高中数学2.1 等式性质与不等式性质第2课时课后练习题

这是一份高中数学2.1 等式性质与不等式性质第2课时课后练习题，共24页。

【夯实基础】
一、单选题
1．（2023·四川·雅安中学高一开学考试）如果，那么下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·广东湛江·高一期末）下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
3．（2023·广西河池·高一阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
4．（2023·江西·高一期中）“”的充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·广东中山·高一期末）下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
6．(2023·全国·高一课时练习）下列说法正确的为（ ）
A．与2的和是非负数，可表示为“”
B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”
C．的两边之和大于第三边，记三边分别为，，，则可表示为“且且”
D．若某天的最低温度为7℃，最高温度为13℃，则这天的温度可表示为“7℃13℃”
7．（2023·全国·高一期末）若实数a，b，c满足等式，，则c可能取的最大值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．（2023·全国·高一课时练习）我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（ ）
A．6钱B．7钱C．8钱D．9钱
二、填空题
9．(2023·全国·高一专题练习）已知，，则的取值范围是_________
10．（2023·广西·玉林市第十一中学高一阶段练习）若且，则的最大值是____________．
11．（2023·海南·儋州川绵中学高一阶段练习）已知，则的取值范围是__________.
12．（2023·全国·高一课时练习）某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分．某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系：________．（不用化简）
13．(2023·全国·高一课时练习）若，，则的取值范围为______．
三、解答题
14．（2023·全国·高一课时练习）证明：，.
15．(2023·全国·高一专题练习）已知，求证：.
16．（2023·全国·高一专题练习）（1）已知，求证：；
（2）已知，求的取值范围；
（3）已知，求的取值范围．
17．(2023·全国·高一课时练习）已知，，求，的取值范围．
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·福建福州·高一期中）若，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
2．（2023·云南·昆明一中高一期中）下列不等式：
①；
②；
③；
④
其中恒成立的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
3．(2023·全国·高一课时练习）已知实数，满足，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．(2023·全国·高一课时练习），，，，设，则下列判断中正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·全国·高一课时练习）已知，，为正整数，，则方程的解得个数为（ ）
A．8B．10C．11D．12
二、多选题
6．（2023·广西·南宁市东盟中学高一期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
7．（2023·新疆·乌鲁木齐市第70中高一阶段练习）已知实数x，y满足，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
8．（2023·全国·高一课时练习）设，则中等号成立的充要条件是_______．
9．（2023·江苏·高一单元测试）已知实数，且满足，则________．
10．（2023·浙江·高一期中）设，若时均有，则________．
四、解答题
11．(2023·全国·高一专题练习）（1）若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤；
（2）已知c>a>b>0，求证：；
（3）观察以下运算：
1×5＋3×6>1×6＋3×5，
1×5＋3×6＋4×7>1×6＋3×5＋4×7>1×7＋3×6＋4×5.
①若两组数a1，a2与b1，b2，且a1≤a2，b1≤b2，则a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1是否成立，试证明；
②若两组数a1，a2，a3与b1，b2，b3且a1≤a2≤a3，b1≤b2≤b3，对a1b3＋a2b2＋a3b1，a1b2＋a2b1＋a3b3，a1b1＋a2b2＋a3b3进行大小顺序(不需要说明理由).
12．（2023·全国·高一课时练习）若，则.
(1)若存在常数，使得不等式对任意正数，恒成立，试求常数的值，并证明不等式：；
(2)证明不等式：.
13．（2023·辽宁·建平县实验中学高一阶段练习）（1）比较与的大小；
（2）已知，且，
①求证：．
②求的取值范围．
14．(2023·江西·景德镇一中高一期末）若对任意使得关于的方程有实数解的均有，求实数的最大值.
15．(2023·全国·高一课时练习）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积为，地板面积为，
(1)若这所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？
(2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，设增加的面积为，则公寓的采光效果是变好了还是变坏了？请说明理由．
16．（2023·全国·高一课时练习）求下列关于的不等式的解集
(1)；
(2).
2.1等式性质与不等式性质（第2课时）（分层作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2023·四川·雅安中学高一开学考试）如果，那么下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：利用不等式的基本性质逐一分析即可.
【详解】A.当时满足，但此时，故A选项错误；
B.当时满足，但此时，故B选项错误；
C.当时满足，但此时，故C选项错误；
D.由得：，即，故D选项正确.
故选：D.
2．(2023·广东湛江·高一期末）下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
答案：A
分析：AD选项，可以用不等式基本性质进行证明；BC选项，可以用举出反例.
【详解】，显然均大于等于0，两边平方得：，A正确；
当时，满足，但，B错误；
若，当时，则，C错误；
若，，则，D错误.
故选：A
3．（2023·广西河池·高一阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
答案：D
分析：ABC选项可以举出反例证明错误；D选项利用不等式的基本性质证明成立.
