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高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第01讲平面向量的概念(原卷版+解析)
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这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第01讲平面向量的概念(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了 零向量的方向是任意的，故选，2，画出向量．等内容，欢迎下载使用。
向量：既有大小又有方向的量叫做向量
数量：只有大小没有方向的量称为数量.
注：向量不能比较大小（因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小），向量的模可以比较大小
向量的表示
(1)表示工具——有向线段．有向线段包含三个要素：起点、方向、长度,如图所示.以A为起点、B为终点的有向线段记作eq \(AB,\s\up6(→))，线段AB的长度叫做有向线段eq \(AB,\s\up6(→))的长度记作|eq \(AB,\s\up6(→))|.
易错辨析：有向线段就是向量，向量就是有向线段.
有向线段是几何图形，而向量是数学概念，可以用有向线段表示，
(2)表示方法：
几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.
字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用eq \(a,\s\up6(→))，eq \( b,\s\up6(→))，eq \( c,\s\up6(→))).
向量的模：向量的大小叫做向量的长度(模)．任意向量a的模都是非负实数，即|a|≥0
4．零向量：长度为eq \a\vs4\al(0)的向量，记作0. 零向量的方向是任意的.
5．单位向量：长度等于1个单位长度的向量．任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同.
注：单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a平行的单位向量有两个，即向量eq \f(a,|a|)和－eq \f(a,|a|).
6．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，
注：①记法：向量a平行于向量b，记作a∥b.
②规定：零向量与任一向量平行．
③共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.
易错辨析：（1）若，则与的方向相同或相反
零向量与任意向量平行，且零向量的方向是任意的，所以若，则对于非零向量，必有，但与的方向不一定相同或相反
（2）若，，则
若，则零向量与任意向量平行，所以对任意向量与，均有，，故此时与不一定平行
若，则或
向量的长度相等，但方向不一定相同或相反
（4）两个共线的非零向量的起点与终点一定共线
两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行
7．相等向量：长度相等且方向相同的向量．
8．相反向量：长度相等且方向相反的向量．
考点一 向量的概念
向量与数量的区别
判断一个量是否为向量，应从两个方面入手：①是否有大小，②是否有方向.
【例1】下列各量中是向量的为（ ）
A．海拔B．压强C．加速度D．温度
变式1：下列各量中是向量的是（ ）
A．时间B．速度C．面积D．长度
变式2：给出下列物理量:①密度；②路程；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.下列说法正确的是( )
A．①②③是数量，④⑤⑥是向量B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
C．①④是数量，②③⑤⑥是向量D．①②④⑤是数量，③⑥是向量
平面向量有关概念的辨析
1、注意两个特殊向量：零向量和单位向量. 2、注意平行向量与共线向量的含义.
【例2】【多选】以下关于平面向量的说法中，正确的是（ ）
A．既有大小，又有方向的量叫做向量B．所有单位向量都相等
C．零向量没有方向D．平行向量也叫做共线向量
变式1：下列说法正确的是（ ）
A．向量就是有向线段B．单位向量都是相等向量
C．若，则D．零向量与任意向量平行
变式2：给出下列命题：①起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线.其中正确的是（ ）
A．①②B．②C．②③D．③④
变式3：下列说法中，正确的是（ ）
①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；
③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线．
A．①②B．②③C．②④D．①④
变式4：下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则不是共线向量
变式5：已知向量，是单位向量，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式6：判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
(2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；
(4)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反；
(5)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．
变式7：下面的命题正确的有（ ）
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若，满足且与同向，则
D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”
变式8：【多选】下列叙述中错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则与的方向相同或相反
C．若，，则
D．对任一非零向量，是一个单位向量
变式9：给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④有向线段就是向量，向量就是有向线段；其中，正确的命题有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
变式10：判断下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
变式11：已知平面向量，，，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，则
变式12：设，是两个非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）
A．且B．C．D．
【向量相等的应用】
【例3】已知平面四边形ABCD满足，则四边形ABCD是（ ）
A．正方形B．平行四边形C．菱形D．梯形
变式1：在四边形ABCD中，，，则四边形ABCD是（ ）
A．梯形B．平行四边形C．矩形D．正方形
变式2：下列有关四边形的形状判断错误的是（ ）
A．若，则四边形为平行四边形
B．若，则四边形为梯形
C．若，且，则四边形为菱形
D．若，且，则四边形为正方形
考点二 向量的几何表示
解题方略：
(1)用向量表示的几何问题，要研究其图形的几何特性，然后作出解答.
