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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第2课时随堂练习题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第2课时随堂练习题，共27页。
【夯实基础】
一、单选题
1．（2023·河北·大名县第一中学高一阶段练习）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·全国·高一）已知，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·河南南阳·高一阶段练习）已知，且，则的最大值为（ ）
A．2B．5C．D．
4．（2023·全国·高一专题练习）若对任意的都有，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．(2023·全国·高一课时练习）下列说法正确的为（ ）
A．
B．函数的最小值为4
C．若则最大值为1
D．已知时，，当且仅当即时，取得最小值8
6．(2023·全国·高一课时练习）已知，用基本不等式求的最小值时，有，则取得最小值时的值为（ ）
A．B．C．D．3
7．(2023·全国·高一课时练习）某汽车客运站购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：万元）与营运年数x为二次函数关系，如图所示，则当每辆客车营运的年平均利润最大时，其营运年数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．（2023·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）已知，则的最值为（ ）
A．最小值2B．最大值2C．最小值3D．最大值3
9．（2023·江苏·高一专题练习）若不等式对满足条件的恒成立，则实数k的最大值为（ ）
A．2B．4
C．6D．8
10．(2023·全国·益阳平高学校高一期末）已知，且，则的最小值是（ ）
A．6B．8C．14D．16
二、多选题
11．(2023·全国·高一）设正实数满足，则（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为2
C．的最大值为1
D．的最小值为2
12．(2023·全国·高一课时练习）（多选）已知，都为正数，且，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最小值为
三、填空题
13．(2023·全国·高一课时练习）用一根长为12m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架（不计损耗），要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的宽为______m．
14．（2023·全国·高一课时练习）已知，则函数的最大值为___________.
15．(2023·甘肃·张掖市第二中学高一阶段练习）函数的最小值是___________.
16．（2023·吉林油田高级中学高一开学考试）若“，不等式恒成立”为真命题，则实数a的取值范围是______．
17．（2023·江苏·高一专题练习）若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围是________．
18．(2023·江苏·高一）已知，，且，则的最小值为_________
19．(2023·陕西·长安一中高一阶段练习）函数的最小值为___．
20．(2023·江苏·高一）当时，函数的最小值为___________．
四、解答题
21．（2023·全国·高一课时练习）设，求函数的最大值.
22．(2023·全国·高一专题练习）求函数的最值.
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·江苏·高一专题练习）已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高一课时练习）设计用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为，则车厢的最大容积是（ ）
A．（38－3 m3B．16 m3C．4 m3D．14 m3
二、多选题
3．(2023·全国·高一单元测试）已知，，且，则（ ）
A．的取值范围是
B．的取值范围是
C．的最小值是3
D．的最小值是
4．（2023·重庆市凤鸣山中学高一期中）下列结论中，正确的结论有．
A．如果，那么取得最大值时的值为
B．如果，，，那么的最小值为6
C．函数的最小值为2
D．如果，，且，那么的最小值为2
三、填空题
5．（2023·江苏·扬州大学附属中学高一期中）不等式的解集为，则的最大值为____________.
6．(2023·陕西·长安一中高一期中）已知，且，那么下列不等式：①；②；③；④中，正确的序号是________．
7．（2023·辽宁·高一期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值是______.
8．（2023·浙江省桐乡市高级中学高一阶段练习）已知，，且，则的最小值为__________.
9．（2023·江苏·高一专题练习）已知，，且，则的最大值为____．
10．（2023·湖北孝感·高一期中）若正实数满足，则的最大值为________.
11．（2023·江苏·南京市第十三中学高一期末）若实数满足，则的最大值为________.
四、解答题
12．（2023·全国·高一课时练习）若对任意实数x，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
13．（2023·全国·高一课时练习）（1）当时，求的最小值；
（2）当时，求的最小值．
14．（2023·新疆喀什·高一期中）某校为了美化校园环境，计划在学校空地建设一个面积为的长方形草坪，如图所示，花草坪中间设计一个矩形ABCD种植花卉，矩形ABCD上下各留1m，左右各留1.5米的空间种植草坪，设花草坪长度为x（单位：m），宽度为y（单位：m），矩形ABCD的面积为s（单位：）
(1)试用x，y表示s；
(2)求s的最大值，并求出此时x，y的值．
15．(2023·全国·高一课时练习）（1）已知，，均为正实数，求证：．
（2）已知，，是互不相等的正数，且，求证：．
16．（2023·全国·高一专题练习）若对任意的，对任意的，不等式恒成立，求的最大值.
2.2 基本不等式（第2课时）（分层作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2023·河北·大名县第一中学高一阶段练习）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：根据基本不等式即可求出．
【详解】因为，当且仅当时取等号，所以函数的值域为．
故选：C．
2．(2023·全国·高一）已知，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：利用基本不等式进行求解.
【详解】因为，，
所以
（当且仅当，即时取等号），
即的最小值为4.
故选：D.
