数学第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用课堂检测

这是一份数学第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用课堂检测，共35页。试卷主要包含了正弦定理及其变形，常用的三角形面积公式，正弦定理判断三角形解得个数，解答题等内容，欢迎下载使用。


变式：
题型一：已知两角及任意一边解三角形
例1．在中，B=60°，，，则AC边的长等于（ ）
A．B．C．D．
举一反三
1．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，，，则________．
2．如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，已知a=6，A=60°，B=75°.
(1)求角C；
(2)求边c.
题型二：已知两边及一边对角解三角形
例2．在中，角分别对应边，已知，．角，求角．
举一反三
1．在中，内角，，所对的边分别是，，.若，，，则（ ）
A．B．C．或D．或
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，C＝30°，解此三角形．
2．在中，根据下列条件求相应的值.
（1）已知，，，求；
（2）已知，，，求.
题型三：正弦定理边角互化
例3．在中，下列等式中总能成立的是（ ）
A．B．C．D．
举一反三
1．在△ABC中，若，则B＝（ ）
A．B．C．或D．或
2．已知，则________．
二、常用的三角形面积公式
（1）；
（2） （两边夹一角）；
例4在△ABC中，acsB＝bsinA．
（1）求∠B；
（2）若b＝2，c＝2a，求△ABC的面积．
举一反三
已知在中，，分别是角所对的边.
（1）求；
（2）若，，求的面积.
三、正弦定理判断三角形解得个数
已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:（多解情况）
eq \\ac(○,1)若A为锐角时:
eq \\ac(○,2)若A为直角或钝角时:
例5．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则此三角形解的情况为（ ）
A．无解B．只有一解C．有两解D．解的个数不确定
举一反三
1．在中，，，是角，，所对的边，且，，，则等于（ ）
A．60°B．120°C．60°或120°D．135°
2．已知中，内角、、所对的边分别，，，，，，那么满足条件的（ ）
A．有一种情形B．有两种情形
C．不可求出D．有三种以上情形
3．在中，角，，所对的边分别为，，，，，若满足条件的三角形有且只有两个，则边的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
拓展创新
①判断三角形形状
例6．在中，内角、、所对的边分别为、、，若，则的形状一定为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
举一反三
1．在中，内角、、所对的边分别为、、，若，则的形状一定为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
②三角形的周长
例7.的内角，，的对边分别为，，，且满足：.
（1）求；
（2）若面积为，外接圆直径为4，求的周长.
举一反三
在中，角，，的对边分别为，，，满足.
（1）求角；
（2）若，的面积为，求的周长.
基础题.
③求三角形外接圆半径
例8．若中，，则的外接圆半径为（ ）
A．1B．2C．3D．4
举一反三
在中，，，的外接圆半径为，则边c的长为______.
④求三角形最值或取值范围
例9．（1）在中，角，，的对边分别是，，，已知．
（1）求角；
（2）若是的中点，且，求的最大值．
（2）在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若是锐角三角形，且的面积为，求边的取值范围.
举一反三
1．已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角C的大小；
（2）若，求面积的最大值.
2．的内角，，对应边分别为，，，且．
（1）求的大小；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围．
3．在中，角，，所对的边分别为，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的取值范围.
巩固提升
一、单选题
1．在中，角所对的边分别为.若，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．在中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．已知在中，、、分别为角、、的对边，则根据条件解三角形时恰有一解的一组条件是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
二、多选题
5．在中，下列式子与的值相等的有（ ）
A．B．
C．D．(R为ABC的外接圆半径)
6．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
三、填空题
7．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，的面积为，则的周长是______．
8．在中，已知向量，且，记角的对边依次为.若，且是锐角三角形，则的最大值为______________.
四、解答题
9．在锐角中内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若，，求的值.
10．已知的内角A，，的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若的面积为，角的平分线交于，且，求．
11．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求角C的大小；
(2)若的面积，求ab的最小值.
