高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直导学案，共24页。

① 直线与直线垂直
(1) 异面直线所成的角
(i) 范围:θ∈(0∘, 90∘]；
(ii) 作异面直线所成的角:平移法.
如图，在空间任取一点O，过O作a' // a, b' // b，则a' , b'所成的θ 角为异面直线a,b所成的角.特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如线段中点，端点等)上，形成异面直线所成的角.
(2) 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说两条异面直线相互垂直.
② 直线与平面垂直
(1) 定义
若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面.
符号表述:若任意a⊂α都有l⊥a，则 l⊥α.
(2) 判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
a, b⊂α a∩ b=O l⊥ a l⊥ b⇒l⊥α (线线垂直⇒线面垂直)
(3) 性质
(i) l⊥α, a⊂α⇒ l⊥ a (线面垂直⇒线线垂直)
(ii) 垂直同一平面的两直线平行 a⊥α, b⊥α⇒ a // b
(4) 证明线面垂直的方法
定义法(反证)
判定定理(常用)
a // ba⊥α⇒b⊥α
α // β a⊥α⇒ a⊥β
α⊥β a∩β=b a⊂αa⊥ b⇒ a⊥β(面面垂直⇒线面垂直)
③ 线面所成的角
(1) 定义
如下图，平面的一条斜线(直线l)和它在平面上的射影(AO)所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
一条直线垂直平面，则θ=90°；一条直线和平面平行或在平面内，则θ=0°.
(2) 范围
直线和平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°.
2 面面垂直
① 二面角
(1) 定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
在二面角的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
(2) 范围
二面角的平面角α的取值范围是[0°,180°].
② 面面垂直
(1) 定义
若二面角α−l−β的平面角为90∘，则 α⊥β；
(2) 判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
a⊂ α a⊥β⇒α⊥β (线面垂直⇒面面垂直)
(3) 性质定理
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
α⊥βα∩ β=AB a⊂α a⊥ AB⇒ a⊥β (面面垂直⇒线面垂直)
判断
(1) 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥γ ( √ )
(2) 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β ( √ )
(3) 如果平面α⊥平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于β ( × )
(4) 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β ( √ )
【题型一】线面垂直的判定与性质
【典题1】如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F是BE的中点，求证:(1)FD∥平面ABC； (2)AF⊥平面EDB


【典题2】 P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC上的射影．
(1)若PA、PB、PC两两互相垂直，则O点是△ABC的 心；
(2)若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC内部，则点O是△ABC的 心；
(3)若PA⊥BC,PB⊥AC,PC⊥AB，则点O是△ABC的 心；
(4)若PA、PB、PC与底面ABC成等角，则点O是△ABC的 心．
【典题3】 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，E为DC边的中点，沿AE将△ADE折起，在折起过程中，有几个正确( )
①ED⊥平面ACD ②CD⊥平面BED ③BD⊥平面ACD ④AD⊥平面BED．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型二】面面垂直的判定与性质
【典题1】 如图，已知四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是（ ）
A．平面PAB⊥平面PAD B．平面PAB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCD D．平面PCD⊥平面PAD
【典题2】 如图，直角△ABC中，∠ACB=90°，BC=2AC=4，D、E分别是AB、BC边的中点，沿DE将△BDE折起至△FDE，且∠CEF=60°．
(Ⅰ)求四棱锥F－ADEC的体积；(Ⅱ)求证:平面ADF⊥平面ACF．

【典题3】 长方形ABCD中，AB=2，BC=1，F是线段DC上一动点，且0A．43 B．34 C．13 D．14