3．(2023·河南南阳·高一阶段练习）已知，且，则的最大值为（ ）
A．2B．5C．D．
答案：D
分析：直接由基本不等式求解即可.
【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立.
所以的最大值为.
故选：D
4．（2023·全国·高一专题练习）若对任意的都有，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】利用基本不等式，可求得的最小值，即可求得答案.
【详解】因为，则，
当且仅当，即x=1时等号成立，
所以，
故选：A
5．(2023·全国·高一课时练习）下列说法正确的为（ ）
A．
B．函数的最小值为4
C．若则最大值为1
D．已知时，，当且仅当即时，取得最小值8
答案：C
分析：利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可.
【详解】对于选项,只有当时，才满足基本不等式的使用条件，则不正确；
对于选项,，令，
即在上单调递增，则最小值为,
则不正确；
对于选项,，则正确；
对于选项,当时，，当且仅当
时，即，等号成立，则不正确.
故选：.
6．(2023·全国·高一课时练习）已知，用基本不等式求的最小值时，有，则取得最小值时的值为（ ）
A．B．C．D．3
答案：C
分析：利用基本不等式取等号的条件进行求解.
【详解】因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，即取得最小值．
故选：C
7．(2023·全国·高一课时练习）某汽车客运站购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：万元）与营运年数x为二次函数关系，如图所示，则当每辆客车营运的年平均利润最大时，其营运年数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
答案：C
分析：先由题意，根据待定系数法求出函数解析式，再由基本不等式即可求解.
【详解】由题意可设，
且当时，，即，
解得，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号．
故选:C．
8．（2023·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）已知，则的最值为（ ）
A．最小值2B．最大值2C．最小值3D．最大值3
答案：C
分析：配凑目标式，利用基本不等式，即可求得目标式的最值.
【详解】因为，故，当且仅当时取得最小值3；
令，对函数，其在单调递减，在单调递增，无最大值.
故时，无最大值.
故选：C.
9．（2023·江苏·高一专题练习）若不等式对满足条件的恒成立，则实数k的最大值为（ ）
A．2B．4
C．6D．8
答案：B
分析：根据已知及基本不等式可得，可求出实数k的最大值．
【详解】解：根据 ，当且仅当时，取等号，
化简可得，
因为，所以，，
所以运用，
可得，当且仅当，即时，取等号，
又因为恒成立，
所以，
即k的最大值是4．
故选：B．
10．(2023·全国·益阳平高学校高一期末）已知，且，则的最小值是（ ）
A．6B．8C．14D．16
答案：A
分析：利用基本不等式可求解.
【详解】因为，所以.因为，所以，所以，即，
当且仅当时，等号成立，故的最小值是6.
故选：A
二、多选题
11．(2023·全国·高一）设正实数满足，则（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为2
C．的最大值为1
D．的最小值为2
答案：CD
分析：由已知条件结合基本不等式及其相关变形，分别检验各个选项即可判断正误.
【详解】对于选项， ，
当且仅当且时，即，时取等号，则错误；
对于选项， ,当且仅当
时等号成立，则，即的最大值为2，则错误；
对于选项，，即，当且仅当时，等号成立，则正确；
对于选项， ，当且仅
当时，等号成立，则正确,
故选: .
12．(2023·全国·高一课时练习）（多选）已知，都为正数，且，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最小值为
答案：ABD
分析：利用基本不等式结合已知条件逐个分析判断.
【详解】对于A，因为，都为正数，且，所以，当且仅当即，时取等号，所以的最大值为，所以A正确，
对于B，因为，所以，由选项A可知，所以，当且仅当，时取等号，所以的最小值为，所以B正确，
对于C，因为，所以，当且仅当，即，时取等号，但，都为正数，故等号取不到，所以C错误，
对于D，因为，都为正数，且，所以，当且仅当即即，时取等号，所以的最小值为，所以D正确，
故选：ABD
三、填空题
13．(2023·全国·高一课时练习）用一根长为12m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架（不计损耗），要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的宽为______m．
答案：
分析：首先设框架的宽为x，再表示框架的面积，利用基本不等式求最值，即可求框架的宽.
【详解】设框架的宽为x，则其高为，要使这个窗户通过的阳光最充足，只要窗户的面积S最大，，当且仅当，即时等号成立，故框架的宽为m．
故答案为：
14．（2023·全国·高一课时练习）已知，则函数的最大值为___________.
答案：
分析：由于 ，需要构造函数，才能运用基本不等式.
【详解】因为，所以，,
当且仅当，即时，等号成立.故当时，
取最大值，即.
故答案为：3.
15．(2023·甘肃·张掖市第二中学高一阶段练习）函数的最小值是___________.
答案：
分析：利用基本不等式求函数最小值，注意等号成立的条件即可.
【详解】由题设知，
则，当且仅当时等号成立，
故函数最小值为.
故答案为：.
