高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第1课时当堂检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第1课时当堂检测题，共22页。

【夯实基础】
一、单选题
1．(2023·陕西汉中·高一期末）若关于x的不等式的解集是R，则m的取值范围是（ ）
A．（1，+∞）B．（0，1）C．（1，1）D．[1，+∞）
2．(2023·江苏·高一专题练习）已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A．B．或C．D．或
3．（2023·全国·高一专题练习）一元二次方程的根的情况是（ ）．
A．方程没有实数根
B．方程有两个相等的实数根
C．方程有两个不相等的实数根
D．方程的根是、和
4．(2023·江苏·高一）已知不等式的解集为，则（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·全国·高一课时练习）若关于x的一元二次不等式的解集为，则实数m满足（ ）
A．或B．
C．或D．
6．(2023·广东珠海·高一期末）不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．，或
7．(2023·全国·高一单元测试）不等式的解集为（ ）
A．或B．
C．或D．
8．（2023·广东·普宁市华侨中学高一阶段练习）已知不等式的解集是，则（ ）
A．-10B．-6C．0D．2
二、多选题
9．（2023·全国·高一课前预习）下列四个不等式中，解集为的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·全国·高一专题练习）下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（ ）
A．3x+4<0B．x2+mx-1>0
C．ax2+4x-7>0D．x2<0
三、填空题
11．(2023·全国·高一单元测试）若方程有唯一的实数根3，则不等式的解集为______．
12．（2023·重庆复旦中学高一开学考试）已知关于的二次方程有一正数根和一负数根，则实数的取值范围是_____．
13．（2023·新疆·乌鲁木齐市第四中学高一期中）设k为实数，若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是__________.
14．(2023·江苏·高一）若关于x的不等式的解集为，则实数m的值为______.
15．(2023·湖南衡阳·高一期末）已知，则关于的不等式的解集是________.（用区间表示）
四、解答题
16．（2023·浙江·高一期末）已知不等式x²−2x+5−2a0.
（1）若不等式对于任意实数x恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若存在实数a∈[4,]使得该不等式成立，求实数x的取值范围.
【能力提升】
一、单选题
1．(2023·江苏·高一专题练习）若不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A．B．或
C．D．
2．(2023·全国·高一单元测试）已知，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．(2023·全国·高一单元测试）不等式的解集是，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·江苏·苏州中学高一阶段练习）关于x的不等式的解集为，则下列正确的是（ ）
A．
B．关于x的不等式的解集为
C．
D．关于x的不等式的解集为
三、填空题
5．(2023·全国·高一单元测试）“，”是假命题，则实数的取值范围为 _________ .
6．(2023·湖南·雅礼中学高一开学考试）若二次函数在时的最大值为3，那么m的值是________．
7．(2023·全国·高一课时练习）已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是______．
8．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，．设，．记的最小值为A，的最大值为B，则______．
9．（2023·全国·高一课时练习）若存在实数满足，则实数a的取值范围是________．
四、解答题
10．(2023·全国·高一单元测试）已知函数．
(1)若不等式的解集为R，求m的取值范围；
(2)解关于x的不等式；
(3)若不等式对一切恒成立，求m的取值范围．
11．（2023·广东·化州市第三中学高一期中）已知二次函数．
(1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
(2)解关于的不等式（其中．
12．（2023·全国·高一专题练习）设a为正数，函数满足且
（1）若f(1)=1，求f(x)；
（2）设，若对任意实数t，总存在x1、x2∈[t-1，t+1]，使得f(x1)-f(x2)≥g(x3)-g(x4)对所有x3,x4∈都成立，求a的取值范围.
13．（2023·江苏·常州市第二中学高一期中）已知函数．
(1)当时，关于x的不等式的解集为，求实数的值；
(2)当时，求关于的不等式的解集（结果用表示）．
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 （第1课时）
（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．(2023·陕西汉中·高一期末）若关于x的不等式的解集是R，则m的取值范围是（ ）
A．（1，+∞）B．（0，1）C．（1，1）D．[1，+∞）
答案：A
分析：分和两种情况求解
【详解】当时，，得，不合题意，
当时，因为关于x的不等式的解集是R，
所以，解得，
综上，m的取值范围是（1，+∞），
故选：A
2．(2023·江苏·高一专题练习）已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A．B．或C．D．或
答案：A
分析：由二次函数与一元二次不等式关系，结合函数图象确定不等式解集.