12．如图，在中，已知，A为锐角，边上的两条中线相交于点P，的面积为.
(1)求的长度；
(2)求的余弦值.
正弦定理
一、正弦定理及其变形

变式：
题型一：已知两角及任意一边解三角形
例1．在中，B=60°，，，则AC边的长等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正弦定理直接计算可得答案.
【详解】
由正弦定理， ,得 ,
故选：B.
举一反三
1．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
由正弦定理直接求解可得.
【详解】
由正弦定理可得，则．
故答案为：
2．如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，已知a=6，A=60°，B=75°.
(1)求角C；
(2)求边c.
【答案】(1)C=45°
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据三角形三个内角和等于180°即可求解；
（2）结合已知条件，根据正弦定理即可求解.
(1)
解：在△ABC中，因为A=60°，B=75°，所以角；
(2)
解：在△ABC中，因为a=6，A=60°，又由（1）知C=45°，
所以由正弦定理有，即，解得.
题型二：已知两边及一边对角解三角形
例2．在中，角分别对应边，已知，．角，求角．
1．
【分析】
先通过正弦定理求出，再根据三角形的内角和为求出.
【详解】
解：由正弦定理得，
即，解得，
因为，则必为锐角，
，
.
【点睛】
本题考查正弦定理的应用，是基础题.
举一反三
1．在中，内角，，所对的边分别是，，.若，，，则（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意和正弦定理求出，结合即可求出角B.
【详解】
由正弦定理可得，
则，
故或.
因为，所以，所以.
故选：A
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，C＝30°，解此三角形．
【答案】B=60时，A=90，a=；B=120时，A=30，a=c=
【解析】
【分析】
利用正弦定理即可求解.
【详解】
在△ABC中，由正弦定理可得，
即，解得，
又因为，
所以或，
当时，，
.
当，，
所以△ABC为等腰三角形，所以.
2．在中，根据下列条件求相应的值.
（1）已知，，，求；
（2）已知，，，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理可求.
（2）求出后利用正弦定理可求.
【详解】
（1）由余弦定理可得，故.
（2），
由正弦定理可得，解得.
题型三：正弦定理边角互化
例3．在中，下列等式中总能成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正弦定理辨析即可.
【详解】
对于A，由可得，，不一定成立，故A错误；
对于B，由可得，，不一定成立，故B错误；
对于C，由可得，，即，不一定成立，故C错误；
对于D，由正弦定理可得，，即一定成立，故D正确.
故选：D．
举一反三
1．在△ABC中，若，则B＝（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【解析】
【分析】
由正弦定理化边为角，再由诱导公式，两角和的正弦公式变形可得．
【详解】
因为，由正弦定理得
因为，所以
因为，所以，所以，而B为三角形内角，故．
故选：A．
2．已知，则________．
【答案】2
【解析】
【分析】
由题意结合正弦定理可得，即可得解.
【详解】
，
，
.
故答案为：.
二、常用的三角形面积公式
（1）；
（2） （两边夹一角）；
例4在△ABC中，acsB＝bsinA．
（1）求∠B；
（2）若b＝2，c＝2a，求△ABC的面积．
（1）；（2）．
【分析】
（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解tanB，进而可求B；
（2）由余弦定理及已知条件可求a，c的值，然后结合三角形的面积公式可求．
【详解】
解：（1）在△ABC中，由正弦定理，
因为，
所以，
因为sinA≠0，
所以，
所以tanB，
因为0＜B＜π，
所以，
（2）因为b＝2，c＝2a，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accsB，
可得，
所以a，c，
所以．
【点睛】
此题考查正、余定理的应用，考查三角恒等变换有应用，考查三角形面积公式的应用，属于中档题
举一反三
已知在中，，分别是角所对的边.
（1）求；
（2）若，，求的面积.
（1）；（2）.
【分析】
（1）因为且，可得：，代入正切的倍角公式即可得解；
（2）由题意可得：，所以，，由正弦定理，得，代入面积公式即可得解.
