高中数学2.2 基本不等式第2课时同步练习题

基本不等式

学习目标：

1.探索并了解基本不等式的证明过程；体会证明不等式的基本思想．

2.掌握基本不等式及其等号成立的条件..

3.能利用基本不等式求代数式的最值，能利用基本不等式证明不等式．

知识要点：

1.基本不等式

如果，那么（当且仅当            时取“=”）.

说明：

①对于非负数，我们把称为的_______，称为的______.

②我们把不等式称为基本不等式，我们也可以把基本不等式表述为：两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数.

③“当且仅当时取‘=’号”这句话的含义是：一方面是当_____时，有；   另一方面当________时，有.

④ 结构特点：和式与积式的关系.

2.基本不等式的变形

（1）（当且仅当时等号成立）；

（2）（当且仅当____时等号成立）.

典型例题：

题组一 基本不等式概念辨析

例1.（多选） 下列命题中正确的是（    ）

A．的最大值是 B．的最小值是2

C．的最大值是 D．最小值是5

【答案】ACD

对于A，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值是，故A正确；

对于B，，因为，即无解，即等号不成立，所以取不到最小值2，故B错误；

对于C，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值是，故C正确；

对于D，，当且仅当，即时，等号成立，所以最小值是5，故D正确；

 故选：ACD.

变式：（多选）下列说法中正确的有（    ）

A．不等式恒成立   B．不等式恒成立

C．若，则  D．存在a，使得不等式成立

【答案】BCD

A，a，b都小于0时不成立，错误；
B，，当且仅当时取等号，
所以，正确；
C，因为，所以，所以，

当且仅当时取等号，正确；
D，当时，，正确．
故选：BCD．

题组二　基本不等式比较大小

例2． 若，且，则中值最小的是__________

【答案】

由，，且，根据均值不等式有：，，

又，

因为，所以，则，

所以，即.

故答案为：.

变式：若，，且，则在中最大的一个是_______.

【答案】

因为，

所以，且，

由不等式的基本性质得，

所以在中最大的一个是

故答案为：

题组三　利用基本不等式证明不等式

例3. 已知证明.(请用两种不同的方法证明，其中必须有分析法)

【答案】证明见解析.

证法1(分析法)： ，要证，

只要证，即证.，只要证.

，当且仅当1时取等号.故原不等式成立.

证法2：，

，当且仅当，即时取等号.

证法3：

，，当且仅当时取等号；

，当且仅当时取等号；，

当且仅当时取等号.

变式：（1）设，证明；

（2）求满足方程的实数的值.

【答案】（1）见解析; （2） 或

（1）

以上三个式子相加可得：

即

即故.

（2）

故满足方程时有 或

题组四　利用基本不等式求最值

例4. 若，求函数的最小值，并求此时的值；

设，求函数的最大值；

已知，求的最小值；

已知，，且，求的最小值.

【答案】时,取得最小值；；；.

解：当时，，

当且仅当，即时取等号.

所以函数的最小值为，当时，有最小值.

，，

.

当且仅当，即时，等号成立.

，函数的最大值为.

，，，

当且仅当，即时，等号成立. 的最小值为.

，且，

，

当且仅当，，即，时，上式取等号.

故当，时，.

变式：已知，，．

（1）当时，求的最小值；

（2）当时，求的最小值．

【答案】（1）（2）

（1）当时，，，显然，

所以，由，得，

所以

，

当且仅当，时等号成立，

所以的最小值为.

（2）当时，由得，得，

所以，

当且仅当时，等号成立.

所以的最小值为.

题组五　基本不等式在实际问题中的应用

例5. 已知A，B两地的距离是、根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在，假设油价是7元/L，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是35元．那么最经济的车速是多少？如果不考虑其他费用，这次行车的总费用是多少？

【答案】；元

设汽车以行驶时，

行车的总费用，，

即，，

此时，

当且仅当时，即时取等号成立，

故最经济的车速约为；

如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约为元.

变式： 如图所示，某广场有一块边长为的正方形区域，在点A处装有一个可转动的摄像头，其能够捕捉到图像的角始终为（其中点P、Q分别在边、上）设，记．

（1）求用t表示的长度，并研究的周长l是否为定值？

（2）问摄像头能捕捉到正方形内部区域的面积S至多为多少？

【答案】（1），是定值；（2）能捕捉的面积S至多为．

解：（1）设，，

所以，，

则：．

所以：，

故：．

所以的周长为定值2．

（2），

．

当且仅当时，摄像头能捕捉到正方形内部区域的面积至多为．

当堂检测：

1．下列选项中正确的是（    ）

A．不等式恒成立    B．存在实数a，使得不等式成立

C．若a､b为正实数，则  D．若正实数x，y满足，则

【答案】BCD

不等式恒成立的条件是，，比如取,可知不等式不成立，故A不正确；

当a为负数时，不等式成立.故B正确；

若a､b为正实数，则，由基本不等式可知，当且仅当时取等号，故C正确；

若正实数x，y，则，

当且仅当，即时取等号，故D正确.

故选：BCD.