【详解】由二次函数图象知：有.
故选：A
3．（2023·全国·高一专题练习）一元二次方程的根的情况是（ ）．
A．方程没有实数根
B．方程有两个相等的实数根
C．方程有两个不相等的实数根
D．方程的根是、和
答案：C
分析：把方程整理为一般形式，再用判别式求解即可
【详解】∵原方程可化为，∴，，，
∴，∴方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
4．(2023·江苏·高一）已知不等式的解集为，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：根据一元二次不等式的解集和一元二次方程根的关系直接求解即可.
【详解】由不等式的解集知：和是方程的两根，.
故选：A.
5．(2023·全国·高一课时练习）若关于x的一元二次不等式的解集为，则实数m满足（ ）
A．或B．
C．或D．
答案：B
分析：一元二次不等式的解集为，即，求解关于实数的不等式即可.
【详解】解：由于关于x的一元二次不等式的解集为，
所以，解得．
故选：B．
6．(2023·广东珠海·高一期末）不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．，或
答案：C
分析：根据一元二次不等式的解法计算可得；
【详解】解：由，解得，即不等式的解集为；
故选：C
7．(2023·全国·高一单元测试）不等式的解集为（ ）
A．或B．
C．或D．
答案：B
分析：解一元二次不等式，首先确保二次项系数为正，两边同时乘，再利用十字相乘法，可得答案，
【详解】法一：原不等式即为，即，解得，故原不等式的解集为．
法二：当时，不等式不成立，排除A，C；当时，不等式不成立，排除D．
故选：B．
8．（2023·广东·普宁市华侨中学高一阶段练习）已知不等式的解集是，则（ ）
A．-10B．-6C．0D．2
答案：A
【解析】由一元二次方程根与系数的关系求得即可得出结果.
【详解】因为不等式的解集是,
所以的两根为，则，即，
所以.
故选：A
【点睛】本题考查由一元二次不等式的解集求解参数，一元二次不等式的解法，属于基础题.
二、多选题
9．（2023·全国·高一课前预习）下列四个不等式中，解集为的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：BD
【解析】由一元二次不等式的性质，结合各一元二次不等式的判别式、函数开口方向即可判断各选项是否为空集.
【详解】A选项，，所以的解集不可能为空集；
B选项，，而开口向上，所以解集为空集；
C选项，的解集为，所以不为空集；
D选项，当且仅当 a = 2时等号成立，而开口向下，所以为空集；
故选：BD
10．（2023·全国·高一专题练习）下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（ ）
A．3x+4<0B．x2+mx-1>0
C．ax2+4x-7>0D．x2<0
答案：BD
分析：利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可.
【详解】选项A是一元一次不等式，故错误；选项B，D，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当时，选项C是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误.
故选：BD.
三、填空题
11．(2023·全国·高一单元测试）若方程有唯一的实数根3，则不等式的解集为______．
答案：
分析：由题设条件得到抛物线的图象特点，即可求得不等式的解集
【详解】由已知得抛物线的开口向下，与x轴交于点，
故不等式的解集为．
故答案为：
12．（2023·重庆复旦中学高一开学考试）已知关于的二次方程有一正数根和一负数根，则实数的取值范围是_____．
答案：
分析：由二次项系数非零及两根之积小于0，可得关于m的不等式组，解之即可.
【详解】由题意知，二次方程有一正根和一负根，
得，解得.
故答案为：
13．（2023·新疆·乌鲁木齐市第四中学高一期中）设k为实数，若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是__________.
答案：.
分析：一元二次方程没有实数根，即根的判别式小于0.
【详解】∵关于x的一元二次方程没有实数根
∴
∴
解得：.
故答案为：.
14．(2023·江苏·高一）若关于x的不等式的解集为，则实数m的值为______.
答案：3
分析：根据二次不等式的解，结合韦达定理即可求出m.
【详解】由题可知，－7和－1是二次方程的两个根，
故.经检验满足题意
故答案为：3.
