人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念课后练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念课后练习题，共16页。试卷主要包含了向量的几何表示，相等向量与平行向量等内容，欢迎下载使用。


典例精讲
考点一 概念辨析
【例1-1】（2022江苏）有下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.其中，不是向量的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【例1-2】（2022·湖北）下列关于零向量的说法正确的是（ ）
A．零向量没有大小B．零向量没有方向
C．两个反方向向量之和为零向量D．零向量与任何向量都共线
【例1-3】（2022·全国·高一课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．向量与向量长度相等B．单位向量都相等
C．的长度为，且方向是任意的D．任一非零向量都可以平行移动
【一隅三反】
1．（2022·广东）给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．其中不是向量的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
2．（2022山东）下列说法：
①零向量是没有方向的向量；
②零向量的方向是任意的；
③零向量与任意一个向量共线.
其中，正确说法的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．（2022黑龙江）下列命题中假命题是（ ）
A．向量与的长度相等
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于
D．共线的单位向量都相等
4．（2022·全国·高一课时练习）下列关于向量的描述正确的是
A．若向量，都是单位向量，则
B．若向量，都是单位向量，则
C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量
D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共圆
考点二 向量的几何表示
【例2】（2022湖南）在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
（1），使||＝4，点A在点O北偏东45°；
（2），使＝4，点B在点A正东；
（3），使＝6，点C在点B北偏东30°.
【一隅三反】
1．（2022四川）如图所示，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方.
（1）作出向量，，（图中1个单位长度表示100m）；
（2）求向量的模.
2．（2022·湖南）如图的方格由若干个边长为1的小正方形组成，方格中有定点A，点C为小正方形的顶点，且，画出所有的向量.
考点三 相等向量与平行向量
【例3-1】（2022·全国·高一课时练习）下列命题中正确的个数是（ ）
①若向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上；
②若向量与向量平行，则，方向相同或相反；
③若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是0°或180°；
④若，则，是相等向量或相反向量.
A．0B．1C．2D．3
【例3-2】（2022·全国·高一专题练习）如图，是正六边形的中心，且，，．在以这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：
(1)与相等的向量有哪些？
(2)的相反向量有哪些？
(3)与的模相等的向量有哪些？
【一隅三反】
1．（2022·陕西·渭南高级中学高一阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则存在唯一实数使得
C．若，，则
D．与非零向量共线的单位向量为
2．（2020·全国·高一课时练习）为非零向量，“”为“共线”的
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．即不充分也不必要条件
3．（2021·全国·高一课时练习）已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：
（1）与相等的向量；
（2）与长度相等的向量；
（3）与共线的向量.
6.1 平面向量的概念（精讲）
思维导图
典例精讲
考点一 概念辨析
【例1-1】（2022江苏）有下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.其中，不是向量的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】因为速度、力和加速度既有大小，又有方向，所以它们是向量；
而质量、路程和功只有大小，没有方向，所以它们不是向量，故不是向量的个数是3.故选：C
【例1-2】（2022·湖北）下列关于零向量的说法正确的是（ ）
A．零向量没有大小B．零向量没有方向
C．两个反方向向量之和为零向量D．零向量与任何向量都共线
【答案】D
【解析】根据零向量的概念可得零向量的长度为零，方向任意，故A、B错误；
两个反方向向量之和不一定为零向量，只有相反向量之和才是零向量，C错误；
零向量与任意向量共线，D正确．故选：D.
【例1-3】（2022·全国·高一课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．向量与向量长度相等B．单位向量都相等
C．的长度为，且方向是任意的D．任一非零向量都可以平行移动
【答案】B
【解析】因为，所以和互为相反向量，长度相等，方向相反，故A选项正确；
单位向量长度都为，但方向不确定，故B选项错误；根据零向量的概念，易知C选项正确；
向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D选项正确；故选：B.
【一隅三反】
1．（2022·广东）给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．其中不是向量的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】C
【解析】①质量，⑥路程，⑦密度，⑧功，⑨时间只有大小，没有方向，故不是向量，其余均为向量，故共有5个不是向量.故选：C
2．（2022山东）下列说法：
①零向量是没有方向的向量；
②零向量的方向是任意的；
③零向量与任意一个向量共线.