(2)作向量时，关键是找出向量的起点和终点，如果已知起点，先确定向量的方向，然后根据向量的长度找出终点.
【例4】在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
(1)，使||＝4eq \r(2)，点A在点O北偏东45°方向上；
(2)，使||＝4，点B在点A正东方向上；
(3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°方向上．
变式1：某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
（1）作出向量，，；
（2）求 的模．
考点三 相等向量和共线向量
解题方略：
(1)共线向量和相等向量有何关系？
共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量.
(2)如何利用向量相等或共线证明线段相等、平行问题？
①证明线段相等，只要证明相应的向量长度(模)相等.
②证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不共线.
(3)寻找相等向量的方法：
先找长度相等的向量，再确定哪些是同向的共线向量。
(4)寻找共线向量的方法：
先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向或反向的向量，注意不要漏掉以已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量。
【例5】如图，设是正六边形的中心，则与不相等的向量为（ ）
A．B．C．D．
变式1：如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形.
（1）图中与共线的向量有________；
（2）图中与相等的向量有________；
（3）图中与模相等的向量有_________________；
（4）图中与是______向量（填“相等”或“不相等”）；
（5）与相等吗？
变式2：如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的等边三角形，设的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则
（1）与向量相等的向量有______；
（2）与向量共线，且模相等的向量有______；
（3）与向量共线，且模相等的向量有________.
第1讲 平面向量的概念
知识点1 向量的有关概念
向量：既有大小又有方向的量叫做向量
数量：只有大小没有方向的量称为数量.
注：向量不能比较大小（因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小），向量的模可以比较大小
向量的表示
(1)表示工具——有向线段．有向线段包含三个要素：起点、方向、长度,如图所示.以A为起点、B为终点的有向线段记作eq \(AB,\s\up6(→))，线段AB的长度叫做有向线段eq \(AB,\s\up6(→))的长度记作|eq \(AB,\s\up6(→))|.
易错辨析：有向线段就是向量，向量就是有向线段.
有向线段是几何图形，而向量是数学概念，可以用有向线段表示，
(2)表示方法：
几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.
字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用eq \(a,\s\up6(→))，eq \( b,\s\up6(→))，eq \( c,\s\up6(→))).
向量的模：向量的大小叫做向量的长度(模)．任意向量a的模都是非负实数，即|a|≥0
4．零向量：长度为eq \a\vs4\al(0)的向量，记作0. 零向量的方向是任意的.
5．单位向量：长度等于1个单位长度的向量．任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同.
注：单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a平行的单位向量有两个，即向量eq \f(a,|a|)和－eq \f(a,|a|).
6．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，
注：①记法：向量a平行于向量b，记作a∥b.
②规定：零向量与任一向量平行．
③共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.
易错辨析：（1）若，则与的方向相同或相反
零向量与任意向量平行，且零向量的方向是任意的，所以若，则对于非零向量，必有，但与的方向不一定相同或相反
（2）若，，则
若，则零向量与任意向量平行，所以对任意向量与，均有，，故此时与不一定平行
若，则或
向量的长度相等，但方向不一定相同或相反
（4）两个共线的非零向量的起点与终点一定共线
两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行
7．相等向量：长度相等且方向相同的向量．
8．相反向量：长度相等且方向相反的向量．
考点一 向量的概念
向量与数量的区别
判断一个量是否为向量，应从两个方面入手：①是否有大小，②是否有方向.