【详解】
（1）因为且，
∴
∴
（2）由，得，
由，所以，
则，
由正弦定理，得，
∴的面积为.
【点睛】
本题考查了三角恒等变换和解三角形，考查了正弦定理和面积公式，是对三角形基本量的计算，该类题型只需正确应用公式即可得解，属于常规考查，是基础题.
三、正弦定理判断三角形解得个数
已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:（多解情况）
eq \\ac(○,1)若A为锐角时:
eq \\ac(○,2)若A为直角或钝角时:
例5．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则此三角形解的情况为（ ）
A．无解B．只有一解C．有两解D．解的个数不确定
【答案】B
【分析】
由正弦定理可得，进而判断解的情况.
【详解】
因为，，，
所以由正弦定理可得，，所以或，
当时，，满足题意；
当时，，不能构成三角形，舍去.
综上，，即三角形的解只有一个.
故选：B．
举一反三
1．在中，，，是角，，所对的边，且，，，则等于（ ）
A．60°B．120°C．60°或120°D．135°
【答案】C
【分析】
利用正弦定理求得，根据大边对大角确定的范围，得到的值.
【详解】
，，，
由正弦定理得,
,，
45
或，
故选：C.
【点睛】
本题考查正弦定理，在已知两边一对角时，利用正弦定理解三角形，注意大边对大角，对另一个对角的范围进行限定，从而做出正确选择.
2．已知中，内角、、所对的边分别，，，，，，那么满足条件的（ ）
A．有一种情形B．有两种情形
C．不可求出D．有三种以上情形
【答案】B
【分析】
由正弦定理，求得角的值，进而做出判定，得到答案.
【详解】
由题意，因为，
由正弦定理，可得，
因为，可得，且，所以或，
所以满足条件的有两种情形.
故选：B.
3．在中，角，，所对的边分别为，，，，，若满足条件的三角形有且只有两个，则边的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
作出图形（如图），计算出到角另一边的距离，由可得结论．
【详解】
如图，作于，，
．若有两解，则，
故选：C．
【点睛】
关键点点睛：本题考查正弦定理解三角形，只有在已知两边和一边对角解三角形时才可能出现两解情形，而这种情形可能通过作图判断，由图也可得出有两解的条件．
拓展创新
①判断三角形形状
例6．在中，内角、、所对的边分别为、、，若，则的形状一定为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
1．B
【分析】
先由正弦定理化简得到，再求出，最后判断三角形形状.
【详解】
解：因为，所以由正弦定理有，
整理得，又因为，所以，
故为直角三角形.
故选：B
【点睛】
本题考查利用正弦定理判断三角形的形状，是基础题.
举一反三
1．在中，内角、、所对的边分别为、、，若，则的形状一定为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
1．B
【分析】
先由正弦定理化简得到，再求出，最后判断三角形形状.
【详解】
解：因为，所以由正弦定理有，
整理得，又因为，所以，
故为直角三角形.
故选：B
【点睛】
本题考查利用正弦定理判断三角形的形状，是基础题.
②三角形的周长
例7.的内角，，的对边分别为，，，且满足：.
（1）求；
（2）若面积为，外接圆直径为4，求的周长.
（1）；（2）.
【分析】
（1）首先将已知等式化简，再利用正弦定理将边化角，即可求出结果；
（2）根据三角形面积公式可得， 再正弦定理可求，再利用余弦定理可求，由此即可求出结果.
【详解】
（1），
得，

∴.
（2）的面积，
由正弦定理可知，
由，
则，
∴的周长为.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.
举一反三
在中，角，，的对边分别为，，，满足.
（1）求角；
（2）若，的面积为，求的周长.
（1）；（2）.
【分析】
（1）由正弦定理可得，结合运算即可；
（2）由余弦定理结合三角形的面积公式可得解.