【详解】对于A，令，则，∴A错误；
对于B，令，则，但，∴B错误；
对于C，令，满足，但，∴C错；
对于D，因为，所以，不等式两边同乘以得：，D选择正确．
故选：D
4．（2023·江西·高一期中）“”的充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：ABD可以举出反例，C选项可以利用不等式的基本性质进行证明出是的充分不必要条件.
【详解】A选项，若，，满足，但，故推导不出，A错误；
B选项，也是如此，若，，满足，但，B错误；
C选项，因为，故，，不等式两边同乘以（），不等号方向不改变，故，是的充分条件，当时，令，，推导不出；综上：是的充分不必要条件，C选项正确；
D选项，若，，满足，但，D选项错误
故选：C.
5．(2023·广东中山·高一期末）下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
答案：C
分析：根据不等式的性质，对四个选项一一验证：
对于A：利用不等式的可乘性的性质进行判断；
对于B：取进行否定；
对于C：利用不等式的可乘性的性质进行证明；
对于D：取进行否定.
【详解】对于A：当时，若取，则有.故A不正确；
对于B：当时，取时，有.故B不正确；
对于C：当，两边同乘以，则.故C正确；
对于D：当，取时，有.故D不正确.
故选：C.
【点睛】（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；
（2）判断不等式成立的解题思路：
①取特殊值进行否定；②利用不等式的性质直接判断.
6．(2023·全国·高一课时练习）下列说法正确的为（ ）
A．与2的和是非负数，可表示为“”
B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”
C．的两边之和大于第三边，记三边分别为，，，则可表示为“且且”
D．若某天的最低温度为7℃，最高温度为13℃，则这天的温度可表示为“7℃13℃”
答案：C
分析：ABD选项，利用不等式表达不等关系均有错误，C选项为正确表达.
【详解】对于A，应表示为“”，
对于B，应表示为“”，
对于D，应表示为“7℃13℃”，
故A，B，D错误．
故选：C．
7．（2023·全国·高一期末）若实数a，b，c满足等式，，则c可能取的最大值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案：C
分析：解出、的二元一次方程，然后利用非负性来确定的取值范围即可求解.
【详解】解：由题意得：
又，且解得：
故c可能取的最大值为.
故选：C
8．（2023·全国·高一课时练习）我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（ ）
A．6钱B．7钱C．8钱D．9钱
答案：C
分析：根据题意设买大竹子，每根单价为，可得，由，解不等式组即可求解.
【详解】依题意可设买大竹子，每根单价为，
购买小竹子，每根单价为，
所以，
即，即，
因为，
所以，
根据选项，，
所以买大竹子根，每根元.
故选：C
【点睛】本题考查了不等式，考查了数据处理能力以及分析能力，属于基础题.
二、填空题
9．(2023·全国·高一专题练习）已知，，则的取值范围是_________
答案：
分析：根据不等式的性质即可求解．
【详解】解：因为，，
所以，，
所以，
故答案为：
10．（2023·广西·玉林市第十一中学高一阶段练习）若且，则的最大值是____________．
答案：7
分析：把表达为与的线性关系，结合与求出最大值.
【详解】，则，解得：
即，因为且，所以，故，故的最大值为7
故答案为：7
11．（2023·海南·儋州川绵中学高一阶段练习）已知，则的取值范围是__________.
答案：
分析：根据不等式的性质可求出.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
则，所以的取值范围是.
故答案为：.
12．（2023·全国·高一课时练习）某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分．某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系：________．（不用化简）
答案：
分析：设这个学生答对了x道题，则答错（20-1-x）道题，根据得分=5×答对题目数-1×答错题目数结合得分在80以上，即可得出关于x的一元一次不等式．
【详解】这个学生至少答对x题，则答错（20-1-x）道题，由得分规则成绩不低于80分，即．
故答案为：
13．(2023·全国·高一课时练习）若，，则的取值范围为______．
答案：
分析：根据的范围求出的范围，再根据不等式的同向相加性质即可求得的范围.
【详解】解：因为，所以；
又因为，所以，
所以．
故答案为：.
三、解答题
14．（2023·全国·高一课时练习）证明：，.
分析：根据同向不等式的可加性证明即可.
【详解】证明：.故得证.
15．(2023·全国·高一专题练习）已知，求证：.
分析：利不等式的性质证明即可
【详解】因为，
所以，，
所以
16．（2023·全国·高一专题练习）（1）已知，求证：；
（2）已知，求的取值范围；
（3）已知，求的取值范围．
答案：（1）证明见解析；（2）；（3）．
分析：（1）根据不等式的性质可证明该不等式.
（2）先求出的范围，从而可求的取值范围.
（3）根据可求的取值范围．
【详解】（1）因为，所以,则．
（2）因为，所以，
所以，所以.