【例1】下列各量中是向量的为（ ）
A．海拔B．压强C．加速度D．温度
【解析】向量是既有大小，又有方向的量，
海拔，压强，温度只有大小，没有方向，加速度既有大小，又有方向，
加速度是向量，故选：．
变式1：下列各量中是向量的是（ ）
A．时间B．速度C．面积D．长度
【解析】既有大小，又有方向的量叫做向量；时间、面积、长度只有大小没有方向，因此不是向量．而速度既有大小，又有方向，因此速度是向量．故选：．
变式2：给出下列物理量:①密度；②路程；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.下列说法正确的是( )
A．①②③是数量，④⑤⑥是向量B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
C．①④是数量，②③⑤⑥是向量D．①②④⑤是数量，③⑥是向量
【解析】由物理知识可知，密度，路程，质量，功只有大小，没有方向，因此是数量而速度，位移既有大小又有方向，因此是向量.故选：D
平面向量有关概念的辨析
1、注意两个特殊向量：零向量和单位向量. 2、注意平行向量与共线向量的含义.
【例2】【多选】以下关于平面向量的说法中，正确的是（ ）
A．既有大小，又有方向的量叫做向量B．所有单位向量都相等
C．零向量没有方向D．平行向量也叫做共线向量
【解析】由向量的定义知，既有大小，又有方向的量叫做向量，A正确；
任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，B不正确；
零向量有方向，其方向是任意的，C不正确；
由平行向量的定义知，平行向量也叫做共线向量，D正确.
故选：AD
变式1：下列说法正确的是（ ）
A．向量就是有向线段B．单位向量都是相等向量
C．若，则D．零向量与任意向量平行
【解析】向量不是有向线段，故A错误；单位向量长度都为1，但方向不确定，故B错误；向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故C错误；规定：零向量与任意向量平行，故D正确.故选：D
变式2：给出下列命题：①起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线.其中正确的是（ ）
A．①②B．②C．②③D．③④
【解析】①起点相同，方向相同，但大小不一定相同，所以两个非零向量的终点不一定相同，故错误；②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同，故正确；③两个平行的非零向量的方向相同或相反，故错误；④两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故错误.
故选：B
变式3：下列说法中，正确的是（ ）
①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；
③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线．
A．①②B．②③C．②④D．①④
【解析】①长度为0的向量都是零向量，正确；
②零向量的方向任意，故错误；
③单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误；
④任意向量与零向量都共线，正确；
故选：D
变式4：下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则不是共线向量
【解析】A. 因为向量不能比较大小，所以该选项错误；
B. 若，则不一定相等，有可能它们方向不同，但是模相等，所以该选项错误；
C. 若，则，所以该选项正确；
D. 若，则也有可能是共线向量，有可能方向相同模不相等，有可能方向相反，所以该选项错误.
故选：C
变式5：已知向量，是单位向量，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【解析】单位向量的模长都为，方向不一定相同，所以正确，故选：C．
变式6：判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
(2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；
(4)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反；
(5)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．
【解析】(1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系．(3)不正确．依据规定：0与任意向量平行．(4)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．(5)正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的．
变式7：下面的命题正确的有（ ）
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若，满足且与同向，则
D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”
【解析】对于A，由相反向量的概念可知A正确；
对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；
对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；
对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，
可得，且，故四边形ABCD是平行四边形；
若四边形ABCD是平行四边形，可知，且，
此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确.
故选：AD.
变式8：【多选】下列叙述中错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则与的方向相同或相反
C．若，，则
D．对任一非零向量，是一个单位向量
【解析】对于A，因为向量是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误；
对于B，零向量与任意向量平行，且零向量的方向是任意的，所以若，
则对于非零向量，必有，但与的方向不一定相同或相反，故B错误；
对于C，若，则零向量与任意向量平行，所以对任意向量与，均有，，故此时与不一定平行，故C错误；
对于D，由单位向量的定义可得，对任一非零向量，其单位向量为，故D正确.
故选：ABC.
变式9：给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④有向线段就是向量，向量就是有向线段；其中，正确的命题有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解析】①若，则，故错误；
②若，即向量的长度相等，但方向不一定相同或相反，故错误；
③若，即向量共线，它们的模长不一定相等，故错误；
④有向线段是几何图形，而向量是数学概念，可以用有向线段表示，故错误；
故选：A
变式10：判断下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解析】因向量共线，其模不一定相等，方向也不一定相同，即若，则是假命题，①不正确；因模相等的向量，方向不一定相同，即若，则是假命题，②不正确；
因模相等的向量，方向不一定相同也不一定相反，即若，则是假命题，③不正确；由相等向量的定义可知：若，则是真命题，④正确，所以，正确命题的个数是1.故选：A
变式11：已知平面向量，，，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，则
【解析】A：若为非零向量，为零向量时，有但不成立，错误；
B：时，，不一定相等，错误；
C：若为零向量时，，不一定有，错误；
D：说明，同向，即，正确.