16．（2023·吉林油田高级中学高一开学考试）若“，不等式恒成立”为真命题，则实数a的取值范围是______．
答案：
分析：根据基本不等式求出，，根据不等式“，不等式恒成立”可得答案.
【详解】由基本不等式可知，（当且仅当x＝1时取“＝”），
因为“，不等式恒成立”，故,
故答案为：
17．（2023·江苏·高一专题练习）若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围是________．
答案：
分析：当时，成立；当时，恒成立等价于恒成立，有基本不等式得出a的取值范围.
【详解】当时，，不等式成立；
当时，根据恒成立，则等价于恒成立，
，当且仅当时等号成立；
只需即可．
故答案为：
18．(2023·江苏·高一）已知，，且，则的最小值为_________
答案：
分析：利用基本不等式“1”的妙用进行求解
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故答案为：
19．(2023·陕西·长安一中高一阶段练习）函数的最小值为___．
答案：
分析：令，则，化简得到，集合基本不等式，即可求解.
【详解】因为，令，则，
又因为，可得，
因为，当且仅当时，即，即时，等号成立，
所以，即的最小值为.
故答案为：.
20．(2023·江苏·高一）当时，函数的最小值为___________．
答案：
分析：将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得结果.
【详解】因为，则，则，
当且仅当时，等号成立，
所以，当时，函数的最小值为.
故答案为：.
四、解答题
21．（2023·全国·高一课时练习）设，求函数的最大值.
答案：4
分析：根据题意,设,结合二次函数的性质分析可得当时,有最大值16,进而分析可得的最大值,即可得答案.
【详解】解: 根据题意,设
则,
分析可得当时,有最大值16,
则此时有最大值;
故函数的最大值为4.
【点睛】本题考查函数最值的计算,关键是转化思路,利用二次函数的性质求出函数的最大值.
22．(2023·全国·高一专题练习）求函数的最值.
答案：最小值为，无最大值
分析：利用分式变形结合换元法构造对勾函数，利用对勾函数最值求解即可
【详解】解：，令，则，
因为对勾函数在上单调递增，当时，取得最小值.
故的最小值为，无最大值.
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·江苏·高一专题练习）已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：由，得出，进一步得到的最小值，再根据不等式恒成立，得出求出c的取值范围．
【详解】解：，
，当且仅当时“”成立，
又不等式恒成立，
，
的取值范围是．
故选：B．
2．（2023·全国·高一课时练习）设计用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为，则车厢的最大容积是（ ）
A．（38－3 m3B．16 m3C．4 m3D．14 m3
答案：B
【详解】设长方体车厢的长为xm，高为hm，则，即，
∴，
即，
解得，
∴．
∴车厢的容积为．当且仅当且，即时等号成立．
∴车厢容积的最大值为．选B．
二、多选题
3．(2023·全国·高一单元测试）已知，，且，则（ ）
A．的取值范围是
B．的取值范围是
C．的最小值是3
D．的最小值是
答案：BD
分析：根据基本不等式可求得，判断A;将变形为结合基本不等式，求得，判断B；由整理得到结合基本不等式可判断C,D.
【详解】对于A，因为，，所以，当且仅当时取等号，
即，解得，即，A错误；
对于B, 由，,，当且仅当时取等号，
得，
所以,B正确；
对于C, 由，，，得，
则 ，
当且仅当，即时等号成立,但，
所以．（等号取不到）,故C错误；
对于D，由C的分析知：，,,
，
当且仅当，即时等号成立，D正确，
故选：BD
4．（2023·重庆市凤鸣山中学高一期中）下列结论中，正确的结论有．
A．如果，那么取得最大值时的值为
B．如果，，，那么的最小值为6
C．函数的最小值为2
D．如果，，且，那么的最小值为2
答案：AB
【解析】A.将其配成顶点坐标式即可得出答案；
B.将其配成代入即可得其最小值；
C. 函数，当且仅当此时无解
D.根据题意构造，将“1”替换为，代入用基本不等式.
【详解】解：对于A. 如果，那么，当时取得最大值，故正确；
对于B.如果，，则整理得，所以或（舍去），当且仅当时取得最小值，故正确；
对于C. 函数，当且仅当此时无解，不能取得最小值2，故错误；
对于D. 如果，，且，
那么
当且仅当即时取得最小值，故错误.
故选：AB
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
三、填空题
5．（2023·江苏·扬州大学附属中学高一期中）不等式的解集为，则的最大值为____________.
答案：
分析：分、两种情况讨论，根据题意可得出、所满足的不等关系式，结合基本不等式可求得的最大值.
【详解】当时，即不等式的解集为，则，，
要使得有意义，此时，则；
当时，若不等式的解集为，则，即，
所以，，
因为，则，
当时，则，此时；
当时，则，令，则，
当且仅当时，等号成立.
综上所述，的最大值为.
故答案为：.