巩固练习
1(★★) 如图：PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论①AE⊥BC，②AE⊥PB，③AF⊥BC，④AE⊥平面PBC，其中正确命题的序号是 ( )
A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④
2(★★) PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB,PC,PD,AC,BD，则下列垂直关系正确的是（ ）
①面PAB⊥面PBC ②面PAB⊥面PAD ③面PAB⊥面PCD ④面PAB⊥面PAC．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
3(★★) 已知边长为a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，现将△AED沿DE翻折为△A'ED，如图是翻折过程中的一个图形，则下列四个结论：
①动直线A'F与直线DE互相垂直； ②恒有平面A'GF⊥平面BCED；
③四棱锥A'－BCED的体积有最大值；④三棱锥A'－DEF的侧面积没有最大值．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4(★★) 如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A,B是定点，则动点C的轨迹是( )
A．一条线段 B．一条直线 C．一个圆 D．一个圆，但要去掉两个点
5(★★) 如图，已知平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA⊂β，CB⊂β，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，BC=8，AB=6，在平面α上有一个动点P，使得∠APD=∠BPC，则△PAB的面积的最大值是( )
A．24 B．32 C．12 D．48
6(★★) 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，E是DD1的中点．
(1)求证：AC⊥B1D；(2)若B1D⊥平面ACE，求AA1AB的值．
7 (★★★) 如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC,EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．
(1)求证：BD⊥平面POA；
(2)当PB取得最小值时，求四棱锥P－BDEF的体积．
8 (★★★) 如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，侧棱SA⊥底面ABCD，过A作AE垂直SB交SB于E点，作AH垂直SD交SD于H点，平面AEH交SC于K点，P是SA上的动点，且AB=1，SA=2．
(1)试证明不论点P在何位置，都有DB⊥PC；
(2)求PB+PH的最小值；
(3)设平面AEKH与平面ABCD的交线为l，求证：BD∥l．
空间直线、平面的垂直
1线面垂直
① 直线与直线垂直
(1) 异面直线所成的角
(i) 范围:θ∈(0∘, 90∘]；
(ii) 作异面直线所成的角:平移法.
如图，在空间任取一点O，过O作a' // a, b' // b，则a' , b'所成的θ 角为异面直线a,b所成的角.特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如线段中点，端点等)上，形成异面直线所成的角.
(2) 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说两条异面直线相互垂直.
② 直线与平面垂直
(1) 定义
若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面.
符号表述:若任意a⊂α都有l⊥a，则 l⊥α.
(2) 判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
a, b⊂α a∩ b=O l⊥ a l⊥ b⇒l⊥α (线线垂直⇒线面垂直)
(3) 性质
(i) l⊥α, a⊂α⇒ l⊥ a (线面垂直⇒线线垂直)
(ii) 垂直同一平面的两直线平行 a⊥α, b⊥α⇒ a // b
(4) 证明线面垂直的方法
定义法(反证)
判定定理(常用)
a // ba⊥α⇒b⊥α
α // β a⊥α⇒ a⊥β
α⊥β a∩β=b a⊂αa⊥ b⇒ a⊥β(面面垂直⇒线面垂直)
③ 线面所成的角
(1) 定义
如下图，平面的一条斜线(直线l)和它在平面上的射影(AO)所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
一条直线垂直平面，则θ=90°；一条直线和平面平行或在平面内，则θ=0°.
(2) 范围
直线和平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°.
2 面面垂直
① 二面角
(1) 定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
在二面角的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
(2) 范围
二面角的平面角α的取值范围是[0°,180°].
