北师版高中数学必修第一册2.4.2简单的幂函数(一)（课件）

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第二章　函　数§4.2　简单的幂函数(一)1.理解幂函数的概念；2.学会以简单的幂函数为例研究函数性质的方法；3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题.问题导学题型探究达标检测学习目标知识点一　幂函数的概念答案问题导学 　　　　新知探究 点点落实答案　底数为x，指数为常数.如果一个函数底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数.知识点二　幂函数的图像与性质思考　如图在同一坐标系内作出函数(1)y＝x；(2) (3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图像.答案填写下表：RRRRR[0，＋∞)[0，＋∞)[0，＋∞){x|x≠0}{y|y≠0}增增增加减少减少减少答案返回根据上表，可以归纳一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图像都过点 ；(2)α>0时，幂函数的图像通过 ，并且在区间[0，＋∞)上是 函数.特别地，当α>1时，幂函数的图像 ；当0<α<1时，幂函数的图像 ；(3) 时，幂函数的图像在区间(0，＋∞)上是减函数；(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图像关于直线y＝x对称；(5)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图像相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从 到 的顺序排列.(1,1)原点增下凸上凸α<0小大解析答案反思与感悟题型探究 　　　　重点难点 个个击破类型一　幂函数的概念例1　已知 是幂函数，求m，n的值.解析答案跟踪训练1　在函数y＝ ，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　)A.0 B.1 C.2 D.3y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图像比幂函数y＝x0的图像多了一个点(0,1), 所以常函数y＝1不是幂函数.B解析答案反思与感悟解得α＝2，则f(x)＝x2.同理可求得g(x)＝x－2.在同一坐标系里作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图像(如图所示)，观察图像可得：(1)当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；(2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；(3)当－1g(x)，f(x)＝g(x)的几何解释.这种几何解释帮助我们从图形角度解读不等式方程，是以后常用的方法.解析答案跟踪训练2　幂函数y＝xα(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图像是一簇美丽的曲线(如图).设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图像三等分，即有BM＝MN＝NA.那么αβ等于(　　)A.1 B.2C.3 D.无法确定A解析答案类型三　幂函数性质的综合应用例3　(1)探讨函数 的单调性.解　 的定义域为(0，＋∞).任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1x1>0，所以x1－x2<0，于是f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)f(a－1)的实数a的取值范围.解　 ∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2(舍去)，由(1)知f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数.∴f(2－a)>f(a－1)等价于2－a>a－1≥0，123解析答案达标检测45解析　由幂函数的定义知k＝1.C12345答案D12345A答案4.下列是 的图像的是(　　)12345B答案5.以下结论正确的是(　　)A.当α＝0时，函数y＝xα的图像是一条直线B.幂函数的图像都经过(0,0)，(1,1)两点C.若幂函数y＝xα的图像关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大 而增大D.幂函数的图像不可能在第四象限，但可能在第二象限12345答案D返回1.幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准.2.幂函数y＝xα的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α>0时，图像过(0,0)，(1,1)在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降，反之也成立.(2)曲线在第一象限的凹凸性α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸.3.在具体应用时，不一定是y＝xα，α＝－1， ，1,2,3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质.本课结束