北师版高中数学必修第一册2.3简单的幂函数(二)（课件）

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第二章　函　数§5　简单的幂函数(二)1.理解函数奇偶性的定义；2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法；3.会应用奇、偶函数图像的对称性解决简单问题.问题导学题型探究达标检测学习目标知识点一　函数奇偶性的几何特征思考　下列函数图像中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？答案问题导学 　　　　新知探究 点点落实答案　①②关于y轴对称，③④关于原点对称.一般地，图像关于y轴对称的函数称为 函数，图像关于原点对称的函数称为 函数.偶奇答案知识点二　函数奇偶性的定义思考1　为什么不直接用图像关于y轴(原点)对称来定义函数的奇偶性？答案　因为很多函数图像我们不知道，即使画出来，细微之处是否对称也难以精确判断.思考2　利用点对称来刻画图像对称有什么好处？答案　好处有两点：(1)等价：只要所有点均关于y轴(原点)对称，则图像关于y轴(原点)对称，反之亦然.(2)可操作：要判断点是否关于y轴(原点)对称，只要代入解析式验证即可，不知道函数图像也能操作.答案函数奇偶性的概念：(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内 一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫作偶函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于y轴的对称点(－x，f(x))也在f(x)图像上.(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内 一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫作奇函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于原点的对称点(－x，－f(x))也在f(x)图像上.任意f(－x)＝f(x)任意f(－x)＝－f(x)知识点三　奇偶性与单调性思考　观察偶函数y＝x2与奇函数y＝ 在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性，你有何猜想？答案　偶函数y＝x2在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相反；奇函数y＝ 在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相同.一般地，(1)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是 函数，且有最小值 .(2)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是 .(3)知道了函数的奇偶性，我们可以先研究函数的一半，再利用对称性了解其另一半，从而减少工作量.答案返回增－M增函数解析答案题型探究 　　　　重点难点 个个击破类型一　如何证明函数的奇偶性证明　因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1}，∴对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，(2)证明f(x)＝(x＋1)(x－1)是偶函数；证明　函数的定义域为R，因函数f(x)＝(x＋1)(x－1)＝x2－1，又因f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，所以函数为偶函数.解析答案证明　定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x，都有f(x)＝0，即该函数既是奇函数又是偶函数.解析答案证明　定义域为{x|x≠0}.若x<0，则－x>0，∴f(－x)＝1，f(x)＝－1，∴f(－x)＝－f(x)；若x>0，则－x<0，∴f(－x)＝－1，f(x)＝1，∴f(－x)＝－f(x)；即对任意x≠0，都有f(－x)＝－f(x).∴f(x)为奇函数.解析答案反思与感悟(5)已知f(x)的定义域为R，证明g(x)＝f(－x)＋f(x)是偶函数.证明　∵f(x)的定义域为R，∴g(x)＝f(－x)＋f(x)的定义域也为R.对于任意x∈R，都有g(－x)＝f[－(－x)]＋f(－x)＝f(－x)＋f(x)＝g(x)，∴g(x)是偶函数.反思与感悟　利用定义法判断函数是不是偶函数时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x的值，则－x也一定是定义域内的一个值.解析答案故f(x)为非奇非偶函数.(2)证明f(x)＝x|x|是奇函数；证明　函数的定义域为R，因f(－x)＝(－x)|－x|＝－x|x|＝－f(x)，所以函数为奇函数.解析答案即该函数既是奇函数又是偶函数.证明　定义域为{x|x≠0}.若x<0，则－x>0，∴f(－x)＝x2，f(x)＝－x2，∴f(－x)＝－f(x)；若x>0，则－x<0，∴f(－x)＝－(－x)2＝－x2，f(x)＝x2，∴f(－x)＝－f(x)；即对任意x≠0，都有f(－x)＝－f(x).∴f(x)为奇函数.解析答案解析答案类型二　如何判断函数的奇偶性例2　(1)f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，试判断y＝f(x)＋g(x)，y＝f(x)g(x)，y＝f[g(x)]的奇偶性；解　∵f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＋g(－x)＝－f(x)－g(x)＝－[f(x)＋g(x)]，y＝f(x)＋g(x)是奇函数.f(－x)g(－x)＝[－f(x)][－g(x)]＝f(x)g(x)，y＝f(x)g(x)是偶函数.f[g(－x)]＝f[－g(x)]＝－f[g(x)]，y＝f[g(x)]是奇函数.(2)判断f(x)＝x3＋3x的奇偶性；解　∵y＝x3，y＝3x都是奇函数，由(1)知f(x)＝x3＋3x是奇函数.(3)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d是奇函数，求实数b，d的值.解　由(1)知当b＝d＝0时，f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d是奇函数.反思与感悟判断函数单调性要比证明灵活得多，可以借助图像，也可借助已知奇偶性的函数，在此基础上判断其和、差、积、商、复合的奇偶性.解析答案跟踪训练2　(1)f(x)，g(x)定义在R上，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，试判断y＝f(x)g(x)，y＝f[g(x)]的奇偶性；解　∵f(x)，g(x)定义在R上，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)，y＝f(x)g(x)是奇函数.f[g(－x)]＝f[g(x)]，y＝f[g(x)]是偶函数.解　∵y＝x2＋1是偶函数，y＝x是奇函数，解析答案(3)已知f(x)，g(x)均为奇函数，且F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值5(ab≠0)，求F(x)在(－∞，0)上的最小值.解　∵f(x)，g(x)均为奇函数，∴y＝af(x)＋bg(x)是奇函数.设x<0，则－x>0.由F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值5(ab≠0)，∴F(－x)＝af(－x)＋bg(－x)＋2≤5，∴af(－x)＋bg(－x)≤3，∴af(x)＋bg(x)≥－3，∴af(x)＋bg(x)＋2≥－3＋2＝－1.即F(x)在(－∞，0)上的最小值为－1.解析答案类型三　奇(偶)函数图像的对称性的应用例3　定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图像如图所示.(1)画出f(x)的图像；解　先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图像如右图，(2)解不等式xf(x)>0.解　xf(x)>0即图像上横坐标、纵坐标同号.结合图像可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2).反思与感悟　鉴于奇(偶)函数图像关于原点(y轴)对称，可以用这一特性去画图、求值，求解析式，研究单调性.反思与感悟试画出f(x)的图像，并指出其单调区间.解　显然当x>0时，f(x)>0.又y＝x2＋1为偶函数，y＝x为奇函数，解析答案返回123达标检测41.函数f(x)＝0(x∈R)是(　　)A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数5D答案2.函数f(x)＝ 的奇偶性是(　　)A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数12345A答案3.函数f(x)＝x(－1