15．(2023·湖南衡阳·高一期末）已知，则关于的不等式的解集是________.（用区间表示）
答案：
分析：对因式分解，再根据，解一元二次不等式即可得到结果.
【详解】因为，所以
又，所以不等式的解集为.
故答案为：.
四、解答题
16．（2023·浙江·高一期末）已知不等式x²−2x+5−2a0.
（1）若不等式对于任意实数x恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若存在实数a∈[4,]使得该不等式成立，求实数x的取值范围.
答案：（1）a2；（2）x∈(−∞,−1]∪[3,+∞).
分析：（1）根据二次函数的性质，求出a的范围即可；
（2）将问题转化为，解不等式即可．
【详解】(1)∵x²−2x+5−2a0在R恒成立，
∴△0，即4−4(5−2a)0，可得a2；
(2)若存在实数a∈[4,]使得该不等式成立，即x²−2x+58，解得：x3或x−1，
∴x∈(−∞,−1]∪[3,+∞).
【能力提升】
一、单选题
1．(2023·江苏·高一专题练习）若不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A．B．或
C．D．
答案：A
分析：由题知，，进而将不等式转化为，再解不等式即可.
【详解】解：由，整理得 ①．
又不等式的解集为，
所以，且，即②．
将①两边同除以得：③．
将②代入③得：，解得．
故选：A
2．(2023·全国·高一单元测试）已知，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：参变量分离，得到在上恒成立问题.
【详解】由，恒成立，可得在上恒成立，
即即.
故选：D.
二、多选题
3．(2023·全国·高一单元测试）不等式的解集是，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：ABC
分析：根据二次函数图像与二次不等式关系求解即可.
【详解】解：因为不等式的解集是，
所以，且，
所以所以，，，
故AC正确，D错误．
因为二次函数的两个零点为，2，且图像开口向下，
所以当时，，故B正确．
故选：ABC．
4．（2023·江苏·苏州中学高一阶段练习）关于x的不等式的解集为，则下列正确的是（ ）
A．
B．关于x的不等式的解集为
C．
D．关于x的不等式的解集为
答案：ACD
【解析】根据一元二次不等式解集的特点判断出的正负，然后根据解集可得到与的数量关系，据此分析各个选项是否正确.
【详解】A．由已知可得且是方程的两根，A正确，
B．由根与系数的关系可得：，解得，
则不等式可化为：，即，所以，B错误，
C．因为，C正确，
D．不等式可化为：，即，解得或，D正确，
故选：ACD．
【点睛】结论点睛：形如的不等式的解集为或，则为一元二次方程的两个根.
三、填空题
5．(2023·全国·高一单元测试）“，”是假命题，则实数的取值范围为 _________ .
答案：
分析：存在量词命题是假命题，则其否定全称量词命题是真命题，写出其全称量词命题，是一个二次不等式恒成立问题，分情况讨论，求的范围.
【详解】由题意可知，“，”的否定是真命题，
即“，”是真命题，
当时，，不等式显然成立，
当时，由二次函数的图像及性质可知，，解得，
综上，实数的取值范围为.
故答案为：.
6．(2023·湖南·雅礼中学高一开学考试）若二次函数在时的最大值为3，那么m的值是________．
答案：或
分析：讨论二次函数对称轴与x=的位置关系，结合已知最大值求参数m.
【详解】，
抛物线开口向下，抛物线的对称轴为，
①当，即时，当时，函数最大值为3，
，解得：（舍去）；
②当，即时，当时，函数最大值为3，
，解得：．
③当，即时，当时，函数最大值为3，
，解得（舍去）或，
综上所述，或.
故答案为：或
7．(2023·全国·高一课时练习）已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是______．
答案：
分析：由题知，且，进而转化为解不等式即可.
【详解】解：由不等式的解集是，可知，且，
所以，不等式可化为，解得．
所以不等式的解集是.
故答案为：
8．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，．设，．记的最小值为A，的最大值为B，则______．
答案：
分析：令，可得或，由题易知的最小值，的最大值，则可求出答案.
【详解】，，
令，得或．
因为，，
所以的最小值，的最大值，
所以．
故答案为：.
