北师大版必修1第二章 函数综合与测试学案

第二章《函数》 小结与复习（三）

一、教学目标： 1.熟悉并掌握函数的对称语言.2.进一步熟悉二次函数性质及其应用.3.把握数形结合的特征和方法.4.能够应用函数思想解题.5.了解与函数有关的数学模型.

二、教学重点：数形结合的特征与方法。

教学难点：函数思想的应用

三、授课类型：复习课

四、教学方法：探究归纳，讲练结合

五、教学过程

（一）、引入：

通过上一节学习，大家了解了本章内容的整体结构，明确了本章的重难点知识，并熟悉了有关函数的基本概念和基本方法，这一节，我们将通过例题分析重点掌握数形结合的特征与方法，并进一步认清函数的思想实质，进而掌握其应用.

（二）、例题分析：

例1、若函数f(x)=x+bx+c对任意实数x都有f(2+x)=f(2-x)，那么（    ）

A.f(2)＜f(1)＜f(4)            B.f(1)＜f(2)＜f(4)

C.f(2)＜f(4)＜f(1)            D.f(4)＜f(2)＜f(1)

分析：此题解决的关键是将函数的对称语言转化为对称轴方程.

解：由f(2+x)=f(2-x)可知：函数f(x)的对称轴为x=2,由二次函数f(x)开口方向向，可得f(2)最小，又f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)在x＜2时，y=f(x)为减函数∵0＜1＜2，∴f(0)＞f(1)＞f(2)

即f(2)＜f(1)＜f(4)答案：A

通过此题可将对称语言推广如下：

（1）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(a-x)成立，则x=a是函数f(x)的对称轴；

（2）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(b-x)成立，则x=是f(x)的对称轴.

例2求f(x)=x-2ax+2在［2，4］上的最大值和最小值.  

解：先求最小值.因为f(x)的对称轴是x=a，可分以下三种情况：

（1）当a＜2时，f(x)在［2，4］上为增函数，所以f(x)min=f(2)=6-4a;(2)当2≤a＜4时，f(a)为最小值，f(x)min=2-a;(3)当a＞4时，f(x)在［2，4］上为减函数，所以f(x)min=f(4)=18-8a

综上所述：f(x)min=最大值为f(2)与f(4)中较大者：f(2)-f(4)=(6-4a)-(18-8a)=12+4a

(1)当a≥3时，f(2)≥f(4),则f(x)max=f(2)=6-4a;

(2)当a＜3时，f(2)＜f(4),则f(x)max=f(4)=18-8a.

故f(x)max=

评述：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴x=a与区间［2，4］的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端点取得时，只须比较f(2)与f(4)的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两种情况.

（三）、课堂练习：已知f(x)=x-4x-4,x∈［t,t+1］(t∈R)，求f(x)的最小值φ（t）的解析式.

解：f(x)=(x-2)-8(1)当2∈［t,t+1］时，即1＜t＜2时，φ(t)=f(2)=-8.

(2)当t＞2时，f(x)在［t,t+1］上是增函数，故φ(t)=f(t)=t-4t-4.

(3)当t+1＜2，即t＜1时，f(x)在［t,t+1］上是减函数.故φ(t)=f(t+1)=t-2t-7

综上所述：φ(t)=

（四）、课堂小结：本节学习了二次函数在给定区间上求最值的方法，把握数形结合的特征与方法，逐步掌握函数思想在实际问题中的应用.

（五）、课后作业：1.某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生产业的年利润分别是T和Q（万元），这两项生产与投入的奖金a(万元)的关系是P=，该集团今年计划对这两项生产共投入奖金60万元，为获得最大利润，对养殖业与养殖加工生产业投入应各为多少万元？最大利润为多少万元？

解：设投入养殖业为x万元，则投入养殖加工生产业为60-x万元由题意：

P+Q= (0≤x≤60)设t=,

则0≤t≤,x=60-tP+Q=(60-t)+t=-(t-5)+

∴当t=5时，即x=35时，（P+Q）max=.

∴对养殖业投入35万元，对养殖加工生产业投入25万元，可获最大利润万元.

2、设集合,，函数

（1）设不等式的解集为C，当时，求实数的取值范围；

（2）若对任意实数，均有恒成立，求时，的值域；

（3）当时，证明

答案：（1）     （2）（3）因为对称轴，

故只需证明，，即可

六、教后反思：