6．(2023·陕西·长安一中高一期中）已知，且，那么下列不等式：①；②；③；④中，正确的序号是________．
答案：①②④
分析：利用基本不等式及对勾函数的性质一一判断即可；
【详解】解：对于①:，，，（当且仅当时取得等号），所以①正确；
对于②：由①有，设，则在上单调递减．所以，所以②正确；
对于③：（当且仅当时取得等号），
．所以③错误．
对于④：（当且仅当，即时等号成立），所以④正确．
故答案为：①②④．
7．（2023·辽宁·高一期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值是______.
答案：
分析：问题转化为恒成立，由基本不等式求
的最小值可得．
【详解】，，不等式恒成立，
恒成立，
又
当且仅当即时取等号，
的最小值为，
所以，即的最大值为，
故答案为：．
8．（2023·浙江省桐乡市高级中学高一阶段练习）已知，，且，则的最小值为__________.
答案：
分析：由基本不等式分析，换元结合对勾函数性质可求最小值.
【详解】由题意，，
因为，令，，
由对勾函数性质可知，当时，有最小值，当且仅当时取到，
故的最小值为.
故答案为：
9．（2023·江苏·高一专题练习）已知，，且，则的最大值为____．
答案：
【解析】由，，
利用均值不等式得，
解得的取值范围，进而求得的最大值.
【详解】由，，得，
即
又，
当且仅当，即时，取等，
故，
解得或（舍）
故，即的最大值为，
故答案为：.
10．（2023·湖北孝感·高一期中）若正实数满足，则的最大值为________.
答案：4
分析：将用的表达式表示，结合，利用均值不等式求出，从而确定的范围.
【详解】因为，
所以，
又且，
所以，
解得，
=
结合知，有最大值4.
故答案为：4.
11．（2023·江苏·南京市第十三中学高一期末）若实数满足，则的最大值为________.
答案：
【解析】已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值.
【详解】由，得，
设，其中.
则，从而，
记，则，
不妨设，则,
当且仅当，即时取等号，即最大值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查二元二次等式条件下二元分式的最大值，注意根据已知条件可因式分解从而采用换元法来改造目标代数式，再根据目标代数式的特征再次换元，从而得到能使用基本不等式的结构形式，本题属于难题.
四、解答题
12．（2023·全国·高一课时练习）若对任意实数x，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
答案：
分析：令，当时，，利用基本不等式和不等式的性质求出的范围，再代入，最终可求出的值域，再根据即可得实数k的取值范围．
【详解】令
当时，
当时，
，当且仅当时等号成立
或
即或
或
或
综合得
因为不等式恒成立，
则
.
13．（2023·全国·高一课时练习）（1）当时，求的最小值；
（2）当时，求的最小值．
答案：（1）7；（2）5．
分析：（1）原函数可化为，然后利用基本不等式求最小值；
（2）原函数可化为，然后利用基本不等式求最小值.
【详解】（1），
当且仅当时，等号成立，即．
（2），
当且仅当时，等号成立，即．
14．（2023·新疆喀什·高一期中）某校为了美化校园环境，计划在学校空地建设一个面积为的长方形草坪，如图所示，花草坪中间设计一个矩形ABCD种植花卉，矩形ABCD上下各留1m，左右各留1.5米的空间种植草坪，设花草坪长度为x（单位：m），宽度为y（单位：m），矩形ABCD的面积为s（单位：）
(1)试用x，y表示s；
(2)求s的最大值，并求出此时x，y的值．
答案：(1)
(2)s的最大值为，此时，．
分析：（1）由题意建立s的函数解析式；（2）利用基本不等式，求出s的最大值.
（1）由题意可得,矩形ABCD长为(x-3)m,宽为(y-2)m,故.
（2）∵，∴（当且仅当,即，时取等号）.故s的最大值为,此时，.
15．(2023·全国·高一课时练习）（1）已知，，均为正实数，求证：．
（2）已知，，是互不相等的正数，且，求证：．
分析：（1）根据重要不等式，进行不等式的转换，可得答案；
（2）利用通分及基本不等式，可得答案.
【详解】（1）因为，当且仅当时等号成立，
所以，所以，所以．①
同理②，③．
①＋②＋③，得，当且仅当时等号成立．
（2）因为，，，是正实数，
所以，
当且仅当时等号成立．又，，互不相等，所以．
16．（2023·全国·高一专题练习）若对任意的，对任意的，不等式恒成立，求的最大值.
答案：33
【解析】设，对讨论，分，，，判断的单调性，求得最值，由不等式的性质和不等式的解法，可得所求最大值．
【详解】设，
当时，，可得的最小值为 ，最大值为，
由题意可得，即为，则 ；
当时，，可得的最小值为，最大值为，
由题意可得，即为，则．
当即时，在递减，可得的最大值为，最小值为，
由题意可得，即为，则，
由，可得无最大值．
综上可得的最大值为．
【点睛】思路点睛：本题考查了对勾函数的单调性，利用单调性求函数的最值，考查了分类讨论的思想，属于难题.