【详解】
解：（1）由正弦定理可得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，∴，
∵，
则；
（2）由余弦定理可得，
得，
化简得，
又，则，
解得，或，，
所以三角形周长为.
【点睛】
本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了三角形的面积公式，属基础题.
③求三角形外接圆半径
例8．若中，，则的外接圆半径为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用正弦定理，结合题目数据进行运算，即可求出的值.
【详解】
解：根据题意，可知，
由正弦定理得，即，
解得：，所以的外接圆半径为1.
故选：A.
举一反三
在中，，，的外接圆半径为，则边c的长为______.
【答案】3
【解析】
【分析】
根据可求出，再根据正弦定理即可求出边c的长．
【详解】
因为，所以由可得，．
根据正弦定理可得，，所以．
故答案为：3．
④求三角形最值或取值范围
例9．（1）在中，角，，的对边分别是，，，已知．
（1）求角；
（2）若是的中点，且，求的最大值．
（1）；（2）.
【分析】
（1）利用正余弦定理将进行边角互化可得答案；
（2）在中，设，，则，然后由正弦定理可得，然后，利用三角函数的知识可求得答案.
【详解】
（1）因为
所以由正弦定理可得，即
所以由余弦定理可得，所以
因为，所以，即
因为，所以
（2）在中，设，，则
所以
所以
（其中）
因为，所以，即的最大值为
【点睛】
方法点睛：在解决三角形中的最值问题时，常有两种思路：①转化为边，利用基本不等式求
（2）在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若是锐角三角形，且的面积为，求边的取值范围.
（1）；（2）.
【分析】
（1）根据，利用正弦定理化简得，然后在中，由余弦定理求解.
（2）根据是锐角三角形，求得，然后由的面积为求得，则，然后由，利用正切函数的性质求解.
【详解】
（1）因为，
所以，即，
在中，由余弦定理得，
又，
所以，
所以.
（2）因为是锐角三角形，所以，
所以.
因为，
所以.
设的外接圆半径为，
则，
所以，
所以，
，
.
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以.
【点睛】
方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．
举一反三
1．已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角C的大小；
（2）若，求面积的最大值.
（1）；（2）.
【分析】
(1)由正弦定理对已知式子进行边角互化后得，结合余弦定理即可求出角C的大小.
(2) 由（1）可知，从而可求出，结合三角形的面积公式即可求出面积的最大值.
【详解】
（1），，
，.又，.
（2）据（1）求解知，.又，.
又，当且仅当时等号成立，，
，此时.
【点睛】
方法点睛：
在解三角形时，若已知的式子中既有边又有角的正弦值，此时常考虑用正弦定理将角的正弦值用边来代替。若已知式子中含有边的平方，此时常采用余弦定理进行化简.
2．的内角，，对应边分别为，，，且．
（1）求的大小；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围．
（1）；（2）.
【分析】
（1）由，利用余弦定理化简得，再结合余弦定理，即可求解；
（2）由（1）和为锐角三角形， 求得，利用三角恒等变换的公式，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】
（1）因为，由余弦定理，可得，
整理得，又由，
因为，所以.
（2）因为为锐角三角形， 可得，，
因为，所以，可得，
又由
，
因为，可得，
所以的取值范围为.
【点睛】
对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，结合正、余弦定理求解.
3．在中，角，，所对的边分别为，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的取值范围.
（1）；（2）.
【分析】
（1）利用同角三角函数的基本关系及正弦定理将角化边，再利用余弦定理计算可得；
（2）利用正弦定理将边化角，再根据三角函数的性质计算可得；
【详解】
解：（1）由题意知，
即.
由正弦定理，可得.
则由余弦定理，可得.
又因为，所以.
（2）由正弦定理，，
所以，.
则的周长
.
因为，所以，所以，
所以，
所以周长的取值范围是.
【点睛】
解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
巩固提升
一、单选题
1．在中，角所对的边分别为.若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用正弦定理进行求解.
【详解】
由正弦定理得：，即，解得：.