故选：D
变式12：设，是两个非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）
A．且B．C．D．
【解析】对于选项A：且则，两个为相等向量或相反向量，当时，不成立，所以且不是成立的充分条件，故选项A不正确；
对于选项B：时，，所以得不出，不是成立的充分条件，故选项B不正确；
对于选项C：，若，两个向量方向相反时，得不出，所以不是成立的充分条件，故选项C不正确；
对于选项D：满足，同向共线，所以的单位向量与的单位向量相等即，
所以是成立的充分条件，故选项D正确；
故选：D.
【向量相等的应用】
【例3】已知平面四边形ABCD满足，则四边形ABCD是（ ）
A．正方形B．平行四边形C．菱形D．梯形
【解析】在四边形ABCD中， ，所以，且，
所以四边形为平行四边形．
故选：B
变式1：在四边形ABCD中，，，则四边形ABCD是（ ）
A．梯形B．平行四边形C．矩形D．正方形
【解析】∵ ，∴ ，又，∴ 四边形ABCD是梯形，
故选：A.
变式2：下列有关四边形的形状判断错误的是（ ）
A．若，则四边形为平行四边形
B．若，则四边形为梯形
C．若，且，则四边形为菱形
D．若，且，则四边形为正方形
【解析】A选项，，则，所以四边形为平行四边形，A正确.
B选项，，则，所以四边形为梯形，B正确.
C选项，，则，四边形是平行四边形；由于，所以四边形是菱形，C正确.
D选项，，则，所以四边形为平行四边形；由于，所以四边形为菱形，D选项错误.
故选：D
考点二 向量的几何表示
解题方略：
(1)用向量表示的几何问题，要研究其图形的几何特性，然后作出解答.
(2)作向量时，关键是找出向量的起点和终点，如果已知起点，先确定向量的方向，然后根据向量的长度找出终点.
【例4】在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
(1)，使||＝4eq \r(2)，点A在点O北偏东45°方向上；
(2)，使||＝4，点B在点A正东方向上；
(3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°方向上．
【解析】(1)由于点A在点O北偏东45°方向上，又||＝4eq \r(2)，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是确定点A的位置，画出向量．
(2)由于点B在点A正东方向上，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量，如图所示．
(3)由于点C在点B北偏东30°方向上，且||＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3eq \r(3)≈5.2，画出向量．
变式1：某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
（1）作出向量，，；
（2）求 的模．
【解析】（1）作出向量，，；如图所示：
（2）由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 米，CD＝10米，
所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，
所以AD＝＝(米)，所以|米.
考点三 相等向量和共线向量
解题方略：
(1)共线向量和相等向量有何关系？
共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量.
(2)如何利用向量相等或共线证明线段相等、平行问题？
①证明线段相等，只要证明相应的向量长度(模)相等.
②证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不共线.
(3)寻找相等向量的方法：
先找长度相等的向量，再确定哪些是同向的共线向量。
(4)寻找共线向量的方法：
先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向或反向的向量，注意不要漏掉以已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量。
【例5】如图，设是正六边形的中心，则与不相等的向量为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意，，.故选：D.
变式1：如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形.
（1）图中与共线的向量有________；
（2）图中与相等的向量有________；
（3）图中与模相等的向量有_________________；
（4）图中与是______向量（填“相等”或“不相等”）；
（5）与相等吗？
【解析】根据题意得，（1）图中与共线的向量为、、；
（2）与相等的向量有；
（3）图中与模相等的向量有，，，；
（4）相等；
（5）与不相等；
故答案为：（1），，（2）（3），，，（4）相等（5）不相等
变式2：如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的等边三角形，设的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则
（1）与向量相等的向量有______；
（2）与向量共线，且模相等的向量有______；
（3）与向量共线，且模相等的向量有________.