2．已知，，且，则下列结论中正确的是（    ）

A．有最小值4 B．有最小值1

C．有最大值4 D．有最小值4

【答案】A

解： ，，且，

对于A，，当且仅当时取等号，所以A正确，

对于B，因为，所以，当且仅当时取等号，即有最大值1，所以B错误，

对于C，因为，当且仅当时取等号，即有最小值4，所以C错误，

对于D，因为，当且仅当时取等号，即有最大值4，所以D错误，

故选：A

3．如图，计划在一块空地上种植面积为的草坪，草坪的四周留有人行通道，设计要求草坪外侧南北的人行通道宽，东西的人行通道宽，如何设计草坪的边长才能使人行通道占地面积最小，最小面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

设草坪的长（东西方向）为，则宽为，

则道路占用面积为，当且仅当，即时，等号成立．

所以道路占地最小面积为．

故选：D．

4．（1）若，求的最小值及对应的值；

（2）若，求的最小值及对应的值．

【答案】（1）最小值为5，；（2）最小值为，．

（1）因为，所以，

当且仅当即时等号成立，函数取最小值5；

（2）

当且仅当即时等号成立，函数取最小值.

5．已知都是正数，且，

（1）求的最小值；

（2）求的最小值．

【答案】(1) ；(2) .

 (1) .

因为都是正数，所以由基本不等式得，

，所以，当且仅当 ， 时等号成立.

所以的最小值为 .

(2) .

因为都是正数，所以由基本不等式得，

，所以，当且仅当 ， 时等号成立.

所以的最小值为.

参考答案：

知识要点：

1.基本不等式：

①算术平均数，几何平均数；③

2.基本不等式的变形

（1）；（2）.

典型例题：

例1.ACD

对于A，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值是，故A正确；

对于B，，因为，即无解，即等号不成立，所以取不到最小值2，故B错误；

对于C，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值是，故C正确；

对于D，，当且仅当，即时，等号成立，所以最小值是5，故D正确；

 故选：ACD.

变式：BCD

A，a，b都小于0时不成立，错误；
B，，当且仅当时取等号，
所以，正确；
C，因为，所以，所以，

当且仅当时取等号，正确；
D，当时，，正确．
故选：BCD．

例2．

由，，且，根据均值不等式有：，，

又，

因为，所以，则，

所以，即.故答案为：.

变式：

因为，

所以，且，

由不等式的基本性质得，

所以在中最大的一个是

故答案为：

例3.证法1(分析法)： ，要证，

只要证，即证.，只要证.

，当且仅当1时取等号.故原不等式成立.

证法2：，

，当且仅当，即时取等号.

证法3：

，，当且仅当时取等号；

，当且仅当时取等号；，

当且仅当时取等号.

变式：（1）

以上三个式子相加可得：

即

即故.

（2）

故满足方程时有 或

例4.时,取得最小值；；；.

解：当时，，

当且仅当，即时取等号.

所以函数的最小值为，当时，有最小值.

，，

.

当且仅当，即时，等号成立.

，函数的最大值为.

，，，

当且仅当，即时，等号成立. 的最小值为.

，且，

，

当且仅当，，即，时，上式取等号.

故当，时，.

变式：（1）当时，，，显然，

所以，由，得，

所以

，

当且仅当，时等号成立，

所以的最小值为.

（2）当时，由得，得，

所以，

当且仅当时，等号成立.

所以的最小值为.

例5. 设汽车以行驶时，

行车的总费用，，

即，，

此时，

当且仅当时，即时取等号成立，

故最经济的车速约为；

如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约为元.

变式： （1）设，，

所以，，

则：．

所以：，

故：．

所以的周长为定值2．

（2），

．

当且仅当时，摄像头能捕捉到正方形内部区域的面积至多为．

当堂检测：

1．BCD

不等式恒成立的条件是，，比如取,可知不等式不成立，故A不正确；

当a为负数时，不等式成立.故B正确；

若a､b为正实数，则，由基本不等式可知，当且仅当时取等号，故C正确；

若正实数x，y，则，

当且仅当，即时取等号，故D正确.

故选：BCD.

2．A

解： ，，且，

对于A，，当且仅当时取等号，所以A正确，

对于B，因为，所以，当且仅当时取等号，即有最大值1，所以B错误，

对于C，因为，当且仅当时取等号，即有最小值4，所以C错误，

对于D，因为，当且仅当时取等号，即有最大值4，所以D错误，

故选：A

3．D

设草坪的长（东西方向）为，则宽为，

则道路占用面积为，当且仅当，即时，等号成立．

所以道路占地最小面积为．

故选：D．

4．（1）最小值为5，；（2）最小值为，．

（1）因为，所以，

当且仅当即时等号成立，函数取最小值5；

（2）

当且仅当即时等号成立，函数取最小值.

5． (1) .

因为都是正数，所以由基本不等式得，

，所以，当且仅当 ， 时等号成立.

所以的最小值为 .

(2) .

因为都是正数，所以由基本不等式得，

，所以，当且仅当 ， 时等号成立.

所以的最小值为.