（3）已知，
因为，所以
17．(2023·全国·高一课时练习）已知，，求，的取值范围．
答案：的取值范围是，的取值范围是．
分析：根据题意可得，进而得到的范围，再根据分数的性质可得的取值范围.
【详解】因为，所以．
又，
所以，
即．
因为，所以，
因为，所以，
所以，
即．
所以的取值范围是，的取值范围是．
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·福建福州·高一期中）若，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
答案：C
分析：根据不等式的性质或赋值逐项判断即可.
【详解】对于A选项：当时，，，则，故A选项不正确；
对于B选项：当时，，故B选项不正确；
对于C选项：当时，，，又，，
故C选项正确；
对于D选项：，
，，，，故D选项不正确；
故选：C
2．（2023·云南·昆明一中高一期中）下列不等式：
①；
②；
③；
④
其中恒成立的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
答案：B
分析：对于①，利用不等式的性质可得解；对于②，利用作差法可知，只时，成立；对于③，利用作差法知即可判断； 对于④，利用③的结论结合不等式的性质可判断；
【详解】对于①，∵，∴，又，，故①恒成立；
对于②，，，，但符号不确定，当时，，故②不恒成立；
对于③，，∴，故③恒成立；
对于④，由③知，，，两边同时开方，可得，故④恒成立；
故恒成立的结论是①③④
故选：B．
3．(2023·全国·高一课时练习）已知实数，满足，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
分析：令，，可得，再根据的范围求解即可.
【详解】令，，则，所以．因为，所以．因为，所以，所以.
故选：B
4．(2023·全国·高一课时练习），，，，设，则下列判断中正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：通过凑配构造的方式，构造出新式子，且可以化简为整数，然后利用放缩思想得到S的范围.
【详解】解：，，，，，
；
，
.
故选：D
5．(2023·全国·高一课时练习）已知，，为正整数，，则方程的解得个数为（ ）
A．8B．10C．11D．12
答案：B
【解析】首先根据题中所给的条件，可以断定，之后对分别求解，得到结果.
【详解】因为，所以，
当时，则，即，
可得可取；
当时，则，
可得可取；
当时，则，解得，或，
进而解得为；
当时，则，可得为；
所以方程的解的个数为，
故选：B.
【点睛】该题考查的是有关根据题中条件，判断方程根的个数的问题，在解题的过程中，注意结合不等式的性质，求得某个变量的取值，分类讨论求得结果.
二、多选题
6．（2023·广西·南宁市东盟中学高一期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
答案：ABD
分析：利用不等式的性质可判断ABD选项；举反例可判断C选项.
【详解】A选项，不等式两边同乘，得，为真命题.
B选项，，则，利用同向可加性，可知，为真命题.
C选项，取，满足，但，为假命题.
D选项，，，故，又，利用同向可乘性，可知，为真命题.
故选：ABD
7．（2023·新疆·乌鲁木齐市第70中高一阶段练习）已知实数x，y满足，则（ ）
A．B．C．D．
答案：ABD
分析：由题意结合不等式的性质求解即可
【详解】对于A：因为，
所以，
则，即，故A正确；
对于B：又，，
所以，即，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确；
故选：ABD
三、填空题
8．（2023·全国·高一课时练习）设，则中等号成立的充要条件是_______．
答案：且.
分析：利用充分、必要性的定义判断题设不等式等号成立的充要条件即可.
【详解】由题设，，
∴要使等号成立，则且，
当且时，有，即成立.
综上，且是中等号成立的充要条件.
故答案为：且.
9．（2023·江苏·高一单元测试）已知实数，且满足，则________．
答案：
分析：先分析当时，推出，不符合题意；再分析时，将已知条件变形为关于的一元二次方程，即，由已知该方程有解，可求出的值，代入求出的值，进而求得结果.
【详解】当时，，又，，则，不符合题意；
当时，
整理成关于的一元二次方程，即①
判别式
当时，，
要使方程有解，则不符合，，即，即
又，
将代入方程①得，，解得：
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查利用方程有解求参数，解题的关键是先分析不符合题意，再看时，将已知条件转化成关于的一元二次方程，利用方程有解求参数，考查学生的转化与化归能力与运算求解能力，属于较难题.
10．（2023·浙江·高一期中）设，若时均有，则________．
答案：
【解析】考虑，，三种情况，设，，根据图像知过点，带入计算得到答案.
【详解】，
当时，，不满足题意；
当时，时，，，不满足题意；
当时，设，，函数均过定点，
函数与轴的交点为，如图当直线绕旋转时，只有当与都交于x轴时才能满足，故过点，即，解得或（舍去）.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查了不等式恒成立问题，解题的关键是分类讨论，，三种情况，构造函数将问题转化为两个函数值正负的讨论，考查学生的分类讨论思想与数形结合能力及运算求解能力，属于中档题.