【夯实基础】
一、单选题
1．（2023·河北·大名县第一中学高一阶段练习）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·全国·高一）已知，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·河南南阳·高一阶段练习）已知，且，则的最大值为（ ）
A．2B．5C．D．
4．（2023·全国·高一专题练习）若对任意的都有，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．(2023·全国·高一课时练习）下列说法正确的为（ ）
A．
B．函数的最小值为4
C．若则最大值为1
D．已知时，，当且仅当即时，取得最小值8
6．(2023·全国·高一课时练习）已知，用基本不等式求的最小值时，有，则取得最小值时的值为（ ）
A．B．C．D．3
7．(2023·全国·高一课时练习）某汽车客运站购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：万元）与营运年数x为二次函数关系，如图所示，则当每辆客车营运的年平均利润最大时，其营运年数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．（2023·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）已知，则的最值为（ ）
A．最小值2B．最大值2C．最小值3D．最大值3
9．（2023·江苏·高一专题练习）若不等式对满足条件的恒成立，则实数k的最大值为（ ）
A．2B．4
C．6D．8
10．(2023·全国·益阳平高学校高一期末）已知，且，则的最小值是（ ）
A．6B．8C．14D．16
二、多选题
11．(2023·全国·高一）设正实数满足，则（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为2
C．的最大值为1
D．的最小值为2
12．(2023·全国·高一课时练习）（多选）已知，都为正数，且，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最小值为
三、填空题
13．(2023·全国·高一课时练习）用一根长为12m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架（不计损耗），要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的宽为______m．
14．（2023·全国·高一课时练习）已知，则函数的最大值为___________.
15．(2023·甘肃·张掖市第二中学高一阶段练习）函数的最小值是___________.
16．（2023·吉林油田高级中学高一开学考试）若“，不等式恒成立”为真命题，则实数a的取值范围是______．
17．（2023·江苏·高一专题练习）若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围是________．
18．(2023·江苏·高一）已知，，且，则的最小值为_________
19．(2023·陕西·长安一中高一阶段练习）函数的最小值为___．
20．(2023·江苏·高一）当时，函数的最小值为___________．
四、解答题
21．（2023·全国·高一课时练习）设，求函数的最大值.
22．(2023·全国·高一专题练习）求函数的最值.
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·江苏·高一专题练习）已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高一课时练习）设计用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为，则车厢的最大容积是（ ）
A．（38－3 m3B．16 m3C．4 m3D．14 m3
二、多选题
3．(2023·全国·高一单元测试）已知，，且，则（ ）
A．的取值范围是
B．的取值范围是
C．的最小值是3
D．的最小值是
4．（2023·重庆市凤鸣山中学高一期中）下列结论中，正确的结论有．
A．如果，那么取得最大值时的值为
B．如果，，，那么的最小值为6
C．函数的最小值为2
D．如果，，且，那么的最小值为2
三、填空题
5．（2023·江苏·扬州大学附属中学高一期中）不等式的解集为，则的最大值为____________.
6．(2023·陕西·长安一中高一期中）已知，且，那么下列不等式：①；②；③；④中，正确的序号是________．
7．（2023·辽宁·高一期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值是______.
8．（2023·浙江省桐乡市高级中学高一阶段练习）已知，，且，则的最小值为__________.
9．（2023·江苏·高一专题练习）已知，，且，则的最大值为____．
10．（2023·湖北孝感·高一期中）若正实数满足，则的最大值为________.
11．（2023·江苏·南京市第十三中学高一期末）若实数满足，则的最大值为________.
四、解答题
12．（2023·全国·高一课时练习）若对任意实数x，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
13．（2023·全国·高一课时练习）（1）当时，求的最小值；
（2）当时，求的最小值．
14．（2023·新疆喀什·高一期中）某校为了美化校园环境，计划在学校空地建设一个面积为的长方形草坪，如图所示，花草坪中间设计一个矩形ABCD种植花卉，矩形ABCD上下各留1m，左右各留1.5米的空间种植草坪，设花草坪长度为x（单位：m），宽度为y（单位：m），矩形ABCD的面积为s（单位：）
(1)试用x，y表示s；
(2)求s的最大值，并求出此时x，y的值．
15．(2023·全国·高一课时练习）（1）已知，，均为正实数，求证：．
（2）已知，，是互不相等的正数，且，求证：．
16．（2023·全国·高一专题练习）若对任意的，对任意的，不等式恒成立，求的最大值.
2.2 基本不等式（第2课时）（分层作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2023·河北·大名县第一中学高一阶段练习）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：根据基本不等式即可求出．
【详解】因为，当且仅当时取等号，所以函数的值域为．
故选：C．
2．(2023·全国·高一）已知，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：利用基本不等式进行求解.
【详解】因为，，
所以
（当且仅当，即时取等号），
即的最小值为4.
故选：D.