【解析】（1）与向量相等的向量有；
（2）与向量共线，且模相等的向量有；
（3）与向量共线，且模相等的向量有.
故答案为：；；
向量：既有大小又有方向的量叫做向量
数量：只有大小没有方向的量称为数量.
注：向量不能比较大小（因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小），向量的模可以比较大小
向量的表示
(1)表示工具——有向线段．有向线段包含三个要素：起点、方向、长度,如图所示.以A为起点、B为终点的有向线段记作eq \(AB,\s\up6(→))，线段AB的长度叫做有向线段eq \(AB,\s\up6(→))的长度记作|eq \(AB,\s\up6(→))|.
易错辨析：有向线段就是向量，向量就是有向线段.
有向线段是几何图形，而向量是数学概念，可以用有向线段表示，
(2)表示方法：
几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.
字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用eq \(a,\s\up6(→))，eq \( b,\s\up6(→))，eq \( c,\s\up6(→))).
向量的模：向量的大小叫做向量的长度(模)．任意向量a的模都是非负实数，即|a|≥0
4．零向量：长度为eq \a\vs4\al(0)的向量，记作0. 零向量的方向是任意的.
5．单位向量：长度等于1个单位长度的向量．任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同.
注：单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a平行的单位向量有两个，即向量eq \f(a,|a|)和－eq \f(a,|a|).
6．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，
注：①记法：向量a平行于向量b，记作a∥b.
②规定：零向量与任一向量平行．
③共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.
易错辨析：（1）若，则与的方向相同或相反
零向量与任意向量平行，且零向量的方向是任意的，所以若，则对于非零向量，必有，但与的方向不一定相同或相反
（2）若，，则
若，则零向量与任意向量平行，所以对任意向量与，均有，，故此时与不一定平行
若，则或
向量的长度相等，但方向不一定相同或相反
（4）两个共线的非零向量的起点与终点一定共线
两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行
7．相等向量：长度相等且方向相同的向量．
8．相反向量：长度相等且方向相反的向量．
考点一 向量的概念
向量与数量的区别
判断一个量是否为向量，应从两个方面入手：①是否有大小，②是否有方向.
【例1】下列各量中是向量的为（ ）
A．海拔B．压强C．加速度D．温度
变式1：下列各量中是向量的是（ ）
A．时间B．速度C．面积D．长度
变式2：给出下列物理量:①密度；②路程；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.下列说法正确的是( )
A．①②③是数量，④⑤⑥是向量B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
C．①④是数量，②③⑤⑥是向量D．①②④⑤是数量，③⑥是向量
平面向量有关概念的辨析
1、注意两个特殊向量：零向量和单位向量. 2、注意平行向量与共线向量的含义.
【例2】【多选】以下关于平面向量的说法中，正确的是（ ）
A．既有大小，又有方向的量叫做向量B．所有单位向量都相等
C．零向量没有方向D．平行向量也叫做共线向量
变式1：下列说法正确的是（ ）
A．向量就是有向线段B．单位向量都是相等向量
C．若，则D．零向量与任意向量平行
变式2：给出下列命题：①起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线.其中正确的是（ ）
A．①②B．②C．②③D．③④
变式3：下列说法中，正确的是（ ）
①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；
③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线．
A．①②B．②③C．②④D．①④
变式4：下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则不是共线向量
变式5：已知向量，是单位向量，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式6：判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
(2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；
(4)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反；
(5)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．
变式7：下面的命题正确的有（ ）
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若，满足且与同向，则
D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”
变式8：【多选】下列叙述中错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则与的方向相同或相反
C．若，，则
D．对任一非零向量，是一个单位向量
变式9：给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④有向线段就是向量，向量就是有向线段；其中，正确的命题有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
变式10：判断下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
变式11：已知平面向量，，，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，则
变式12：设，是两个非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）
A．且B．C．D．
【向量相等的应用】
【例3】已知平面四边形ABCD满足，则四边形ABCD是（ ）
A．正方形B．平行四边形C．菱形D．梯形
变式1：在四边形ABCD中，，，则四边形ABCD是（ ）
A．梯形B．平行四边形C．矩形D．正方形
变式2：下列有关四边形的形状判断错误的是（ ）
A．若，则四边形为平行四边形
B．若，则四边形为梯形
C．若，且，则四边形为菱形
D．若，且，则四边形为正方形
考点二 向量的几何表示
解题方略：
(1)用向量表示的几何问题，要研究其图形的几何特性，然后作出解答.
