2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修二专题4.7 数列（能力提升卷）

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专题4.7 数列（能力提升卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考一模）已知等差数列的公差为，其前n项和为．若成等比数列，则一定有（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由条件得到，利用等差数列的通项公式代入解方程可得，再利用等差数列的通项公式和求和公式逐项计算判断即可.【详解】因为成等比数列，则，解得，A错误；，B错误；，C错误；，D正确.故选：D.2．（2024·河南·高三校联考阶段练习）设是的前项和，，且，则A．-66 B．77 C．88 D．99【答案】C【解析】由与的关系可得是以为首项，为公差的等差数列，再由等差数列前项和公式求解即可.【详解】解：因为，所以，所以.又，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以.故选：C.【点睛】本题考查了与的关系，重点考查了等差数列前项和公式，属基础题.3．（2023下·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考期中）设等差数列{}的前n项和为，若，则当取得最大值时，＝（    ）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】根据条件，利用等差数列的性质可得出，，即可求解.【详解】在等差数列{}中，由，得，则，又，∴，，则当取得最大值时，．故选：C4．（2023下·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考期末）已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据是递增数列，结合的通项公式有，解之得的范围【详解】由题意，数列是递增数列1、当时，有；2、当时，有；3、，即综上，有故选：C【点睛】本题考查了数列的单调性，利用数列的单调性列不等式求参数范围，属于简单题5．（2023下·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为有最小值，且，则使成立的正整数n的最小值为（     ）A．9 B．10 C．17 D．18【答案】D【分析】根据题意可得且，结合等差数列的单调性可得且，再利用等差的下标和性质运算求解.【详解】由题意可知：等差数列的前n项和为有最小值，则且，所以数列是递增数列，可得是过原点的二次函数式，且开口向上，因为，可得，则又因为，可得，则，所以使成立的正整数n的最小值为18.故选：D.6．（2023下·高二单元测试）已知数列的前项和为，，且满足.则取最小值时，取值为（    ）A．4 B．8 C．9 D．【答案】A【分析】结合已知条件可得是等差数列，进而求出的通项公式，然后根据通项公式的特征即可求解.【详解】因为，所以，因为，则，所以是首项为，公差为1的等差数列，从而，即，从而易知，数列中仅有，，为负，因为，，，所以取最小值时，.故选：A.7．（2024·全国·高三专题练习）已知数列的首项是，前项和为，且，设，若存在常数，使不等式恒成立，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先由数列通项与前项和的关系得到数列的递推关系，再构造等比数列，求数列的通项公式，进一步求出数列的通项公式，从而可求数列通项公式，代入所求式子，分子、分母同除以构造基本不等式即可求出的最大值，从而求出的最小值.【详解】因为，当时，得，两式相减得，所以，又，，所以，，所以数列是以为首项、为公比的等比数列，故，所以，所以，当且仅当时等号成立，故，即的最小值为.故选：C【点睛】本题主要考查数列通项与前项和的关系、由递推关系求数列通项公式、等比数列和等差数列的定义性质、基本不等式等知识，还考查了运算求解的能力，属于难题.8．（2023下·浙江·高一统考期末）已知数列满足，（且），且数列是递增数列，数列是递减数列，又，则A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知条件可以推出，当为奇数时，，当为偶数时，，因此去绝对值可以得到，，利用累加法继而算出结果．【详解】，即，或，又，．数列为递增数列，数列为递减数列，当为奇数时，，当为偶数时，，． ．故选A．【点睛】本题主要考查了通过递推式求数列的通项公式，数列单调性的应用，以及并项求和法的应用．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（2023下·浙江杭州·高二校联考期中）已知正项等比数列，其前项和为，且成等差数列，，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据成等差数列可求公比，结合可求首项，结合选项可得答案.【详解】设等比数列的公比为，因为成等差数列，所以，所以，即，解得或；因为正项等比数列满足，所以；因为，所以；；；故答案为：AC.10．（2023上·山东济宁·高三统考期中）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件，且，，下列结论正确的是（    ）A． B．C．数列无最大值 D．是数列中的最大值【答案】ABD【分析】由，结合，得到，再由得到，然后逐项判断.【详解】根据题意，等比数列的公比为q，若，则，又由，必有，则数列各项均为正值，若，必有，，则必有，依次分析选项：对于A，数列各项均为正值，则，必有，A正确；对于B，若，则，B正确，对于C，根据，可知是数列中的最大项，C错误；对于D，易得D正确，故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题关键是由条件结合，确定公比，明确数列的单调性.11．（2024上·辽宁抚顺·高三校联考期末）已知，均是由自然数构成的数列，且，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由题意，判断出的取值范围，进而得出数列的通项公式，依次判断选项.【详解】由，得，又，故，得，即，记表示不大于的最大整数，因为，所以，故，则，A正确；若，则，，故，所以，即，B不正确.当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.故，C正确.