高中人教A版 (2019)2.2 基本不等式精品教学设计

2.2 基本不等式

第2课时 利用基本不等式解决最值问题

（一）教学内容：基本不等式的应用（简单的数学情境和实际情境）

（二）教学目标

1.通过数学情境中的应用，能够利用基本不等式求简单的最值问题，发展数学运算、数据分析等核心素养.

2.通过实际情境中的应用，能求解一些简单最优化问题，解决实际问题中的最值，发展学生的数学建模、逻辑推理等核心素养。

（三）教学重点及难点

1. 重点：运用基本不等式解决简单的最值问题.

2. 难点：对实际问题的分析建模和使用基本不等式的结构观察。.

（四）教学过程设计

1.复习回顾，铺垫引入

师：根据上一节课的知识，回顾一下基本不等式的内容是什么？它有何作用？如何利用基本不等式求最值？需要注意什么？

生：已知x，y都是正数，则

①如果积xy等于定值P(积为定值)，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.

②如果和x＋y等于定值S(和为定值)，那么当x＝y时，积xy有最大值.

利用基本不等式可以求最值，验证等号成立是求最值的必要条件，即运用“一正、二定、三相等”的方法可以解决最值问题.

【设计意图】回顾上节课所学知识，对基本不等式的形式加强记忆以及熟悉其使用条件.

例1：

（2）已知，求的最大值及相应的值。

（1）师：大家观察结构，我们应该如何求这个和的最小值？

生：可以式子先变形，，变成两个正数的和，再通过两个正数的积是定值来求解。

学生板演.

（2）师：我们再来看这题，应该如何求它的最大值？

     生：式子乘以3再来变形，，变成两个正数的和是定值从而得到解决。

师追问：还有别的解法吗？

生：这个式子其实是二次函数，可以利用配方法求解。

【设计意图】培养学生转化化归的数学思想，把不熟悉的问题向熟悉的问题转化.

2.合作学习，建模探究

例2：（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？

（2）用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

师：第（1）题已知什么条件，我们求什么？

生：已知矩形的面积，求周长的最小值（教师在黑板上画图）

师：如果设矩形菜园相邻两条边的长分别为x m, y m（在图上标出），则周长为2(x+y) m,那如何求周长的最小值？

生：用基本不等式求最值。

师追问：如何求？

生：矩形的邻边之积xy=100为定值，边长多大时周长最短，实际上是已知两个正数的积为定值，求当这两个数取什么值时，它们的和2(x+y)有最小值的问题。

师：第（2）题小组讨论，然后哪组有结果就上台板演并说出解题思路。

生：矩形的周长2(x+y)=36为定值，边长多大时面积xy最大，实际上是已知两个正数的和为定值，求当这两个数取什么值时，它们的积xy有最大值的问题.

【设计意图】本例是典型而较简单的能够用基本不等式求解的问题.通过本例的教学，可以帮助学生理解如何用基本不等式模型理解和识别实际问题，从而用基本不等式解决问题，进一步发展学生的模型思想.

（五）目标检测设计

例3：某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为 4800，深为3 m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？

师：我们已知的条件是什么？我们需要假设哪些量来表达？

生：已知的条件是体积、高，还有池底、池壁的造价，需要设贮水池池底相邻两条边的边长。

师：这些量怎么来表达？

生：设贮水池池底相邻两条边的边长分别为x m，y m，水池的总造价为z元

师：水池的总造价等于什么？

生：总造价等于池底与池壁的造价和。

师：现在我们得到了一个数学模型，把实际问题转化成了数学问题，那么接着，大家看一下怎样来解决这个数学问题？

师生活动：设贮水池池底相邻两条边的边长分别为x m，y m，水池的总造价为z元，则 

师：此问题可以用基本不等式的数学模型求解吗？为什么？

生：本例实际上是已知两个正数的积为定值，求当这两个数取什么值时，它们的和有最小值，以及最小值是多少.

师生板演.

【设计意图】本题的背景更加复杂，需引导学生简化问题，再用基本不等式模型求解.问题3在问题2的基础上，进一步培养学生用数学的眼光看问题的能力，提升他们的数学模型素养.

巩固练习

1.P48 练习4

2.P48习题3

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过实际的问题情境，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

归纳小结：

（1）先让学生谈谈这节课学到的知识和感觉比较困难的点在哪里；把实际问题转化成数学问题，然后用数学的方法解决数学问题，最后再回归到实际应用当中；

（2）总结使用基本不等式的基本经验（观察式子结构，发现和或积的定值条件），利用基本不等式求最值的时候，一定要注意使用的三个条件，看看能不能满足一正二定三相等的条件。

（3）建模步骤：分析问题→作假设→建立模型→解决数学问题→回归实际应用，检验合理性。

（六）教学反思：本节课采用“情境一问题”的课堂教学模式，即在教师的引导下，以学生的自主探究与合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，强调学生动手操作和主动参与，让他们在观察、探究等活动中运用基本不等式，发展学生的核心素养.