3．(2023·河南南阳·高一阶段练习）已知，且，则的最大值为（ ）
A．2B．5C．D．
答案：D
分析：直接由基本不等式求解即可.
【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立.
所以的最大值为.
故选：D
4．（2023·全国·高一专题练习）若对任意的都有，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】利用基本不等式，可求得的最小值，即可求得答案.
【详解】因为，则，
当且仅当，即x=1时等号成立，
所以，
故选：A
5．(2023·全国·高一课时练习）下列说法正确的为（ ）
A．
B．函数的最小值为4
C．若则最大值为1
D．已知时，，当且仅当即时，取得最小值8
答案：C
分析：利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可.
【详解】对于选项,只有当时，才满足基本不等式的使用条件，则不正确；
对于选项,，令，
即在上单调递增，则最小值为,
则不正确；
对于选项,，则正确；
对于选项,当时，，当且仅当
时，即，等号成立，则不正确.
故选：.
6．(2023·全国·高一课时练习）已知，用基本不等式求的最小值时，有，则取得最小值时的值为（ ）
A．B．C．D．3
答案：C
分析：利用基本不等式取等号的条件进行求解.
【详解】因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，即取得最小值．
故选：C
7．(2023·全国·高一课时练习）某汽车客运站购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：万元）与营运年数x为二次函数关系，如图所示，则当每辆客车营运的年平均利润最大时，其营运年数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
答案：C
分析：先由题意，根据待定系数法求出函数解析式，再由基本不等式即可求解.
【详解】由题意可设，
且当时，，即，
解得，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号．
故选:C．
8．（2023·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）已知，则的最值为（ ）
A．最小值2B．最大值2C．最小值3D．最大值3
答案：C
分析：配凑目标式，利用基本不等式，即可求得目标式的最值.
【详解】因为，故，当且仅当时取得最小值3；
令，对函数，其在单调递减，在单调递增，无最大值.
故时，无最大值.
故选：C.
9．（2023·江苏·高一专题练习）若不等式对满足条件的恒成立，则实数k的最大值为（ ）
A．2B．4
C．6D．8
答案：B
分析：根据已知及基本不等式可得，可求出实数k的最大值．
【详解】解：根据 ，当且仅当时，取等号，
化简可得，
因为，所以，，
所以运用，
可得，当且仅当，即时，取等号，
又因为恒成立，
所以，
即k的最大值是4．
故选：B．
10．(2023·全国·益阳平高学校高一期末）已知，且，则的最小值是（ ）
A．6B．8C．14D．16
答案：A
分析：利用基本不等式可求解.
【详解】因为，所以.因为，所以，所以，即，
当且仅当时，等号成立，故的最小值是6.
故选：A
二、多选题
11．(2023·全国·高一）设正实数满足，则（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为2
C．的最大值为1
D．的最小值为2
答案：CD
分析：由已知条件结合基本不等式及其相关变形，分别检验各个选项即可判断正误.
【详解】对于选项， ，
当且仅当且时，即，时取等号，则错误；
对于选项， ,当且仅当
时等号成立，则，即的最大值为2，则错误；
对于选项，，即，当且仅当时，等号成立，则正确；
对于选项， ，当且仅
当时，等号成立，则正确,
故选: .
12．(2023·全国·高一课时练习）（多选）已知，都为正数，且，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最小值为
答案：ABD
分析：利用基本不等式结合已知条件逐个分析判断.
【详解】对于A，因为，都为正数，且，所以，当且仅当即，时取等号，所以的最大值为，所以A正确，
对于B，因为，所以，由选项A可知，所以，当且仅当，时取等号，所以的最小值为，所以B正确，
对于C，因为，所以，当且仅当，即，时取等号，但，都为正数，故等号取不到，所以C错误，
对于D，因为，都为正数，且，所以，当且仅当即即，时取等号，所以的最小值为，所以D正确，
故选：ABD
三、填空题
13．(2023·全国·高一课时练习）用一根长为12m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架（不计损耗），要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的宽为______m．
答案：
分析：首先设框架的宽为x，再表示框架的面积，利用基本不等式求最值，即可求框架的宽.
【详解】设框架的宽为x，则其高为，要使这个窗户通过的阳光最充足，只要窗户的面积S最大，，当且仅当，即时等号成立，故框架的宽为m．
故答案为：
14．（2023·全国·高一课时练习）已知，则函数的最大值为___________.
答案：
分析：由于 ，需要构造函数，才能运用基本不等式.
【详解】因为，所以，,
当且仅当，即时，等号成立.故当时，
取最大值，即.
故答案为：3.
15．(2023·甘肃·张掖市第二中学高一阶段练习）函数的最小值是___________.
答案：
分析：利用基本不等式求函数最小值，注意等号成立的条件即可.
【详解】由题设知，
则，当且仅当时等号成立，
故函数最小值为.
故答案为：.