，则，D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：解题的关键在于判断出的取值范围，求得数列的通项公式.12．（2024·江苏泰州·统考模拟预测）若正整数m．n只有1为公约数，则称m，n互质，对于正整数k，（k）是不大于k的正整数中与k互质的数的个数，函数（k）以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，．已知欧拉函数是积性函数，即如果m，n互质，那么，例如：，则（    ）A．B．数列是等比数列C．数列不是递增数列D．数列的前n项和小于【答案】ABD【分析】根据欧拉函数定义及运算性质，结合数列的性质与求和公式，依次判断各选项即可得出结果.【详解】，A对；∵2为质数，∴在不超过的正整数中，所有偶数的个数为，∴为等比数列，B对；∵与互质的数为共有个，∴又∵=，∴一定是单调增数列，C错；，的前n项和为，D对.故选：ABD．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2024·黑龙江·统考模拟预测）已知数列，，且，则 ．【答案】【分析】首先根据题意得到，再根据求解即可.【详解】.故答案为：14．（2024·陕西咸阳·高二校考阶段练习）已知数列 ​满足:​， 则数列​的前​项和​为 【答案】【分析】类比与的关系，分类讨论与两种情况，证得，再代入，从而利用分组求和法即可求得.【详解】因为，所以当​时，​， 故​；当​时，​，则，​两式相减得:​，故​，经检验:满足，所以当​时，​，所以​，故​.故答案为：.15．（2023·广东广州·广州市第二中学校考模拟预测）数列满足，数列满足，设，且对任意且，有，则实数p的取值范围为 .【答案】【分析】推导出是中的较小者，是递减数列，是递增数列，是的最大者，时递增，时递减，由此能求出实数p的取值范围．【详解】当时，，当时，，∴是中的较小者，由，∴是递减数列，由，∴是递增数列，∵，∴是的最大者，时递增，时递减，∴时， 总成立，当时，成立，，时， 总成立，当时， 成立，∴， 或， 若，即，∴，则，∴，，故， 若，即，∴，∴，那么，即，∴，故，综上，，实数p的取值范围为．故答案为：．16．（2024·山东济南·高三山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）著名的斐波那契数列满足，，其通项公式为，则是该数列的第 项； ．【答案】 2024 322【分析】空1：根据题意可得，根据题意结合裂项相消法运算求解；空2：分析可知，结合递推公式运算求解.【详解】空1：因为，即，则，可得，所以，即是该数列的第2024项；空2：因为，又因为，则，所以.故答案为：2024；322.解答题（共6小题，满分70分）17．（2024·四川·高三阶段练习）已知等差数列的前项和为，公差为，且是，的等比中项.(1)求；(2)若，求的值.【答案】(1)a1=1(2)9【分析】(1)用及给定公差表示，，再列式计算即得.(2)由(1)的结论求出数列的前项和为，列出关于n的方程并求解即可作答.【详解】（1）因等差数列的公差为，则，，又是，的等比中项，即，于是得，解得，所以.（2）由(1)知，，而，于是得，解得，所以的值是9.18．（2024·北京·高二期末）设是等差数列，且，．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和为.【答案】(1)；(2).【分析】(1)根据给定条件列出方程组，求出公差d和首项即可计算得解.(2)利用(1)的结论求出，再利用分组求和法求出数列前n项和.【详解】（1）设等差数列的公差为d，因，，则有，解得，于是得，所以数列的通项公式为.（2）由(1)得： ，则所以数列的前n项和为.19．（2024·湖南娄底·高二娄底一中校考开学考试）已知数列满足，．（1）证明：数列为等差数列；（2）求数列的前项之和．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）将递推公式两边取倒数，即可得到，从而得解；（2）利用错位相减法求和即可；【详解】解：（1）依题意，，也即，因此数列是以1为首项，1为公差的等差数列．（2）由（1）知，所以，因此，两边同乘以2得：，两式相减得：，因此．【点睛】本题考查构造法求数列的通项公式以及错位相减法求和，属于中档题.20．（2024·河南平顶山·高二阶段练习）已知函数，函数在上的零点按从小到大的顺序构成数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根据二倍角公式以及同角三角函数关系化简函数得，再解三角方程得，判断出数列是首项，公差的等差数列，根据等差数列通项公式求得数列的通项公式；（2）化简为，利用裂项相消法求数列的前项和．【详解】（1） .由及解得： ，所以数列是首项，公差的等差数列，所以．（2）因为，所以，所以数列的前项和 ．【点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.21．（2024·福建厦门·高三厦门外国语学校校考阶段练习）设是数列的前项和，已知(1)求，并证明：是等比数列；(2)求满足的所有正整数.【答案】(1)，证明见解析(2)1，2【分析】（1）利用代入计算即可求得，由等比数列定义可求得，即可得出证明；（2）利用数列分组求和可得出，再利用二次函数及指数函数单调性即可求得结果.【详解】（1）由可得，所以，可得；由已知得，所以，其中，所以是以为首项，为公比的等比数列；（2）由（1）知，所以，所以，所以，由二次函数及指数函数性质可知当时，单调递减，其中，所以满足的所有正整数为1，2.22．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）设等差数列的公差为，根据，，列出方程组，求得的值，即可得到数列的通项公式.（2）由，得到当时，，两式相减求得，进而求得数列的通项公式，结合数列的单调性，即可求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，可得，解得，，所以，即数列的通项公式.（2）因为，当时，，两式相减可得：，所以 又由时，，所以，也符合上式，所以，又因为，可得当时，；当时，，所以数列先单调递增再递减，可得，所以.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式求解，利用数列的递推公式求解数列的通项公式，以及数列的单调性的判定及应用，其中解答中熟练化简数列的递推公式，得出数列的通项公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.