② 面面垂直
(1) 定义
若二面角α−l−β的平面角为90∘，则 α⊥β；
(2) 判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
a⊂ α a⊥β⇒α⊥β (线面垂直⇒面面垂直)
(3) 性质定理
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
α⊥βα∩ β=AB a⊂α a⊥ AB⇒ a⊥β (面面垂直⇒线面垂直)
判断
(1) 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥γ ( √ )
(2) 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β ( √ )
(3) 如果平面α⊥平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于β ( × )
(4) 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β ( √ )
【题型一】线面垂直的判定与性质
【典题1】如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F是BE的中点，求证:(1)FD∥平面ABC； (2)AF⊥平面EDB
【证明】 (1) ∵F分别是BE的中点，取BA的中点M，
∴FM//EA，FM=12EA=a
∵EA、CD都垂直于平面ABC，∴CD∥EA，
∴CD∥FM，又CD=a=FM
∴四边形FMCD是平行四边形，∴FD∥MC，
又∵FD⊄平面ABC，MC⊂平面ABC，∴FD∥平面ABC．
(2)因M是AB的中点，△ABC是正三角形，所以CM⊥AB
又 EA垂直于平面ABC ∴CM⊥AE，
又 AE∩AB=A，所以CM⊥面EAB，
∵AF⊂面EAB∴CM⊥AF，
又CM∥FD，从而FD⊥AF，
因F是BE的中点，EA=AB所以AF⊥EB．
EB，FD是平面EDB内两条相交直线，所以AF⊥平面EDB．
【点拨】
① 线面垂直的判定：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直；它可把线面垂直转化为线线垂直，本题中AF⊥平面EDB⇒在平面EDB上找到两条相交直线均垂直AF；
② 线面垂直的性质：l⊥α, a⊂α⇒ l⊥ a；它可由线面垂直得到线线垂直；
③ 等腰三角形要注意“三线合一”的运用.
【典题2】 P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC上的射影．
(1)若PA、PB、PC两两互相垂直，则O点是△ABC的 心；
(2)若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC内部，则点O是△ABC的 心；
(3)若PA⊥BC,PB⊥AC,PC⊥AB，则点O是△ABC的 心；
(4)若PA、PB、PC与底面ABC成等角，则点O是△ABC的 心．
【解析】如图P是△ABC所在平面外一点，O是P点在平面a上的射影．
(1) 若PA、PB、PC两两互相垂直，由可证得BC⊥OA，AB⊥OC，AC⊥OB，即此时点O是三角形三边高的交点，故此时点O是三角形的垂心，故应填:垂．
(2) 若P到△ABC三边的距离相等，E，F，D分别是点P在三个边上的垂足，故可证得OE，OF，OD分别垂直于三边且相等，由内切圆的加心的定义知，此时点O是三角形的内心，故应填:内；
(3) 若PA⊥BC，PB⊥AC，因为PO⊥底面ABC，所以AO⊥BC，同理BO⊥AC，可得O是△ABC的垂心；故应填:垂．
(4) 若PA、PB、PC与地面ABC成等角，由条件可证得OA=OB=OC，由三角形外心的定义知此时点O是三角形的外心，故应填:外；
综上，三空答案依次应为垂、内、垂、外
【点拨】三角形的四心：

【典题3】 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，E为DC边的中点，沿AE将△ADE折起，在折起过程中，有几个正确( )
①ED⊥平面ACD ②CD⊥平面BED ③BD⊥平面ACD ④AD⊥平面BED．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】∵在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，E为DC边的中点，
∴设D点在平面BCE上的投影为Q，在折起过程中，点Q的轨迹为下图Q1到Q2的四分之一圆．
此过程中始终有DQ⊥平面AECB
对于① 假设ED⊥平面ACD，则ED⊥AC，又∵DQ⊥AC，则AC⊥平面DEQ⇒QE⊥AC，
但由图可知QE不可能垂直AC，产生了矛盾，故假设不成立，故①错误；
对于② 假设CD⊥平面BED，则CD⊥BE，又∵DQ⊥BE，则BE⊥平面CDQ⇒BE⊥CQ，
但由图可知只有D点投影位于Q2位置时，才有BE⊥CQ，此时CD⊂平面BED，显然不能满足CD⊥平面BED，产生了矛盾，故假设不成立，故②错误；
对于③ 假设BD⊥平面ACD,则BD⊥AC，又∵DQ⊥AC，则AC⊥平面BDQ⇒AC⊥BQ，
但由图可知BQ不可能垂直AC，产生了矛盾，故假设不成立，故③错误；
对于④ ∵AD⊥ED，∴若要满足AD⊥平面BED，则只需要AD⊥EB，而DQ⊥EB，若AQ⊥EB便可，在折叠的过程中易得存在一个位置使得AQ⊥EB(Q为弧线Q1Q2与线段AE的交点)，故④正确．
故选:A
【点拨】
① 对于①--③，均利用了反证法进行否决；
② 在对于运动变化的题目，一定要明确哪些量是不变的，哪些量是变化的！
【题型二】面面垂直的判定与性质
【典题1】 如图，已知四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是（ ）
A．平面PAB⊥平面PAD B．平面PAB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCD D．平面PCD⊥平面PAD
【解析】
方法一
对于A，因为已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，
所以PA⊥AB，又AB⊥AD，AB⊥平面PAD，所以平面PAB⊥平面PAD，故A正确；
对于B，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，
所以PA⊥BC又BC⊥AB，所以BC⊥平面PAB，所以平面PAB⊥平面PBC，故B正确；
对于D，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，所以PA⊥CD，又CD⊥AD，
所以CD⊥平面PAD，所以平面PCD⊥平面PAD，故D正确；
故选C．
方法二
∵PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，
∴四棱锥P－ABCD可视为正方体的一部分，如下图，
根据正方形的特性，∵平面PCD⊥平面BCC1B1，∴平面PBC⊥平面PCD是不可能的，
容易选出C.
