必修 第一册2.2 基本不等式精品第二课时导学案及答案

第二章 一元二次函数、方程和不等式

2.2基本不等式

第2课时基本不等式的运用

【课程标准】

1.利用基本不等式的变形求最值

2.掌握常见的变形手段

【知识要点归纳】

1.最值定理

设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当     时，积xy有最大值，且这个值为.

   设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当      时，和x＋y有最小值，且这个值为2.

2.基本不等式求最值的条件（七字真言）

(1)一正：x，y必须是    ；

(2)二定：求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为    ；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为     .

3.变形手段

   （1）拼凑法：通过观察式子的特点，凑出定值

   （2）乘1法：条件中含有常数

【经典例题】

注意：在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.

例5 求下列代数式的最大（小）值；并指出得到最值时的条件。

（1）         （2）     （3）

（4）          （5）

（6）         （7）

（8）         （9）

（10）                 （11）

【当堂检测】

一．选择题（共4小题）

1．已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是　　

A． B．， C．， D．

2．若，为正实数，且，则的最小值为　　

A．2 B． C．3 D．4

3．已知正实数、满足，则最小值为　　

A． B．4 C． D．3

4．已知，则函数的最小值为　　

A． B． C．2 D．

二．填空题（共2小题）

5．设，则函数的最大值为　　．

6．函数的最小值为　　

三．解答题（共1小题）

7．（1）已知，求的最小值；

（2）已知，，且，求的最小值．

当堂检测答案

一．选择题（共4小题）

1．已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是　　

A． B．， C．， D．

【分析】根据“乘1法”，可得，展开后，结合基本不等式可推出，解此不等式即可．

【解答】解：，且，，，

，

当且仅当即时，等号成立，

不等式恒成立，

，化简得，，

解得，即，

的取值范围是，．

故选：．

【点评】本题考查利用基本不等式解决最值问题，熟练掌握“乘1法”是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．

2．若，为正实数，且，则的最小值为　　

A．2 B． C．3 D．4

【分析】，利用基本不等式即可求得最小值．

【解答】解：，

当且仅当时，即，时，取得最小值2，

故选：．

【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．

3．已知正实数、满足，则最小值为　　

A． B．4 C． D．3

【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

【解答】解：因为正实数、满足，

所以，

则，

当且仅当且即，时取等号，

故选：．

【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．

4．已知，则函数的最小值为　　

A． B． C．2 D．

【分析】，利用基本不等式的性质即可求得最小值．

【解答】解：，，

，

当且仅当时取得最小值．

故选：．

【点评】本题考查了基本不等式性质的应用，属于基础题．

二．填空题（共2小题）

5．设，则函数的最大值为　　．

【分析】由题设利用基本不等式求得结果．

【解答】解：，，

，当且仅当时取“ “，

故答案为：．

【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．

6．函数的最小值为　1　

【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解．

【解答】解：由可得，

所以，

当且仅当即时取等号，

故答案为：1

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础试题．

三．解答题（共1小题）

7．（1）已知，求的最小值；

（2）已知，，且，求的最小值．

【分析】（1）由，然后结合基本不等式即可求解．

（2）由，然后结合基本不等式即可求解．

【解答】解：（1），，

，

当且仅当时等号成立，

综上，的最小值是8；

（2），

，

，，

当且仅当时等号成立，

，

的最小值是9．

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础试题．