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    数学必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式优质第二课时学案设计

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    这是一份数学必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式优质第二课时学案设计,共7页。学案主要包含了课程标准,知识要点归纳,经典例题,当堂检测等内容,欢迎下载使用。

    第二 一元二次函数、方程和不等式

    2.3二次函数与一元二次方程、不等式

    第2课时一元二次方程

    课程标准

    1. 掌握一元二次方程的求解方法。
    2. 掌握一元二次方程根与系数的关系。
    3. 一元二次方程根的分布

    知识要点归纳

    1.恒等式

    平方差公式:             .

    两数和(差)的平方公式:=             .

    立方差与立方和公式:                .

    2.十字相乘法

    关于的二次三项式可分解为

    1    a

    1    b

    十字左边相乘等于1,是二次项的系数.

    十字右边相乘等于,是常数项.

    交叉相乘为,再相加就是,是一次项的系数.

    助记法则:竖分常数交叉验,横写因式不能乱

    图示解读:

       

     

    1        7        1      2

    1                3   5 

     

     

     

     

     

    3.一元二次方程的解法

    配方法

     

    解法步骤:(1)化二次项系数为           

    2)移项:把      项移到方程的右边,二次项和一次项移到方程的左边;

    3)配方:方程两边都加上           ,使左边配成完全平方的形式;

    4)解方程:若方程右边是非负数,通过直接开平方法求方程的根

    公式法

     

    一元二次方程时,          

    因式分解法

    一元二次方程化为一般形式后,如果左边能分解因式,即产生的形式,则可将原方程化为两个        方程,即0,从而得方程的两根

    4.方程的解集

    把一个方程所有解组成的          ,称为这个方程的           .

    5. 一元二次方程根与系数的关系

    一元二次方程的根的判别式是       ,通常用符号        来表示,利用根的判别式,不解方程就可以判断方程根的情况:当         时,方程有两个不相等的实数根;当        时,方程有两个相等的实数根;当        时,方程没有实数根。

    当一元二次方程的解集不是空集时,设这个方程的两根为,则               

    经典例题

    1解方程

    1.       2.

     

     

    3.       4.

     

     

    例2.求关于的方程的解集,其中是常数.

     

     

     

    例3  已知一元二次方程的两根为,求下列各式的值.

     (1)    (2)

     

     

     

     

    例4 已知关于的方程的两根同号,求范围.

     

     

     

    当堂检测

    一.选择题(共2小题)

    1.方程的解集为  

    A B C D

    2.已知关于的方程有一根大于1,另一根小于1,则实数的取值范围是  

    A B C D

    二.填空题(共4小题)

    3.若方程的两根满足一根大于0,一根小于0,则的取值范围是  

    4.方程的一根在内,另一根在内,则实数的取值范围是   

    5.已知是方程的两根,则的值为  

    6.若分别是一元二次方程的两根.则  

    三.解答题(共1小题)

    7.已知关于的方程有实数根.

    1)若两根的平方和比两根之积大21,求实数的值;

    2)若两根均大于1,求实数的取值范围.

     

    当堂检测答案

    一.选择题(共2小题)

    1.方程的解集为  

    A B C D

    【分析】因式分解法求解一元二次方程.

    【解答】解:

    1

    方程的解集为

    故选:

    【点评】本题属于简单题,解一元二次方程时注意观察方程特征,本题采用因式分解法会快速精准解题.

    2.已知关于的方程有一根大于1,另一根小于1,则实数的取值范围是  

    A B C D

    【分析】根据方程和函数之间的关系,设,利用根的分布,转化为1即可.

    【解答】解:设

    若方程有一根大于1,另一根小于1

    则只需要1

    1,得

    即实数的取值范围是

    故选:

    【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布,结合函数与方程之间的关系转化为函数问题是解决本题的关键.

    二.填空题(共4小题)

    3.若方程的两根满足一根大于0,一根小于0,则的取值范围是  

    【分析】由题意利用一元二次方程根的分布与系数的关系,二次函数的性质,求得的范围.

    【解答】解:方程的两根满足一根大于0,一根小于0

    ,则有,解得

    的取值范围是

    故答案为:

    【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系,二次函数的性质,属于基础题.

    4.方程的一根在内,另一根在内,则实数的取值范围是  

    【分析】,则123

    【解答】解:设

    的一个零点在内,另一零点在内.

    ,即

    解得

    故答案为

    【点评】本题考查了二次函数的根的分布与系数的关系,结合函数图象找到1),2),3)的函数值得符号是关键.

    5.已知是方程的两根,则的值为 0 

    【分析】是方程的两根,可得.即可得出.

    【解答】解:是方程的两根,

    故答案为:0

    【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、方程的根,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

    6.若分别是一元二次方程的两根.则  

    【分析】由韦达定理得 进而求解.

    【解答】解:由韦达定理:

    故答案为:

    【点评】考查韦达定理,两根之差与两根之和、两根之积的关系.

    三.解答题(共1小题)

    7.已知关于的方程有实数根.

    1)若两根的平方和比两根之积大21,求实数的值;

    2)若两根均大于1,求实数的取值范围.

    【分析】1)由题意可得,由此求得的值.

    2)由题意利用一元二次方程根的分布与系数的关系,二次函数的性质,求得的范围.

    【解答】解:(1关于的方程有实数根,两根的平方和比两根之积大21

    故有,即,求得

    2)若方程的两根均大于1,令

    ,求得

    【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系,二次函数的性质,属于基础题.

     

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