，点P为其内部或边界上一点，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】正六边形ABCDEF中，过点B作于，则
又
即，故的取值范围为
故答案为：
2．（2022·上海）如图，已知正六边形ABCDEF边长为1，点P是其内部一点，（包括边界），则的取值范围为______
【答案】
【解析】由正六边形的性质得： ，
则，，
，
而表示在上的投影，
当点P在C处时，投影最大为，当点P在F处时，投影最小为0，
所以的取值范围为，
故答案为：
3．（2022·上海）设，为单位向量，非零向量，．若，的夹角为，则的最大值等于________．
【答案】2
【解析】，为单位向量，和的夹角等于，
，
当时，则；
非零向量，
，
当时，
，
故当时，取得最大值为2，
综上，取得最大值为2．
故答案为：2．