(2)作向量时，关键是找出向量的起点和终点，如果已知起点，先确定向量的方向，然后根据向量的长度找出终点.
【例4】在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
(1)，使||＝4eq \r(2)，点A在点O北偏东45°方向上；
(2)，使||＝4，点B在点A正东方向上；
(3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°方向上．
变式1：某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
（1）作出向量，，；
（2）求 的模．
考点三 相等向量和共线向量
解题方略：
(1)共线向量和相等向量有何关系？
共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量.
(2)如何利用向量相等或共线证明线段相等、平行问题？
①证明线段相等，只要证明相应的向量长度(模)相等.
②证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不共线.
(3)寻找相等向量的方法：
先找长度相等的向量，再确定哪些是同向的共线向量。
(4)寻找共线向量的方法：
先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向或反向的向量，注意不要漏掉以已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量。
【例5】如图，设是正六边形的中心，则与不相等的向量为（ ）
A．B．C．D．
变式1：如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形.
（1）图中与共线的向量有________；
（2）图中与相等的向量有________；
（3）图中与模相等的向量有_________________；
（4）图中与是______向量（填“相等”或“不相等”）；
（5）与相等吗？
变式2：如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的等边三角形，设的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则
（1）与向量相等的向量有______；
（2）与向量共线，且模相等的向量有______；
（3）与向量共线，且模相等的向量有________.
第1讲 平面向量的概念
知识点1 向量的有关概念
向量：既有大小又有方向的量叫做向量
数量：只有大小没有方向的量称为数量.
注：向量不能比较大小（因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小），向量的模可以比较大小
向量的表示
(1)表示工具——有向线段．有向线段包含三个要素：起点、方向、长度,如图所示.以A为起点、B为终点的有向线段记作eq \(AB,\s\up6(→))，线段AB的长度叫做有向线段eq \(AB,\s\up6(→))的长度记作|eq \(AB,\s\up6(→))|.
易错辨析：有向线段就是向量，向量就是有向线段.
有向线段是几何图形，而向量是数学概念，可以用有向线段表示，
(2)表示方法：
几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.
字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用eq \(a,\s\up6(→))，eq \( b,\s\up6(→))，eq \( c,\s\up6(→))).
向量的模：向量的大小叫做向量的长度(模)．任意向量a的模都是非负实数，即|a|≥0
4．零向量：长度为eq \a\vs4\al(0)的向量，记作0. 零向量的方向是任意的.
5．单位向量：长度等于1个单位长度的向量．任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同.
注：单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a平行的单位向量有两个，即向量eq \f(a,|a|)和－eq \f(a,|a|).
6．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，
注：①记法：向量a平行于向量b，记作a∥b.
②规定：零向量与任一向量平行．
③共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.
易错辨析：（1）若，则与的方向相同或相反
零向量与任意向量平行，且零向量的方向是任意的，所以若，则对于非零向量，必有，但与的方向不一定相同或相反
（2）若，，则
若，则零向量与任意向量平行，所以对任意向量与，均有，，故此时与不一定平行
若，则或
向量的长度相等，但方向不一定相同或相反
（4）两个共线的非零向量的起点与终点一定共线
两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行
7．相等向量：长度相等且方向相同的向量．
8．相反向量：长度相等且方向相反的向量．
考点一 向量的概念
向量与数量的区别
判断一个量是否为向量，应从两个方面入手：①是否有大小，②是否有方向.
【例1】下列各量中是向量的为（ ）
A．海拔B．压强C．加速度D．温度
【解析】向量是既有大小，又有方向的量，
海拔，压强，温度只有大小，没有方向，加速度既有大小，又有方向，
加速度是向量，故选：．
变式1：下列各量中是向量的是（ ）
A．时间B．速度C．面积D．长度
【解析】既有大小，又有方向的量叫做向量；时间、面积、长度只有大小没有方向，因此不是向量．而速度既有大小，又有方向，因此速度是向量．故选：．
变式2：给出下列物理量:①密度；②路程；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.下列说法正确的是( )
A．①②③是数量，④⑤⑥是向量B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
C．①④是数量，②③⑤⑥是向量D．①②④⑤是数量，③⑥是向量
【解析】由物理知识可知，密度，路程，质量，功只有大小，没有方向，因此是数量而速度，位移既有大小又有方向，因此是向量.故选：D
平面向量有关概念的辨析
1、注意两个特殊向量：零向量和单位向量. 2、注意平行向量与共线向量的含义.