16．（2023·吉林油田高级中学高一开学考试）若“，不等式恒成立”为真命题，则实数a的取值范围是______．
答案：
分析：根据基本不等式求出，，根据不等式“，不等式恒成立”可得答案.
【详解】由基本不等式可知，（当且仅当x＝1时取“＝”），
因为“，不等式恒成立”，故,
故答案为：
17．（2023·江苏·高一专题练习）若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围是________．
答案：
分析：当时，成立；当时，恒成立等价于恒成立，有基本不等式得出a的取值范围.
【详解】当时，，不等式成立；
当时，根据恒成立，则等价于恒成立，
，当且仅当时等号成立；
只需即可．
故答案为：
18．(2023·江苏·高一）已知，，且，则的最小值为_________
答案：
分析：利用基本不等式“1”的妙用进行求解
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故答案为：
19．(2023·陕西·长安一中高一阶段练习）函数的最小值为___．
答案：
分析：令，则，化简得到，集合基本不等式，即可求解.
【详解】因为，令，则，
又因为，可得，
因为，当且仅当时，即，即时，等号成立，
所以，即的最小值为.
故答案为：.
20．(2023·江苏·高一）当时，函数的最小值为___________．
答案：
分析：将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得结果.
【详解】因为，则，则，
当且仅当时，等号成立，
所以，当时，函数的最小值为.
故答案为：.
四、解答题
21．（2023·全国·高一课时练习）设，求函数的最大值.
答案：4
分析：根据题意,设,结合二次函数的性质分析可得当时,有最大值16,进而分析可得的最大值,即可得答案.
【详解】解: 根据题意,设
则,
分析可得当时,有最大值16,
则此时有最大值;
故函数的最大值为4.
【点睛】本题考查函数最值的计算,关键是转化思路,利用二次函数的性质求出函数的最大值.
22．(2023·全国·高一专题练习）求函数的最值.
答案：最小值为，无最大值
分析：利用分式变形结合换元法构造对勾函数，利用对勾函数最值求解即可
【详解】解：，令，则，
因为对勾函数在上单调递增，当时，取得最小值.
故的最小值为，无最大值.
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·江苏·高一专题练习）已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：由，得出，进一步得到的最小值，再根据不等式恒成立，得出求出c的取值范围．
【详解】解：，
，当且仅当时“”成立，
又不等式恒成立，
，
的取值范围是．
故选：B．
2．（2023·全国·高一课时练习）设计用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为，则车厢的最大容积是（ ）
A．（38－3 m3B．16 m3C．4 m3D．14 m3
答案：B
【详解】设长方体车厢的长为xm，高为hm，则，即，
∴，
即，
解得，
∴．
∴车厢的容积为．当且仅当且，即时等号成立．
∴车厢容积的最大值为．选B．
二、多选题
3．(2023·全国·高一单元测试）已知，，且，则（ ）
A．的取值范围是
B．的取值范围是
C．的最小值是3
D．的最小值是
答案：BD
分析：根据基本不等式可求得，判断A;将变形为结合基本不等式，求得，判断B；由整理得到结合基本不等式可判断C,D.
【详解】对于A，因为，，所以，当且仅当时取等号，
即，解得，即，A错误；
对于B, 由，,，当且仅当时取等号，
得，
所以,B正确；
对于C, 由，，，得，
则 ，
当且仅当，即时等号成立,但，
所以．（等号取不到）,故C错误；
对于D，由C的分析知：，,,
，
当且仅当，即时等号成立，D正确，
故选：BD
4．（2023·重庆市凤鸣山中学高一期中）下列结论中，正确的结论有．
A．如果，那么取得最大值时的值为
B．如果，，，那么的最小值为6
C．函数的最小值为2
D．如果，，且，那么的最小值为2
答案：AB
【解析】A.将其配成顶点坐标式即可得出答案；
B.将其配成代入即可得其最小值；
C. 函数，当且仅当此时无解
D.根据题意构造，将“1”替换为，代入用基本不等式.
【详解】解：对于A. 如果，那么，当时取得最大值，故正确；
对于B.如果，，则整理得，所以或（舍去），当且仅当时取得最小值，故正确；
对于C. 函数，当且仅当此时无解，不能取得最小值2，故错误；
对于D. 如果，，且，
那么
当且仅当即时取得最小值，故错误.
故选：AB
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
三、填空题
5．（2023·江苏·扬州大学附属中学高一期中）不等式的解集为，则的最大值为____________.
答案：
分析：分、两种情况讨论，根据题意可得出、所满足的不等关系式，结合基本不等式可求得的最大值.
【详解】当时，即不等式的解集为，则，，
要使得有意义，此时，则；
当时，若不等式的解集为，则，即，
所以，，
因为，则，
当时，则，此时；
当时，则，令，则，
当且仅当时，等号成立.
综上所述，的最大值为.
故答案为：.
