高中数学北师大版必修1第二章 函数综合与测试学案设计

(时间90分钟，满分120分)

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)

1．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为      (　　) A．{－1,0,3}　　　　　　　　                            B．{0,1,2,3}

C．{y|－1≤y≤3}      D．{y|0≤y≤3}

解析：当x＝0时y＝0.

当x＝1时y＝－1.当x＝2时y＝0.

当x＝3时y＝3.值域为{－1,0,3}．

答案：A

2．函数f(x)＝－x的图像关于           (　　)

A．y轴对称　　　　　　　　  B．直线y＝－x对称

C．坐标原点对称      D．直线y＝x对称

解析：∵f(－x)＝－＋x＝－f(x)，

∴f(x)为奇函数．

∴其图像关于(0,0)对称．

答案：C

3．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是                                                                                                                              (　　)

解析：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶直至停车，在行进过程中s随时间t的增大而增大，故排除D.另外汽车在行进过程中有匀速行驶的状态，故排除C.又因为在开始时汽车启动后加速行驶的过程中行驶路程s随时间t的变化越来越快，在减速行驶直至停车的过程中行驶路程s随时间t的变化越来越慢，排除B.

答案：A

4．函数y＝f(x)的图像与直线x＝a(a∈R)的交点有       (　　)

A．至多有一个      B．至少有一个

C．有且仅有一个     D．有一个或两个以上

解析：由函数的定义对于定义域内的任意一个x值，都有唯一一个y值与它对应，所以函数y＝f(x)的图像与直线x＝a(a∈R)至多有一个交点(当a的值不在定义域时，也可能没有交点)．

答案：A

5．若函数y＝f(x)，x∈R是奇函数，且f(1)<f(2)，则必有     (　　)

A．f(－1)<f(－2)     B．f(－1)>f(－2)

C．f(－1)＝f(1)      D．f(－2)＝f(1)

解析：∵f(1)<f(2)，

∴－f(1)>－f(2)．

∵y＝f(x)是奇函数，

∴f(－1)>f(－2)．

答案：B

6．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数，则有      (　　)

A．b≥0       B．b≤0

C．c≥0       D．c≤0

解析：作出函数y＝x2＋bx＋c的简图，对称轴为x＝－.

因该函数在[0，＋∞)上是单调函数，故对称轴只要在y轴及y轴左侧即可，故－≤0，所以b≥0.

答案：A

7.幂函数y＝f(x)图像如图，那么此函数为        (　　)

A．y＝x－2

B．y＝x

C．y＝x

D．y＝x

解析：可设函数为y＝xα，将(2，)代入得α＝.

答案：C

8．(2011·安徽高考)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x) ＝2x2－x，

则f(1)＝                (　　)

A．－3       B．－1

C．1        D．3

解析：法一：∵f(x)是定义在R上的奇函数，

且x≤0时，f(x)＝2x2－x，

∴f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.

法二：设x>0，则－x<0，

∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，

又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－2x2－x，

∴f(1)＝－2×12－1＝－3.

答案：A

9．(2011·浙江高考)设函数f(x)＝若f(α)＝4，则实数α＝  (　　)

A．－4或－2　　　　　　　 B．－4或2

C．－2或4      D．－2或2

解析：当α＞0时，有α2＝4，

∴α＝2；当α≤0时，有－α＝4，

∴α＝－4，因此α＝－4或α＝2.

答案：B

10．定义在R上的偶函数在[0,7]上是增函数，又f(7)＝6，则f(x)   (　　)

A．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6

B．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6

C．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6

D．在[－7,0]上是减函数，且最小值是6

解析：由f(x)是偶函数，得f(x)关于y轴对称，其图像可以用右图简单地表示，则f(x)在[－7,0]上是减函数，且最大值为6.

答案：B

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

11．若函数f(x)＝则f(f(f(0)))＝________.

解析：f(0)＝－2，

f[f(0)]＝f(－2)＝(－2＋3)＝1，

f{f[f(0)]}＝f(1)＝1－＝1.

