2021年人教版高中数学必修第一册随堂练习：第2章《2.2第1课时基本不等式》(含答案详解)

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1．重要不等式
∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
2．基本不等式
(1)有关概念：当a，b均为正数时，把eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，把eq \r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．
(2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，等号成立．
1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是( )
A．a＝±1 B．a＝1
C．a＝－1 D．a＝0
B [当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0即a＝1时，“＝”成立．]
2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，下列各式中最大的是( )
A．a2＋b2 B．2eq \r(ab)
C．2ab D．a＋b
D [∵a，b∈(0,1)，∴a2＜a，b2＜b，
∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞2ab(∵a≠b)，
∴2ab＜a2＋b2＜a＋b.
又∵a＋b＞2eq \r(ab)(∵a≠b)，∴a＋b最大．]
3．已知ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
B [∵a>0，b>0，∴a＋b≥2eq \r(ab)＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2.]
4．当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________．
①eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)；②a－b≥2eq \r(ab)；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.
③ [根据eq \f(x2＋y2,2)≥xy，eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．]
对基本不等式的理解
【例1】 给出下面四个推导过程：
①∵a、b为正实数，∴eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2；
②∵a∈R，a≠0，∴eq \f(4,a)＋a≥2eq \r(\f(4,a)·a)＝4；
③∵x、y∈R，xy＜0，∴eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,y)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y,x)))))≤－2eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,y)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y,x))))＝－2.
其中正确的推导为( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
B [①∵a、b为正实数，∴eq \f(b,a)、eq \f(a,b)为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确．
②∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，
∴eq \f(4,a)＋a≥2eq \r(\f(4,a)·a)＝4是错误的．
③由xy＜0，得eq \f(x,y)、eq \f(y,x)均为负数，但在推导过程中将整体eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)提出负号后，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,y)))、eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y,x)))均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．]
1．基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2) (a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系．
2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a、b都是正数．(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)的等号成立，即a＝b⇒eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)；仅当a＝b时，eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)的等号成立，即eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)⇒a＝b.
1．下列不等式的推导过程正确的是________．
①若x＞1，则x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(x·\f(1,x))＝2.
②若x＜0，则x＋eq \f(4,x)＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－x＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,x)))))
≤－2eq \r(－x·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,x))))＝－4.
③若a，b∈R，则eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2.
② [ ①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x＝eq \f(1,x)时即x＝1时，x＋eq \f(1,x)≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋eq \f(1,x)＞2，③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．]
利用基本不等式比较大小
【例2】 (1)已知a，b∈R＋，则下列各式中不一定成立的是( )
A．a＋b≥2eq \r(ab) B.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2
C.eq \f(a2＋b2,\r(ab))≥2eq \r(ab) D.eq \f(2ab,a＋b)≥eq \r(ab)
(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．
(1)D (2)a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac [(1)由eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)得a＋b＝2eq \r(ab)，
∴A成立；
∵eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，∴B成立；
∵eq \f(a2＋b2,\r(ab))≥eq \f(2ab,\r(ab))＝2eq \r(ab)，∴C成立；
∵eq \f(2ab,a＋b)≤eq \f(2ab,2\r(ab))＝eq \r(ab)，∴D不一定成立．
(2)∵a、b、c互不相等，
∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2ac，a2＋c2>2ac.
∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．
即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.]
1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．
2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2eq \r(ab)成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.
2．如果0＜a＜b＜1，P＝eq \f(a＋b,2)，Q＝eq \r(ab)，M＝eq \r(a＋b)，那么P，Q，M的大小顺序是( )
A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q
C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P
B [显然eq \f(a＋b,2)＞eq \r(ab)，又因为eq \f(a＋b,2)＜eq \r(a＋b)，(由a＋b＞eq \f(a＋b2,4)也就是eq \f(a＋b,4)＜1可得)，所以eq \r(a＋b)＞eq \f(a＋b,2)＞eq \r(ab).故M＞P＞Q.]