6．(2023·陕西·长安一中高一期中）已知，且，那么下列不等式：①；②；③；④中，正确的序号是________．
答案：①②④
分析：利用基本不等式及对勾函数的性质一一判断即可；
【详解】解：对于①:，，，（当且仅当时取得等号），所以①正确；
对于②：由①有，设，则在上单调递减．所以，所以②正确；
对于③：（当且仅当时取得等号），
．所以③错误．
对于④：（当且仅当，即时等号成立），所以④正确．
故答案为：①②④．
7．（2023·辽宁·高一期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值是______.
答案：
分析：问题转化为恒成立，由基本不等式求
的最小值可得．
【详解】，，不等式恒成立，
恒成立，
又
当且仅当即时取等号，
的最小值为，
所以，即的最大值为，
故答案为：．
8．（2023·浙江省桐乡市高级中学高一阶段练习）已知，，且，则的最小值为__________.
答案：
分析：由基本不等式分析，换元结合对勾函数性质可求最小值.
【详解】由题意，，
因为，令，，
由对勾函数性质可知，当时，有最小值，当且仅当时取到，
故的最小值为.
故答案为：
9．（2023·江苏·高一专题练习）已知，，且，则的最大值为____．
答案：
【解析】由，，
利用均值不等式得，
解得的取值范围，进而求得的最大值.
【详解】由，，得，
即
又，
当且仅当，即时，取等，
故，
解得或（舍）
故，即的最大值为，
故答案为：.
10．（2023·湖北孝感·高一期中）若正实数满足，则的最大值为________.
答案：4
分析：将用的表达式表示，结合，利用均值不等式求出，从而确定的范围.
【详解】因为，
所以，
又且，
所以，
解得，
=
结合知，有最大值4.
故答案为：4.
11．（2023·江苏·南京市第十三中学高一期末）若实数满足，则的最大值为________.
答案：
【解析】已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值.
【详解】由，得，
设，其中.
则，从而，
记，则，
不妨设，则,
当且仅当，即时取等号，即最大值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查二元二次等式条件下二元分式的最大值，注意根据已知条件可因式分解从而采用换元法来改造目标代数式，再根据目标代数式的特征再次换元，从而得到能使用基本不等式的结构形式，本题属于难题.
四、解答题
12．（2023·全国·高一课时练习）若对任意实数x，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
答案：
分析：令，当时，，利用基本不等式和不等式的性质求出的范围，再代入，最终可求出的值域，再根据即可得实数k的取值范围．
【详解】令
当时，
当时，
，当且仅当时等号成立
或
即或
或
或
综合得
因为不等式恒成立，
则
.
13．（2023·全国·高一课时练习）（1）当时，求的最小值；
（2）当时，求的最小值．
答案：（1）7；（2）5．
分析：（1）原函数可化为，然后利用基本不等式求最小值；
（2）原函数可化为，然后利用基本不等式求最小值.
【详解】（1），
当且仅当时，等号成立，即．
（2），
当且仅当时，等号成立，即．
14．（2023·新疆喀什·高一期中）某校为了美化校园环境，计划在学校空地建设一个面积为的长方形草坪，如图所示，花草坪中间设计一个矩形ABCD种植花卉，矩形ABCD上下各留1m，左右各留1.5米的空间种植草坪，设花草坪长度为x（单位：m），宽度为y（单位：m），矩形ABCD的面积为s（单位：）
(1)试用x，y表示s；
(2)求s的最大值，并求出此时x，y的值．
答案：(1)
(2)s的最大值为，此时，．
分析：（1）由题意建立s的函数解析式；（2）利用基本不等式，求出s的最大值.
（1）由题意可得,矩形ABCD长为(x-3)m,宽为(y-2)m,故.
（2）∵，∴（当且仅当,即，时取等号）.故s的最大值为,此时，.
15．(2023·全国·高一课时练习）（1）已知，，均为正实数，求证：．
（2）已知，，是互不相等的正数，且，求证：．
分析：（1）根据重要不等式，进行不等式的转换，可得答案；
（2）利用通分及基本不等式，可得答案.
【详解】（1）因为，当且仅当时等号成立，
所以，所以，所以．①
同理②，③．
①＋②＋③，得，当且仅当时等号成立．
（2）因为，，，是正实数，
所以，
当且仅当时等号成立．又，，互不相等，所以．
16．（2023·全国·高一专题练习）若对任意的，对任意的，不等式恒成立，求的最大值.
答案：33
【解析】设，对讨论，分，，，判断的单调性，求得最值，由不等式的性质和不等式的解法，可得所求最大值．
【详解】设，
当时，，可得的最小值为 ，最大值为，
由题意可得，即为，则 ；
当时，，可得的最小值为，最大值为，
由题意可得，即为，则．
当即时，在递减，可得的最大值为，最小值为，
由题意可得，即为，则，
由，可得无最大值．
综上可得的最大值为．
【点睛】思路点睛：本题考查了对勾函数的单调性，利用单调性求函数的最值，考查了分类讨论的思想，属于难题.
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