故选：A
2．在中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
利用余弦函数的单调性、大边对大角定理以及正弦定理判断可得出结论.
【详解】
因为、，且余弦函数在上为减函数，
在中，.
因此，“”是“”的充要条件.
故选：C.
3．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由余弦定理得出，再求的面积.
【详解】
由，得．因为，，，所以，故的面积．
故选：D
4．已知在中，、、分别为角、、的对边，则根据条件解三角形时恰有一解的一组条件是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】B
【解析】
【分析】
利用正弦定理求出的值，结合大边对大角定理可判断各选项.
【详解】
对于A选项，由正弦定理可得，且，故有两解；
对于B选项，由正弦定理可得，且，故只有一解；
对于C选项，由正弦定理可得，故无解；
对于D选项，因为，则角为的最大内角，且，故无解.
故选：B.
二、多选题
5．在中，下列式子与的值相等的有（ ）
A．B．
C．D．(R为ABC的外接圆半径)
【答案】CD
【解析】
【分析】
利用正弦定理对选项进行一一验证，即可得答案；
【详解】
对A，取，显然，故A错误；
对B，取，，故B错误；
对C，D，，，
故C，D正确；
故选：CD
6．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据正弦定理和二倍角公式进行求解.
【详解】
∵
∴由正弦定理得，
∵
∴，即
∴或，即该三角形为等腰三角形或直角三角形.
故选：AC.
三、填空题
7．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，的面积为，则的周长是______．
【答案】##
【解析】
【分析】
由题得,结合正弦定理及面积公式可求a,c，进而利用余弦定理可求b，即得.
【详解】
∵在中， ，
由正弦定理得，又，的面积为，
∴，
∴，
由余弦定理,可得:，
解得，
故的周长是.
故答案为：.
8．在中，已知向量，且，记角的对边依次为.若，且是锐角三角形，则的最大值为______________.
【答案】8
【解析】
【分析】
根据向量模的坐标运算，可得，进而可得，再根据正弦定理可得，由此可得，再根据三角函数的性质，即可求出结果.
【详解】
由题意得：向量，且，
则，
即，因为，所以即，
因为，由正弦定理得：
，即，
则
，
因为是锐角三角形，即且，
所以，即有，
所以有，
所以的最大值为8.
故答案为：8
四、解答题
9．在锐角中内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若，，求的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由2倍角公式统一角度与函数名称后解方程即可；
（2）先由余弦定理求得，再用正弦定理求解.
(1)
所以或者（舍去），又，所以；
(2)
由余弦定理，所以（时不是锐角三角形，舍去）.
所以，可得.
10．已知的内角A，，的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若的面积为，角的平分线交于，且，求．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理化角为边，得到，进而求出；（2）利用三角形面积公式得到，由面积公式得到，进而利用余弦定理求出.
(1)
由正弦定理及，得，
所以．因为，所以．
(2)
因为，
所以，即．又，所以．
易知方程组有解且，均大于0，
由余弦定理得：，所以．
11．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求角C的大小；
(2)若的面积，求ab的最小值.
【答案】(1)；
(2)48.
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理及三角形内角的性质可得，即可得C的大小；
（2）根据三角形面积公式、余弦定理，结合基本不等式即可求ab的最小值，注意等号成立条件.
(1)
由已知及正弦定理得：，又，
所以，即且，
所以.
(2)
由题意知：，即，
由余弦定理知：，即，因此，当且仅当时取等号，
所以ab的最小值为48.
12．如图，在中，已知，A为锐角，边上的两条中线相交于点P，的面积为.
(1)求的长度；
(2)求的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）运用面积公式得到，再结合条件可求解；
（2）根据中线分别求出，再运用余弦定理可求解.
(1)
由题知，，所以，又因为，
所以或.
因为A为锐角，所以.
在中，由余弦定理知，
整理得，
解得.
(2)
因为，
所以.
，
所以，
.
所以的余弦值为.