高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式优质第三课时学案设计

第二章 一元二次函数、方程和不等式

2.3二次函数与一元二次方程、不等式

第3课时 分式不等式与恒成立问题

【课程标准】

1. 掌握分式不等式的解法。
2. 掌握与一元二次函数有关的恒成立问题

【知识要点归纳】

1.分式不等式的解法---化分式不等式为整式不等式

2.一元二次不等式恒成立问题

（1）不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为

一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为

一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为

 (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min.

【经典例题】

例1  解下列不等式：

(1)≥0；  (2)>1.  (3)＜0； (4)≥0；  (5)＞1.

（6）                   （7）

例2 设函数f(x)＝mx2－mx－1.

(1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围；

(2)对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围.

例3 二次不等式ax2＋2x－1＜0的解集为R，则a的取值范围是________.

【当堂检测】

一．选择题（共6小题）

1．不等式的解集为　　

A． B． 

C．，， D．，，

2．不等式的解集是　　

A．， B．， C．， D．，

3．已知关于的不等式的解集是，则　　

A． B． C．1 D．3

4．不等式的解集为　　

A．或 B． C．或 D．

5．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为　　

A． B． 

C． D．

6．若不等式对一切，成立，则的最小值为　　

A． B．0 C． D．

二．填空题（共2小题）

7．若不等式的解集为，则的取值范围是　　．

8．不等式的解集是　 　．

三．解答题（共2小题）

9．已知不等式的解集为，

（1）求，的值；

（2）求不等式的解集．

10．（1）已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集．

（2）解不等式．

当堂检测答案

一．选择题（共6小题）

1．不等式的解集为　　

A． B． 

C．，， D．，，

【分析】先将一元二次不等式进行因式分解，然后直接利用一元二次不等式的解法，求解即可．

【解答】解：不等式化为：，解得或．

所以不等式的解集为：或；

故选：．

【点评】本题是基础题，考查一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题．

2．不等式的解集是　　

A．， B．， C．， D．，

【分析】由题意，解分式不等式即可．

【解答】解：不等式，等价于，

解得，所以不等式的解集是，．

故选：．

【点评】本题考查了可化为一元二次不等式的分式不等式解法问题，是基础题．

3．已知关于的不等式的解集是，则　　

A． B． C．1 D．3

【分析】讨论的正负化简已知不等式，因为解集为，列出等式，得到的值即可．

【解答】解：当时，变为，解得；

当时，变为，解得，

因为此不等式的解集为，，

所以得到，

解得

故选：．

【点评】此题考查学生灵活运用一元二次不等式的解法的能力，会分析不等式的解集．

4．不等式的解集为　　

A．或 B． C．或 D．

【分析】不等式等价于，即，且，由此求得不等式的解集．

【解答】解：不等式等价于，即，且，解得，

故不等式的解集为，

故选：．

【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．

5．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为　　

A． B． 

C． D．

【分析】把分离出来，结合基本不等式即可求解．

【解答】解：对任意，不等式恒成立，

则，恒成立，

当时，，当且仅当时等号成立

，

故选：．

【点评】本题主要考查了参数分离思想，以及基本不等式的应用问题，属于基础题．

6．若不等式对一切，成立，则的最小值为　　

A． B．0 C． D．

【分析】不等式对一切，成立，，．令，

，．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

【解答】解：不等式对一切，成立，，．

令，，．

，

函数在，上单调递增，

当时，函数取得最大值，．

的最小值为．

故选：．

【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

二．填空题（共2小题）

7．若不等式的解集为，则的取值范围是　，　．

【分析】讨论和时，分别求出不等式的解集为时的取值范围．

【解答】解：时，不等式化为，满足题意；

时，欲使不等式的解集为，

应满足，

解得；

综上知，的取值范围是，．

故答案为：，．

【点评】本题考查了不等式恒成立问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．

8．不等式的解集是　或　．

【分析】我们根据分式不等式的解法，可选利用实数的性质将分式不等式转化为一个整式不等式，然后根据高次不等式的解法，解答即可得到答案．

【解答】解：由

得．

由根轴法得不等式的解集为或

故答案为：或

【点评】本题考查的知识点是分式不等式的解法，分式不等式的解答过程中，最关键的步骤是利用实数的性质，将不等式转化为．

三．解答题（共2小题）

9．已知不等式的解集为，

（1）求，的值；

（2）求不等式的解集．

【分析】（1）根据不等式与对应方程的关系，列出方程组求得、的值；

（2）把、代入不等式求解解即可．

【解答】解：（1）不等式的解集为，

所以，是方程的两根，

所以，

解得，或（舍去）；

（2）由（1）知不等式，

即为，

所以，

解得：；

所以不等式的解集为．

【点评】本题考查了一元二次不等式与方程的对应关系应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．

10．（1）已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集．

（2）解不等式．

【分析】（1）根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出、的值；再求不等式的解集；

（2）利用移项、通分，利用符号法则把不等式化为，求出解集即可．

【解答】解：（1）关于的不等式的解集为，

和2是方程的实数根，

由根与系数的关系知，，解得，；

不等式化为，

解得或，

不等式的解集为，，；

（2）不等式化为，

，

即，

解得，

不等式的解集为．

【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了等价转化思想，是中档题．