2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修二专题5.1 利用导数研究函数的单调性（4类必考点）

这是一份2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修二专题5.1 利用导数研究函数的单调性（4类必考点），文件包含专题51利用导数研究函数的单调性4类必考点原卷版docx、专题51利用导数研究函数的单调性4类必考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。

专题5.1 利用导数研究函数的单调性TOC \o "1-3" \t "正文,1" \h HYPERLINK \l "_Toc4578" 【考点1：利用导数求不含参函数的单调性】  PAGEREF _Toc4578 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc26099" 【考点2：由函数的单调性求参】  PAGEREF _Toc26099 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc28239" 【考点3：分类讨论法求含参函数的单调区间】  PAGEREF _Toc28239 \h 101．函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．2．由函数的单调性与导数的关系可得的结论(1)函数f(x)在(a，b)内可导，且f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.当x∈(a，b)时，f′(x)≥0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递增；f′(x)≤0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递减．(2)f′(x)>0(<0)在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增(减)的充分条件．[方法技巧]导数法研究函数f(x)在(a，b)内单调性的步骤(1)求f′(x)；(2)确定f′(x)在(a，b)内的符号；(3)作出结论：f′(x)＞0时为增函数；f′(x)＜0时为减函数．[提醒]　研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．　　[方法技巧]　用导数求函数单调区间的三种类型及方法[方法技巧]由函数的单调性求参数取值范围的方法(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围，注意检验等号成立时导数是否在(a，b)上恒为0.(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集，即f′(x)max>0(或f′(x)min<0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．【考点1：利用导数求不含参函数的单调性】【知识点：利用导数求函数的单调性】1．（2023上·江苏常州·高二统考期末）函数的单调减区间为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出导数，利用导数小于0可得答案.【详解】函数的定义域为，，由得，所以的单调减区间为.故选：D.2．（2023上·江苏·高二专题练习）已知函数，则（    ）A．是奇函数，且在单调递减B．是奇函数，且在单调递增C．是偶函数，且在单调递减D．是偶函数，且在单调递增【答案】D【分析】根据偶函数的定义分析可知是偶函数，再利用导数判断原函数的单调性.【详解】因为的定义域为，定义域关于原点对称，且，所以是偶函数，又因为，当时，则，可得，则，所以在单调递增．故选：D．3．（2023下·高二单元测试）函数的单调减区间可以为（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】求出函数的导数，解不等式，即可求得答案.【详解】由题意得，令，解得或，结合选项可知函数的单调减区间可以为,,故选:AC.4．（2023·广西·模拟预测）函数的单调递增区间为 ．【答案】【分析】先确定函数定义域，利用导数与函数单调性的关系求单调增区间.【详解】函数的定义域为，，由得或（因为，故舍去），所以在区间上单调递增．故答案为：5．（2023上·北京西城·高三北师大实验中学校考阶段练习）函数在上的单调递减区间为 .【答案】【分析】根据原函数单调递减，则导函数小于零，根据导函数小于零解不等式即可.【详解】由题意知，.即，，因为，所以，所以在中，，所以在上的单调递减区间为.故答案为：6．（2023下·辽宁阜新·高二校考期末）求函数的单调区间【答案】单调递增区间是，单调递减区间是和.