其中，正确说法的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】由零向量定义及性质知：其方向任意，且与任意向量共线，故①错误，②③正确；故选：C
3．（2022黑龙江）下列命题中假命题是（ ）
A．向量与的长度相等
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于
D．共线的单位向量都相等
【答案】D
【解析】对于A选项，与互为相反向量，这两个向量的长度相等，A选项正确；
对于B选项，两个相等的向量，长度相等，方向相同，若两个相等向量的起点相同，则终点也相同，B选项正确；
对于C选项，只有零向量的模等于，C选项正确；
对于D选项，共线的单位向量是相等向量或相反向量，D选项错误.
故选：D.
4．（2022·全国·高一课时练习）下列关于向量的描述正确的是
A．若向量，都是单位向量，则
B．若向量，都是单位向量，则
C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量
D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共圆
【答案】D
【解析】对于选项A：向量包括长度和方向，单位向量的长度相同均为，方向不定，故向量和不一定相同，故选项A错误；
对于选项B：因为，由知，不一定成立，故选项B错误；
对于选项C：任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量，故选项C错误；
对于选项D：因为所有单位向量的模为，且共起点，所以所有单位向量的终点在半径为的圆周上，故选项D正确；故选：D.
考点二 向量的几何表示
【例2】（2022湖南）在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
（1），使||＝4，点A在点O北偏东45°；
（2），使＝4，点B在点A正东；
（3），使＝6，点C在点B北偏东30°.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】（1）由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如下图所示．
（2）由于点B在点A正东方向处，且＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如下图所示．
（3）由于点C在点B北偏东30°处，且＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如下图所示．
【一隅三反】
1．（2022四川）如图所示，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方.
（1）作出向量，，（图中1个单位长度表示100m）；
（2）求向量的模.
【答案】（1）作图见解析（2）
【解析】（1）如图，即为所求.
（2）如图，作向量，由题意可知，四边形是平行四边形，
∴.
2．（2022·湖南）如图的方格由若干个边长为1的小正方形组成，方格中有定点A，点C为小正方形的顶点，且，画出所有的向量.
【答案】见解析
【解析】∵，∴C点落在以A为圆心，以为半径的圆上，又∵点C为小正方形的顶点，
根据该条件不难找出满足条件的点C，解析所有的向量，如图所示：
考点三 相等向量与平行向量
【例3-1】（2022·全国·高一课时练习）下列命题中正确的个数是（ ）
①若向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上；
②若向量与向量平行，则，方向相同或相反；
③若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是0°或180°；
④若，则，是相等向量或相反向量.
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】①错误，平行向量又叫共线向量，向量与是共线向量，则与平行或共线；
②错误，与至少有一个为零向量时，结论不成立；由向量的夹角可知③正确；
④错误，由，只能说明，的长度相等，确定不了方向.故选：B.
【例3-2】（2022·全国·高一专题练习）如图，是正六边形的中心，且，，．在以这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：
(1)与相等的向量有哪些？
(2)的相反向量有哪些？
(3)与的模相等的向量有哪些？
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】(1)由相等向量定义知：与相等的向量有.
(2)由相反向量定义知：的相反向量有.
(3)由向量模长定义知：与的模相等的向量有.
【一隅三反】
1．（2022·陕西·渭南高级中学高一阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则存在唯一实数使得
C．若，，则
D．与非零向量共线的单位向量为
【答案】D
【解析】若，则或，所以选项A错误；
若，此时 不存在，选项B错误；
若，由，，不一定得到，选项C不正确；
由向量为非零向量，根据单位向量的定义，选项D正确.
故选：D.
2．（2020·全国·高一课时练习）为非零向量，“”为“共线”的
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．即不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】分别表示与同方向的向量，
，则有共线，
而共线，则的方向不一定相同，即两向量不一定相等，
“”为“共线”的充分不必要条件.
故选:B.
3．（2021·全国·高一课时练习）已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：
（1）与相等的向量；
（2）与长度相等的向量；
（3）与共线的向量.
【答案】（1）；（2），，，，，，；（3）
【解析】画出图形，如图所示．
（1）易知BCAD，BC＝AD，所以与相等的向量为.
（2）由O是正方形ABCD对角线的交点知OB＝OD＝OA＝OC，
所以与长度相等的向量为，，，，，，.
（3）与共线的向量为，，.