9．（2023·全国·高一课时练习）若存在实数满足，则实数a的取值范围是________．
答案：
分析：先分离参数将不等式化为，再结合二次函数求最值即可.
【详解】解：由题意可得，存在实数时，
令，
即
，对称轴为：
所以在单调递增
故
即
所以实数a的取值范围为：
故答案为：
四、解答题
10．(2023·全国·高一单元测试）已知函数．
(1)若不等式的解集为R，求m的取值范围；
(2)解关于x的不等式；
(3)若不等式对一切恒成立，求m的取值范围．
答案：(1)；
(2)答案见解析；
(3).
分析：（1）对二次项系数进行分类讨论，结合二次函数的判别式即可容易求得结果；
（2），对，与分类讨论，可分别求得其解集
（3），通过分离常数与利用基本不等式结合已知即可求得m的取值范围．
（1）根据题意，当，即时，，不合题意；
当，即时，
的解集为R，即的解集为R，

即，故时，或.
故 ．
（2），即，
即，
当，即时，解集为；
当，即时，，
，
解集为或；
当，即时，，
，
解集为．
综上所述：当时，解集为；
当时，解集为；当时，解集为或.
（3），即，
恒成立，
，
设则，
，
，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
当时，，
．
【点睛】本题考察二次函数恒成立问题，以及含参二次函数不等式的求解，其中正确的分类讨论，是解决本题的关键，属综合困难题.
11．（2023·广东·化州市第三中学高一期中）已知二次函数．
(1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
(2)解关于的不等式（其中．
答案：(1)；
(2)答案见解析.
分析：（1）结合分离常数法、基本不等式求得的取值范围；
（2）将原不等式转化为，对进行分类讨论，由此求得不等式的解集.
(1)不等式即为：，
当，时，可变形为：，
即，又，
当且仅当，即时，等号成立，
，
即，
实数的取值范围是：；
(2)不等式，即，
等价于，即，
①当时，不等式整理为，解得：；
当时，方程的两根为：，，
②当时，可得，解不等式得：或；
③当时，因为，解不等式得：；
④当时，因为，不等式的解集为；
⑤当时，因为，解不等式得：；
综上所述，不等式的解集为：
①当时，不等式解集为；
②当时，不等式解集为；
③当时，不等式解集为；
④当时，不等式解集为；
⑤当时，不等式解集为.
12．（2023·全国·高一专题练习）设a为正数，函数满足且
（1）若f(1)=1，求f(x)；
（2）设，若对任意实数t，总存在x1、x2∈[t-1，t+1]，使得f(x1)-f(x2)≥g(x3)-g(x4)对所有x3,x4∈都成立，求a的取值范围.
答案：（1），（2）
分析：（1）由题意得，且，，解方程可得，进而得到函数的解析式；
（2）求得在上的最值，可得的最大值为1，则对任意的实数，总存在，使得，讨论的对称轴和区间的关系，可得的最值，解不等式可得所求范围
【详解】解：（1）函数满足且，
所以，且，得，
因为，所以，得，
所以，
（2），
当可得的最小值为，最大值为，
所以的最大值为，
所以对任意的实数，总存在，使得，
设在上的最大值为，最小值为，
的对称轴为直线，
令，则对任意的实数，，
①当时，在上递增，可得，
则，此时，得，
②当时，，，
，
所以，
③当时，，，
，
所以，
④当时，在上递减，可得，，
则，
此时，得，
综上，的取值范围为
【点睛】此题考查二次函数的解析式的求法，考查函数恒成立问题的解法，考查转化思想和分类讨论思想，考查计算能力，属于难题
13．（2023·江苏·常州市第二中学高一期中）已知函数．
(1)当时，关于x的不等式的解集为，求实数的值；
(2)当时，求关于的不等式的解集（结果用表示）．
答案：(1)
(2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
分析：（1）、根据一元二次不等式的解集与对应方程的关系可得的值；
（2）、当时，将原不等式因式分解，讨论与的大小关系，写出不等式的解集.
(1)当时，的解集为，
方程的根为和，
可得：，.
(2)当时，
,
①、当时，，此时不等式的解集为；
②、当时，，此时不等式的解集为；
③、当时，，此时不等式的解集为．