高一数学北师大版选修1-1 创新演练阶段质量检测第四章 阶段质量检测教案

(时间90分钟，满分120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知函数y＝(x＋1)2(x－1)，则x＝－1是函数的(　　)

A．极大值点　　　　　　　 B．极小值点

C．最小值点      D．最大值点

解析：∵y＝x3＋x2－x－1，

∴y′＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)，

当x<－1时，y′>0.

当－1<x<时，y′<0.

∴x＝－1是函数的极大值点．

答案：A

2．函数f(x)＝2x2－ln x的递增区间是(　　)

A.       B.

C.      D.和

解析：f′(x)＝4x－＝(x>0)，

令f′(x)>0，得x>.

∴f(x)的单调递增区间为.

答案：C

3．要做一个圆锥漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则其高应为(　　)

A. cm       B．100 cm

C．20  cm      D. cm

解析：设圆锥的高为h，底面圆的半径为R，

则R2＋h2＝l2，其中h为圆锥的高，l为母线长．

V＝πR2h＝π(l2－h2)h，V′＝π(400－3h2)．

令V′＝0，∴h＝.

当0<h<时V′>0，当h>时V′<0，

∴h＝是极大值点，也是最大值点．

答案：A

4．在曲线y＝x3＋x－2的切线中，与直线4x－y＝1平行的切线方程是(　　)

A．4x－y＝0

B．4x－y－4＝0

C．2x－y－2＝0

D．4x－y＝0或4x－y－4＝0

解析：y′＝3x2＋1，又y＝4x－1的斜率k＝4，则3x2＋1＝4⇒x＝1或x＝－1，过点A(1,0)和B(－1，－4)各有一条切线，经检验，A、B均不在4x－y＝1上，故有两条．

答案：D

5．一点沿直线运动，如果经过t s后与起点的距离为s＝t4－t3＋2t2，那么速度为零的时刻是(　　)

A．1 s末       B．0 s

C．4 s末       D．0,1,4 s末

解析：s′＝′－′＋(2t2)′＝t3－5t2＋4t＝0，

∴t＝0,1,4.

答案：D

6．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值与最小值分别是(　　)

A．5，－15      B．5,4

C．－4，－15      D．5，－16

解析：y′＝6x2－6x－12，令y′＝0，得x＝－1,2，

又f(2)＝－15，f(0)＝5，f(3)＝－4，

∴最大值、最小值分别是5、－15.

答案：A

7．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3处取得极值，则a等于(　　)

A．2        B．3

C．4        D．5

解析：∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，

又f(x)在x＝－3处取得极值，

∴f′(－3)＝30－6a＝0.

得a＝5.

答案：D

8．把长为12 cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是(　　)

A. cm2       B．4 cm2

C．3 cm2      D．2 cm2

解析：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4－x) cm，两个三角形的面积和为S＝x2＋(4－x)2＝x2－2x＋4(0<x<4)．

令S′＝x－2＝0，

则x＝2，且x<2时，S′<0,2<x<4时，S′>0.

所以x＝2时，S取最小值2.

答案：D

9．(2011·浙江高考)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图像不可能为y＝f(x)的图像的是(　　)

解析：∵[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝[f′(x)＋f(x)]ex，又x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，

∴f′(－1)＋f(－1)＝0，而选项D中f′(－1)>0，f(－1)>0，故D中图像不可能为y＝f(x)的图像．

答案：D

10．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)(　　)

A．30元       B．60元

C．28 000元      D．23 000元

解析：设毛利润为L(p)，

由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)

＝(8 300－170p－p2)(p－20)

＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，

所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.

令L′(p)＝0，

解得p＝30或p＝－130(舍去)．

此时，L(30)＝23 000.

因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，

右侧L′(p)<0，

所以L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元．

答案：D

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)

11．已知函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1(k>0)的单调减区间是(0,4)，则k的值是________．

解析：f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x，由题意0,4为f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x＝0的两个根，∴k＝.

答案：

12．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是________．

解析：令f′(x)＝3x2＋2ax＋＝0，此方程应有两个不相等的实数根，所以Δ>0.

即4a2－12>0，

∴a2－3a＋2>0，∴a>2或a<1.

答案：(－∞，1)∪(2，＋∞)

13．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为______ cm，宽为________cm，高为________cm时，可使表面积最小．

解析：设底面边长为x cm,2x cm，

则高h＝＝.

∴表面积S＝4x2＋2(x＋2x)·＝4x2＋(x>0)，

则S′＝8x－＝，令S′＝0，则x＝3.

当x>3时，S′>0；当x<3时，S′<0.

∴x＝3时S取极小值，即为最小值．则长为6，宽为3，高为4.

答案：6　3　4

14．已知函数f(x)＝2ln x＋(a＞0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．

解析：f(x)≥2，即a≥2x2－2x2ln x，

令g(x)＝2x2－2x2ln x，则g′(x)＝2x(1－2ln x)．

由g′(x)＝0，得x＝e，0(舍去)，

且0＜x＜e时，g′(x)＞0，当x＞e时，g′(x)＜0，

∴x＝e时，g(x)取最大值g(e)＝e，∴a≥e.

答案：[e，＋∞)

三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分12分)设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.

(1)若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，求实数a的值；

(2)是否存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

解：f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.

(1)    由已知有f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2＝＝1，

(2)    所以a＝9.

(2)因为Δ＝36(a＋2)2－4×18×2a＝36(a2＋4)>0，

所以不存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数．

16．(本小题满分12分)已知f(x)＝ax3＋bx2－2x＋c在x＝－2时有极大值6，在x＝1时有极小值，求a，b，c的值；并求f(x)在区间[－3,3]上的最大值和最小值．

解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx－2，由条件知

解得a＝，b＝，c＝.

(2)f(x)＝x3＋x2－2x＋，

f′(x)＝x2＋x－2＝(x－1)(x＋2)．

列表如下：

由上表知，在区间[－3,3]上，当x＝3时，f(x)取最大值，x＝1时，f(x)取最小值.

17．(本小题满分12分)已知f(x)＝，x∈(0，＋∞)在(0,1)上是减少的，在[1，＋∞)上为增加的，且f(x)的最小值为3，求a、b的值．

解：∵f(x)在(0,1)上是减少的，在[1，＋∞)上是增加的，

∴f(x)在x＝1处取极小值，也是最小值，

∴f′(1)＝0，f(1)＝3.

而f′(x)＝(x＋＋a)′＝1－，

∴f′(1)＝1－b＝0，∴b＝1.

又f(1)＝1＋b＋a＝3，∴a＝1.

故a＝1，b＝1.

18．(本小题满分14分)已知某厂生产x件产品的成本为G＝25 000＋200x＋x2(元)，请问：

(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？

(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？

解：(1)设平均成本为y元，则

y＝＝＋200＋x，

∴y′＝－25 000·＋，

令y′＝0，得x＝1 000(x＝－1 000舍去)．

又当0<x<1 000时，y′<0，当x>1 000时，y′>0，

∴当x＝1 000时，函数取得最小值．因此要使得平均成本最低，应生产1 000件产品．

(2)利润函数L＝500x－(25 000＋200x＋x2)，

∴L′＝300－x，令L′＝0，得x＝6 000.

当在x＝6 000附近左侧时，L′>0；

当在x＝6 000附近右侧时，L′<0.

故当在x＝6 000时，L取得极大值，也是最大值，

因此生产6 000件产品能使利润最大．