【分析】根据导数的正负，求解函数的单调区间.【详解】，，即，解得：，，即，解得：或，所以函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是和.【考点2：由函数的单调性求参】【知识点：由函数的单调性求参】1．（2024·福建南平·高二福建省南平第一中学校考阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用导数与函数的关系将问题转化为恒成立问题，从而得解.【详解】因为，所以，因为在区间上单调递减，所以，即，则在上恒成立，因为在上单调递减，所以，故.故选：A.2．（2023上·福建泉州·高三福建省泉州第一中学校考阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题.【详解】因为函数在上存在单调递增区间，所以存在，使成立，即存在，使成立，令，， 变形得，因为，所以，所以当，即时，，所以，故选：D．3．（2023上·宁夏·高三石嘴山市第三中学校考期中）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根据函数解析式得到函数的定义域，再求出导函数，从而根据条件得到关于的不等式组，进而求解即可．【详解】由，则函数的定义域是，又函数在区间上单调递减，由，得，所以，解得，所以实数的取值范围是．故选：A．4．（2024·江苏·高二专题练习）已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点，对函数求导，对分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的不等式，即可求出结果．【详解】由.①当时，函数单调递增，不合题意；②当时，函数的极值点为，若函数在区间不单调，必有，解得；综上所述：实数a的取值范围为.故选：B.5．（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）己知函数在上是单调递增函数，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据区间单调性得对任意恒成立，即，利用导数研究右侧单调性，进而求参数a的范围.【详解】因为函数在上是单调递增函数，所以对任意恒成立，所以，令，则，所以在内为减函数，所以，则．故选：C6．（2023·陕西商洛·统考一模）已知函数在 上单调递增，则a的最大值是（    ）A．0 B． C．e D．3【答案】A【分析】求得，根据题意转化为恒成立，设，利用导数求得函数的单调性和最小值，即可求解.【详解】由函数，可得，因为在上单调递增，所以恒成立，即恒成立，设，则，当时，；当时，，则在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以实数的最大值为．故选：A.7．（2024上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可得在区间上恒成立，即在区间上恒成立，设，利用导数求出可得答案.【详解】在区间上恒成立，即在区间上恒成立，设，则，所以在上单调递增，则，所以，则的最小值为.故选：C.8．（2023下·河南焦作·高二焦作市第十一中学校考期末）已知函数在，上为增函数，在（1，2）上为减函数，则实数a的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求导得到，然后根据在，上为增函数，在（1，2）上为减函数，由求解即得.【详解】由，得，∵在，上为增函数；上为减函数,∴两根分别位于和中，得，即，解得.故选：B9．（2024上·四川绵阳·高三统考阶段练习）己知函数.(1)求曲线在处的切线方程：(2)若在上是单调函数，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用导数的几何意义，即可求切线方程；（2）首先由，确定在上恒成立，再讨论和两种情况，分区间讨论，即可求解的取值范围.【详解】（1），且，，所以曲线在处的切线方程为；（2）因为，且在上是单调函数所以在上恒成立，即在上是单调递增函数，若，则在上恒为正数，在上单调递增，只需，得，若，则在上恒为正数，而在上单调递减，则只需，得，综上可知，的取值范围是.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是确定恒成立，再分情况，分区间讨论，转化为最值问题.【考点3：分类讨论法求含参函数的单调区间】【知识点：分类讨论法求含参函数的单调区间】1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=alnx+x−1xa∈R．当a<0时，讨论函数fx的单调性；【答案】答案见解析【分析】先求出fx的定义域以及f'x，再分−2≤a<0，a<−2两种情况解不等式f'x>0和f'x<0即可得函数fx的单调性.