利用基本不等式证明不等式
【例3】 已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)>9.
[思路点拨] 看到eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)>9，想到将“1”换成“a＋b＋c”，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明．
[证明] ∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝eq \f(a＋b＋c,a)＋eq \f(a＋b＋c,b)＋eq \f(a＋b＋c,c)
＝3＋eq \f(b,a)＋eq \f(c,a)＋eq \f(a,b)＋eq \f(c,b)＋eq \f(a,c)＋eq \f(b,c)
＝3＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,b)＋\f(b,c)))
≥3＋2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＋2eq \r(\f(c,a)·\f(a,c))＋2eq \r(\f(c,b)·\f(b,c))
＝3＋2＋2＋2
＝9.
当且仅当a＝b＝c时取等号，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)>9.
本例条件不变，求证：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,c)－1))>8.
[证明] ∵a，b，c∈R＋，
且a＋b＋c＝1，
∴eq \f(1,a)－1＝eq \f(b＋c,a)>0，eq \f(1,b)－1＝eq \f(a＋c,b)>0，eq \f(1,c)－1＝eq \f(a＋b,c)>0，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,c)－1))
＝eq \f(b＋c,a)·eq \f(a＋c,b)·eq \f(a＋b,c)
≥eq \f(2\r(bc)·2\r(ac)·2\r(ab),abc)＝8，
当且仅当a＝b＝c时取等号，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,c)－1))＞8.
1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．
2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．
3．已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
[证明] 由基本不等式可得
a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，
同理，b4＋c4≥2b2c2，
c4＋a4≥2a2c2，
∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，
从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
4．已知a＞1，b＞0，eq \f(1,a)＋eq \f(3,b)＝1，求证：a＋2b≥2eq \r(6)＋7.
[证明] 由eq \f(1,a)＋eq \f(3,b)＝1，得b＝eq \f(3a,a－1)(a＞1)，
则a＋2b＝a＋eq \f(6a,a－1)＝a＋eq \f(6a－1＋6,a－1)
＝a＋eq \f(6,a－1)＋6＝(a－1)＋eq \f(6,a－1)＋7
≥2eq \r(6)＋7，
当a－1＝eq \f(6,a－1)时，即a＝1＋eq \r(6)时，取等号．
1．应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a>0，b>0时，才会有eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2).对于“当且仅当……时，‘＝’成立…”这句话要从两个方面理解：一方面，当a＝b时，eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)；另一方面：当eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)时，也有a＝b.
2．应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、“凑”、“拆”、“合”、“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构..
1．思考辨析
(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2eq \r(ab)均成立．( )
(2)若a≠0，则a＋eq \f(1,a)≥2eq \r(a·\f(1,a))＝2.( )
(3)若a>0，b>0，则ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2.( )
[提示] (1)任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b都为正数时，不等式a＋b≥2eq \r(ab)成立．
(2)只有当a>0时，根据基本不等式，才有不等式a＋eq \f(1,a)≥2eq \r(a·\f(1,a))＝2成立．
(3)因为eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)，所以ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2.
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a－b<0 B．0C.eq \r(ab)a＋b
C [∵a>b>0，由基本不等式知eq \r(ab)3．不等式eq \f(9,x－2)＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是( )
A．x＝3 B．x＝－3
C．x＝5 D．x＝－5
C [由基本不等式知等号成立的条件为eq \f(9,x－2)＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)．]
4．设a>0，b>0，证明：eq \f(b2,a)＋eq \f(a2,b)≥a＋b.
[证明] ∵a>0，b>0，
∴eq \f(b2,a)＋a≥2b，eq \f(a2,b)＋b≥2a，
∴eq \f(b2,a)＋eq \f(a2,b)≥a＋b.
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解基本不等式的证明过程．(重点)
2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.
1.通过不等式的证明，培养逻辑推理素养．
2．借助基本不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算素养.