【例2】【多选】以下关于平面向量的说法中，正确的是（ ）
A．既有大小，又有方向的量叫做向量B．所有单位向量都相等
C．零向量没有方向D．平行向量也叫做共线向量
【解析】由向量的定义知，既有大小，又有方向的量叫做向量，A正确；
任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，B不正确；
零向量有方向，其方向是任意的，C不正确；
由平行向量的定义知，平行向量也叫做共线向量，D正确.
故选：AD
变式1：下列说法正确的是（ ）
A．向量就是有向线段B．单位向量都是相等向量
C．若，则D．零向量与任意向量平行
【解析】向量不是有向线段，故A错误；单位向量长度都为1，但方向不确定，故B错误；向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故C错误；规定：零向量与任意向量平行，故D正确.故选：D
变式2：给出下列命题：①起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线.其中正确的是（ ）
A．①②B．②C．②③D．③④
【解析】①起点相同，方向相同，但大小不一定相同，所以两个非零向量的终点不一定相同，故错误；②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同，故正确；③两个平行的非零向量的方向相同或相反，故错误；④两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故错误.
故选：B
变式3：下列说法中，正确的是（ ）
①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；
③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线．
A．①②B．②③C．②④D．①④
【解析】①长度为0的向量都是零向量，正确；
②零向量的方向任意，故错误；
③单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误；
④任意向量与零向量都共线，正确；
故选：D
变式4：下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则不是共线向量
【解析】A. 因为向量不能比较大小，所以该选项错误；
B. 若，则不一定相等，有可能它们方向不同，但是模相等，所以该选项错误；
C. 若，则，所以该选项正确；
D. 若，则也有可能是共线向量，有可能方向相同模不相等，有可能方向相反，所以该选项错误.
故选：C
变式5：已知向量，是单位向量，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【解析】单位向量的模长都为，方向不一定相同，所以正确，故选：C．
变式6：判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
(2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；
(4)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反；
(5)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．
【解析】(1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系．(3)不正确．依据规定：0与任意向量平行．(4)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．(5)正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的．
变式7：下面的命题正确的有（ ）
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若，满足且与同向，则
D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”
【解析】对于A，由相反向量的概念可知A正确；
对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；
对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；
对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，
可得，且，故四边形ABCD是平行四边形；
若四边形ABCD是平行四边形，可知，且，
此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确.
故选：AD.
变式8：【多选】下列叙述中错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则与的方向相同或相反
C．若，，则
D．对任一非零向量，是一个单位向量
【解析】对于A，因为向量是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误；
对于B，零向量与任意向量平行，且零向量的方向是任意的，所以若，
则对于非零向量，必有，但与的方向不一定相同或相反，故B错误；
对于C，若，则零向量与任意向量平行，所以对任意向量与，均有，，故此时与不一定平行，故C错误；
对于D，由单位向量的定义可得，对任一非零向量，其单位向量为，故D正确.
故选：ABC.
变式9：给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④有向线段就是向量，向量就是有向线段；其中，正确的命题有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解析】①若，则，故错误；
②若，即向量的长度相等，但方向不一定相同或相反，故错误；
③若，即向量共线，它们的模长不一定相等，故错误；
④有向线段是几何图形，而向量是数学概念，可以用有向线段表示，故错误；
故选：A
变式10：判断下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解析】因向量共线，其模不一定相等，方向也不一定相同，即若，则是假命题，①不正确；因模相等的向量，方向不一定相同，即若，则是假命题，②不正确；
因模相等的向量，方向不一定相同也不一定相反，即若，则是假命题，③不正确；由相等向量的定义可知：若，则是真命题，④正确，所以，正确命题的个数是1.故选：A
变式11：已知平面向量，，，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，则
【解析】A：若为非零向量，为零向量时，有但不成立，错误；
B：时，，不一定相等，错误；
C：若为零向量时，，不一定有，错误；
D：说明，同向，即，正确.