【详解】解：易知fx的定义域为0,+∞， 由fx=alnx+x−1x可得且f'x=1x2+ax+1=x2+ax+1x2，由Δ=a2−4=0可得a=2或a=−2，（1）当−2≤a<0时，x2+ax+1≥0恒成立，此时f'x=x2+ax+1x2≥0恒成立，所以fx在0,+∞上是增函数；（2）当a<−2时，由x2+ax+1=0得x=−a±a2−42，记x1=−a−a2−42，x2=−a+a2−42，当0x2时，f'x>0，当x10（或f'x<0）解出相应的x的范围，对应的区间为fx的增区间（或减区间）；（2）确定函数fx的定义域；求导函数f'x，解方程f'x=0，利用f'x=0的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论f'x的正负，由符号确定fx在子区间上的单调性.2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=x2−kx−kex，求f(x)的单调区间；【答案】答案见解析【分析】先对函数求导后，再分k=−2，k>−2和k<−2三种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间.【详解】函数的定义域为−∞,+∞，f'x=2x−kex+x2−kx−kex＝exx2+2−kx−2k＝exx+2x−k，令f'x=0，得x=k或x=−2当k=−2时，f'x≥0，f(x)单调递增区间为−∞,+∞当k>−2时，f(x)与f'(x)随x的变化情况如下表：当k<−2时，f(x)与f'(x)随x的变化情况如下表：综上：当k=−2时，f(x)单调递增区间为−∞,+∞；当k>−2时，f(x)单调递增区间为−∞,−2和k,+∞，单调递减区间−2,k；当k<−2时，f(x)单调递增区间为−∞,k和−2,+∞，单调递减区间k,−2.3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=alnx+2x，讨论函数fx的单调性；【答案】当a≥0时，函数fx在0,+∞上单调递增；当a<0时，函数fx在0,−a2上单调递减，在−a2,+∞上单调递增.【分析】求导后，分类讨论a，利用导数的符号可得结果.【详解】f'x=ax+2=a+2xx，x>0，①当a≥0时，f'x>0，函数fx在0,+∞上单调递增；②当a<0时，令f'x<0，得00，得x>−a2，所以函数fx在0,−a2上单调递减；fx在−a2,+∞上单调递增.综上所述，当a≥0时，函数fx在0,+∞上单调递增；当a<0时，函数fx在0,−a2上单调递减，在−a2,+∞上单调递增.4．（2023·全国·高二专题练习）已知函数f(x)=x3−ax2+3x+1.讨论f(x)的单调性；【答案】见解析【分析】求出函数的导函数，分Δ≤0和Δ>0两种情况讨论，分别求出函数的单调区间.【详解】由题意可知f(x)的定义域为R，f'x=3x2−2ax+3，令f'x=0，可得3x2−2ax+3=0，方程3x2−2ax+3=0的判别式Δ=4a2−9，①当Δ≤0，即−3≤a≤3时f'x≥0，f(x)在R上单调递增；②当Δ>0，即a<−3或a>3时，由3x2−2ax+3=0，解得x1=a−a2−93，x2=a+a2−93令f'x>0，则xx2；令f'x<0，则x13时，f(x)在−∞,a−a2−93上单调递增，在a−a2−93,a+a2−93上单调递减，在a+a2−93,+∞上单调递增.5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=xex−ax2+2x，a>0.讨论fx的单调性；【答案】答案见解析【分析】求导，根据ln2a与−1的大小关系，即可分类讨论求解.【详解】f'x=x+1ex−2a ，当ln2a>−1即a>12e时，f'(x)>0⇔x>ln2a或x<−1，故fx在−∞,−1和ln2a,+∞上单调递增，在−1,ln2a上单调递减；当ln2a=−1即a=12e时，f'x≥0，fx在R上单调递增；当ln2a<−1即00⇔x>−1或x12e时，故fx在−∞,−1和ln2a,+∞上单调递增，在−1,ln2a上单调递减；a=12e时， fx在R上单调递增；00，分别讨论导函数的正负即可得出答案.【详解】f(x)=1+alnxx，定义域为0，+∞，f'(x)=a−(1+alnx)x2=a−1−alnxx2，当a=0时，f'(x)=a−(1+alnx)x2=−1x2<0恒成立，则fx在0,+∞上为减函数；当a>0时，令f'(x)>0，可得a−1−alnx>0，则lnxea−1a， 综上，当a=0时，fx的减区间为0,+∞； 当a>0时，fx的单调递增区间为0,ea−1a，单调递减区间为ea−1a,+∞. 7．（2021春·天津蓟州·高二校考期末）已知函数fx=12x2−alnx. (1)若a=2，求fx在1,f1处的切线方程； (2)讨论fx在1,e上的单调性. 