四、解答题
11．(2023·全国·高一专题练习）（1）若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤；
（2）已知c>a>b>0，求证：；
（3）观察以下运算：
1×5＋3×6>1×6＋3×5，
1×5＋3×6＋4×7>1×6＋3×5＋4×7>1×7＋3×6＋4×5.
①若两组数a1，a2与b1，b2，且a1≤a2，b1≤b2，则a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1是否成立，试证明；
②若两组数a1，a2，a3与b1，b2，b3且a1≤a2≤a3，b1≤b2≤b3，对a1b3＋a2b2＋a3b1，a1b2＋a2b1＋a3b3，a1b1＋a2b2＋a3b3进行大小顺序(不需要说明理由).
答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）①成立，证明见解析；②a1b3＋a2b2＋a3b1≤a1b2＋a2b1＋a3b3≤a1b1＋a2b2＋a3b3
分析：（1）（2）根据不等式的基本性质即可得证；
（3）①根据已知条件结合不等式的性质即可得出结论；
②，根据已知条件直接写出结论即可.
【详解】证明：（1）因为，所以，
又，即，
所以，所以，即≤；
（2）因为，所以，，
所以，
所以；
（3）解：①成立，证明如下：
∵a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝a1(b1－b2)＋a2(b2－b1)＝(a1－a2)(b1－b2)，
又a1≤a2，b1≤b2，∴(a1－a2)(b1－b2)≥0，即a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1；
②a1b3＋a2b2＋a3b1≤a1b2＋a2b1＋a3b3≤a1b1＋a2b2＋a3b3
12．（2023·全国·高一课时练习）若，则.
(1)若存在常数，使得不等式对任意正数，恒成立，试求常数的值，并证明不等式：；
(2)证明不等式：.
答案：(1)，证明见解析；(2)证明见解析.
分析：(1)令即可求解，利用不等式性质即可证明不等式；(2)从原不等式入手，对原不等式变形，通过分类讨论与之间的大小关系即可证明.
【详解】证明：(1)当时，，故，
由，且，
利用不等式性质可得，；
(2)欲证，
只需证明，即，
①当时，显然不等式成立，
②当时，不妨令，即，故，
由于，显然成立，
故原不等式成立；
同理，当时，原不等式也成立.
综上所述，对于任意，，均成立.
13．（2023·辽宁·建平县实验中学高一阶段练习）（1）比较与的大小；
（2）已知，且，
①求证：．
②求的取值范围．
答案：（1）当时，，当时，，当时，；（2）①证明详见解析；②.
分析：（1）对两式作差，然后因式分解并分，，三种情况讨论，即可求解；
（2）①由且，可得，再结合不等式的基本性质，即可求解；
②由题意，有，又即可求解.
【详解】解：（1），
当时，，故，
当时，，故，
当时，，故；
（2）①证明：且，
，
，
，两边取倒数得，
又，
，从而得证．
②且，
，
所以，，
因为，所以，即，
所以，即，
综上，.
14．(2023·江西·景德镇一中高一期末）若对任意使得关于的方程有实数解的均有，求实数的最大值.
答案：
分析：设方程的两根为，由韦达定理得，，不等式变形为，化为关于的表达式，再变形得最值．
【详解】设方程的两根为，则，，
，
上式右边最小值是，（时取得），
所以．
故答案为：．
15．(2023·全国·高一课时练习）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积为，地板面积为，
(1)若这所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？
(2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，设增加的面积为，则公寓的采光效果是变好了还是变坏了？请说明理由．
答案：(1)30平方米
(2)变好了
分析：（1）根据题意列出关于的等量关系和不等量关系，化简求解即可
（2）分式的分子分母同时增加，通过作差法比较新的分式与原来分式的大小，从而判断采光效果变好了还是变坏了
（1）根据题意可得： ，则，所以，解得：，所以这所公寓的窗户面积至少为30平方米
（2）同时增加窗户面积和地板面积后，比值为，则，因为，所以，所以，所以同时增加相同的窗户面积和地板面积后，公寓的采光效果变好了
16．（2023·全国·高一课时练习）求下列关于的不等式的解集
(1)；
(2).
【解析】（1）分别对与0的大小关系进行分类讨论求解；
（2）分别对与0的大小关系进行分类讨论求解.
【详解】解:(1)当时,解得；
当时,解得；
当时,,不等式无解；
当时,为任意实数.
综上,当时,解集为；
当时,解集为；
当时,解集为；
当时,解集为.
(2)当时,解得;当时,解得；
当时,为任意实数；
当时,,不等式无解.
综上：当时,解集为；
当时,解集为；
当时,解集为；
当时,解集为.
【点睛】此题考查解含参数的不等式，关键在于分类讨论，对参数进行合理的分类讨论求解.