答案：1

12．(2011·浙江高考)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.

解析：由题意知，函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)，

∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，

∴a＝0.

答案：0

13．函数y＝－x2＋2x＋3的值域为________．

解析：y＝－x2＋2x＋3＝－(x2－2x＋1)＋4

＝－(x－1)2＋4.

由二次函数的图像和性质可知y≤4，

∴值域(－∞，4]．

答案：(－∞，4]

14.设函数y＝f(x)是偶函数，它在[0,1]上的图像如图，则它在[－1,0]上的解析式为________．

解析：∵函数y＝f(x)过(1,1)，(0,2)，

y＝f(x)是偶函数，

∴函数y＝f(x)过(0,2)，(－1,1)．

设y＝kx＋b，

∴

∴k＝1.∴y＝x＋2.

答案：f(x)＝x＋2(－1≤x≤0)

三、解答题(本大题共4个小题，共50分)

15．(12分)已知f(x)是定义在[－1,2)上的增函数，若f(a－1)>f(1－3a)，求实数a的取值范围．

解：由题可得

即

解得<a≤，∴实数a的取值范围是<a≤.

16．(12分)已知二次函数f(x)满足条件f(0)＝1及f(x＋1)－f(x)＝2x.

(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)在区间[－1,1]上的最值．

解：(1)据题意，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

∵f(0)＝1，∴c＝1.

又f(x＋1)－f(x)＝2x，

∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－ax2－bx－1＝2x，

∴2ax＋a＋b＝2x.即

解得a＝1，b＝－1.

∴f(x)＝x2－x＋1；

(2)f(x)＝x2－x＋1＝(x－)2＋，

∴f(x)在[－1,1]上f(x)min＝f()＝，

f(x)max＝f(－1)＝3.

即在区间[－1,1]上f(x)的最大值是3，最小值是.

17．(12分)已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.

(1)求实数a，b的值；

(2)判断函数f(x)在(－∞，－1]上的单调性，并加以证明．

解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．

∴＝－＝，

因此b＝－b，即b＝0.

又f(2)＝，

∴＝，

∴a＝2；

(2)由(1)知f(x)＝＝＋，

f(x)在(－∞，－1]上为增函数，

证明：设x1<x2≤－1，

则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)(1－)

＝(x1－x2)·.

∵x1<x2≤－1，

∴x1－x2<0，x1x2>1.

∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．

∴f(x)在(－∞，－1]上为增函数．

18．(14分)小张周末自己驾车旅游，早上八点从家出发，驾车3个小时后到达景区停车场，期间由于交通等原因，小张的车所走的路程s(单位：km)与离家的时间t(单位：h)的函数关系为s(t)＝－5t·(t－13)．由于景区内不能驾车，小张把车停在景区停车场．在景区玩到16点，小张开车从停车场以60 km/h的速度沿原路返回．

(1)求这天小张的车所走的路程s(单位：km)与离家时间t(单位：h)的函数解析式；

(2)在距离小张家60 km处有一加油站，求这天小张的车途经该加油站的时间．
 

解：(1)依题意得，当0≤t≤3时，s(t)＝－5t(t－13)．

∴s(3)＝－5×3×(3－13)＝150.

即小张家距离景点150 km.

小张的车在景点逗留时间为

16－8－3＝5(h)．

∴当3<t≤8时，s(t)＝150.

小张从景点回家所花时间为＝2.5(h)，

故s(10.5)＝2×150＝300.

∴当8<t≤10.5时，s(t)＝150＋60(t－8)＝60t－330.

综上所述，这天小张的车所走的路程

s(t)＝

(2)当0≤t≤3时，

令－5t(t－13)＝60，得

t2－13t＋12＝0，

解得t＝1或t＝12(舍去)．

当8<t≤10.5时，

令60t－330＝2×150－60＝240，

解得t＝.

答：小张这天途经该加油站的时间分别为9点和17时30分．