故选：D
变式12：设，是两个非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）
A．且B．C．D．
【解析】对于选项A：且则，两个为相等向量或相反向量，当时，不成立，所以且不是成立的充分条件，故选项A不正确；
对于选项B：时，，所以得不出，不是成立的充分条件，故选项B不正确；
对于选项C：，若，两个向量方向相反时，得不出，所以不是成立的充分条件，故选项C不正确；
对于选项D：满足，同向共线，所以的单位向量与的单位向量相等即，
所以是成立的充分条件，故选项D正确；
故选：D.
【向量相等的应用】
【例3】已知平面四边形ABCD满足，则四边形ABCD是（ ）
A．正方形B．平行四边形C．菱形D．梯形
【解析】在四边形ABCD中， ，所以，且，
所以四边形为平行四边形．
故选：B
变式1：在四边形ABCD中，，，则四边形ABCD是（ ）
A．梯形B．平行四边形C．矩形D．正方形
【解析】∵ ，∴ ，又，∴ 四边形ABCD是梯形，
故选：A.
变式2：下列有关四边形的形状判断错误的是（ ）
A．若，则四边形为平行四边形
B．若，则四边形为梯形
C．若，且，则四边形为菱形
D．若，且，则四边形为正方形
【解析】A选项，，则，所以四边形为平行四边形，A正确.
B选项，，则，所以四边形为梯形，B正确.
C选项，，则，四边形是平行四边形；由于，所以四边形是菱形，C正确.
D选项，，则，所以四边形为平行四边形；由于，所以四边形为菱形，D选项错误.
故选：D
考点二 向量的几何表示
解题方略：
(1)用向量表示的几何问题，要研究其图形的几何特性，然后作出解答.
(2)作向量时，关键是找出向量的起点和终点，如果已知起点，先确定向量的方向，然后根据向量的长度找出终点.
【例4】在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
(1)，使||＝4eq \r(2)，点A在点O北偏东45°方向上；
(2)，使||＝4，点B在点A正东方向上；
(3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°方向上．
【解析】(1)由于点A在点O北偏东45°方向上，又||＝4eq \r(2)，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是确定点A的位置，画出向量．
(2)由于点B在点A正东方向上，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量，如图所示．
(3)由于点C在点B北偏东30°方向上，且||＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3eq \r(3)≈5.2，画出向量．
变式1：某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
（1）作出向量，，；
（2）求 的模．
【解析】（1）作出向量，，；如图所示：
（2）由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 米，CD＝10米，
所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，
所以AD＝＝(米)，所以|米.
考点三 相等向量和共线向量
解题方略：
(1)共线向量和相等向量有何关系？
共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量.
(2)如何利用向量相等或共线证明线段相等、平行问题？
①证明线段相等，只要证明相应的向量长度(模)相等.
②证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不共线.
(3)寻找相等向量的方法：
先找长度相等的向量，再确定哪些是同向的共线向量。
(4)寻找共线向量的方法：
先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向或反向的向量，注意不要漏掉以已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量。
【例5】如图，设是正六边形的中心，则与不相等的向量为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意，，.故选：D.
变式1：如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形.
（1）图中与共线的向量有________；
（2）图中与相等的向量有________；
（3）图中与模相等的向量有_________________；
（4）图中与是______向量（填“相等”或“不相等”）；
（5）与相等吗？
【解析】根据题意得，（1）图中与共线的向量为、、；
（2）与相等的向量有；
（3）图中与模相等的向量有，，，；
（4）相等；
（5）与不相等；
故答案为：（1），，（2）（3），，，（4）相等（5）不相等
变式2：如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的等边三角形，设的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则
（1）与向量相等的向量有______；
（2）与向量共线，且模相等的向量有______；
（3）与向量共线，且模相等的向量有________.
【解析】（1）与向量相等的向量有；
（2）与向量共线，且模相等的向量有；
（3）与向量共线，且模相等的向量有.
故答案为：；；
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