【答案】(1)2x+2y−3=0 (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义是切线斜率即可求解； （2）分类讨论参数，并结合端点值进行比较即可求解. 【详解】（1）当a=2时，fx=12x2−2lnx，f'x=x−2x ∴f'1=−1，f1=12 ∴fx在1,f1处的切线方程为y−12=−x−1， 即2x+2y−3=0. （2）f'x=x−ax=x2−ax,x>0.①a≤0时，f'x>0，fx在1,e为单调递增.若a>0，所以令f'x=0得x=a.②若a≤1，即00，∴fx在1,e上单调递增；③若10，∴fx单调递增. ④若a≥e，即a≥e2，则x∈1,e时，f'x<0， ∴fx在1,e上单调递减. 综上所述，当a≤1时，fx在1,e上单调递增； 当10 ，函数fx在0,12上单调递增；当x∈12,2时，f'x<0，函数fx在12,2上单调递减；当x∈2,+∞时，f'x>0，函数fx在2,+∞上单调递增；所以函数fx的单调递增区间有0,12和2,+∞；（2）由fx=12x2−a2+1ax+lnx可得：f'(x)=x−a2+1a+1x=ax2−(a2+1)x+aax=ax−1(x−a)ax.①当a<0时， f'x>0，fx在0,+∞上单调递增；②当00时，fx在0,a上单调递增； x∈a,1a时，f'x<0时，fx在a,1a上单调递减；x∈1a,+∞时， f'x>0，fx在1a,+∞上单调递增；.③当a=1时，f'(x)≥0，且仅在x=1时，f'(x)=0，所以函数fx在0,+∞上单调递增；④当a>1时，x∈0,1a时，f'x>0时，fx在0,1a上单调递增； x∈1a,a时，f'x<0时，fx在1a,a上单调递减；x∈a,+∞时， f'x>0，fx在a,+∞上单调递增；.综上所述，当a<0时，函数fx在0,+∞上单调递增；当01时，函数fx在0,1a和a,+∞上单调递增，在1a,a上单调递减；9．（2023·全国·高二专题练习）已知函数fx=12x2−a2+1ax+lnx．(1)当a=2时，求函数fx的单调增区间．(2)讨论函数fx的单调性．【答案】(1)函数fx的单调递增区间有0,12和2,+∞；(2)答案见解析.【分析】（1）求出导函数，根据导函数与函数的单调性的关系求单调递增区间；（2）求出导函数，通过对a的分类讨论，结合导数与函数单调性的关系求解.【详解】（1）函数fx=12x2−a2+1ax+lnx的定义域为0,+∞，当a=2时，fx=12x2−52x+lnx，所以f'(x)=x−52+1x=2x2−5x+22x=2x−1x−2x.故当x∈0,12时，f'x>0 ，函数fx在0,12上单调递增；当x∈12,2时，f'x<0，函数fx在12,2上单调递减；当x∈2,+∞时，f'x>0，函数fx在2,+∞上单调递增；所以函数fx的单调递增区间有0,12和2,+∞；（2）由fx=12x2−a2+1ax+lnx可得：f'(x)=x−a2+1a+1x=ax2−(a2+1)x+aax=ax−1(x−a)ax.①当a<0时， f'x>0，fx在0,+∞上单调递增；②当00时，fx在0,a上单调递增； x∈a,1a时，f'x<0时，fx在a,1a上单调递减；x∈1a,+∞时， f'x>0，fx在1a,+∞上单调递增；.③当a=1时，f'(x)≥0，且仅在x=1时，f'(x)=0，所以函数fx在0,+∞上单调递增；④当a>1时，x∈0,1a时，f'x>0时，fx在0,1a上单调递增； x∈1a,a时，f'x<0时，fx在1a,a上单调递减；x∈a,+∞时， f'x>0，fx在a,+∞上单调递增；.综上所述，当a<0时，函数fx在0,+∞上单调递增；当01时，函数fx在0,1a和a,+∞上单调递增，在1a,a上单调递减；f′(x)>0(<0)可解先确定函数的定义域，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间f′(x)＝0可解先确定函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出实数根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从大到小的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f′(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间f′(x)>0(<0)及f′(x)＝0不可解先确定函数的定义域，当不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0及方程f′(x)＝0均不可解时，求导并化简，根据f′(x)的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定f′(x)的符号，得单调区间x−∞,−2−2−2,kkk,+∞f'(x)+0−0+f(x)↗极大值↘极小值↗x−∞,kkk,−2−2−2,+∞f'(x)+0−0+f(x)↗极大值↘极小值↗