【点拨】
① 面面垂直的判定定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.它可以把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直；
② 方法二比较巧妙，通过构造正方体进行求解.
【典题2】 如图，直角△ABC中，∠ACB=90°，BC=2AC=4，D、E分别是AB、BC边的中点，沿DE将△BDE折起至△FDE，且∠CEF=60°．
(Ⅰ)求四棱锥F－ADEC的体积；(Ⅱ)求证:平面ADF⊥平面ACF．
【解析】 (Ⅰ)D、E分别是AB、BC边的中点，
∴DE平行且等于AC的一半，DE⊥BC，DE=1
依题意，DE⊥EF，BE=EF=2，
∵EF∩EC=E，∴DE⊥平面CEF，
又∵DE⊂平面ACED，
∴平面ACED⊥平面CEF
作FM⊥EC于M，则FM⊥平面ACED，∵∠CEF=60°，∴FM=3
梯形ACED的面积S=12AC+ED×EC=121+2×2=3
四棱锥F－ADEC的体积V=13Sℎ=13×3×3=3
(Ⅱ)(法一)
如图2．取线段AF、CF的中点N、Q，连接DN、NQ、EQ，则NQ平行且等于AC的一半，
∴NQ平行且等于DE，DEQN是平行四边形，∴DN∥EQ
∵EC=EF，∠CEF=60°，∴△CEF是等边三角形，EQ⊥FC，
又∵DE⊥平面CEF，DE⊥EQ，∴AC⊥EQ，
∵FC∩AC=C，∴EQ⊥平面ACF ∴DN⊥平面ACF，
又DN平面ADF，∴平面ADF⊥平面ACF
(法二)连接BF，∵EC=EF，∠CEF=60°，∴△CEF是边长为2等边三角形
∵BE=EF，∴∠EBF=12∠CEF=300，∴∠BFC=90°，BF⊥FC
DE⊥平面BCF，DE∥AC，∴AC⊥平面BCF
∵BF平面BCF，∴AC⊥BF，又∵FC∩AC=C，
∴BF⊥平面ACF，又∵BF⊂平面ADF，∴平面ADF⊥平面ACF
【点拨】
① 面面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.它利用面面垂直证明线面垂直；
② 线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化

③ 确定高的时候，要证明出它垂直底面才行(即FM⊥平面ACED，FM才是高).
【典题3】 长方形ABCD中，AB=2，BC=1，F是线段DC上一动点，且0A．43 B．34 C．13 D．14
【解析】如图，过D作DG⊥AF，垂足为G，连接GK，
∵平面AFD⊥平面ABC，又DK⊥AB，∴AB⊥平面DKG，∴AB⊥GK．
方法一 把折叠后几何体展开为平面图形，如下图，
设DF=x，
∵0在Rt△ADF中，AF=1+x2；
由对Rt△ADF利用等积法，可得DG×AF2=AD×DF2⇒DG=x1+x2；
在Rt△ADG中，AG=AD2−DG2=11+x2；
∵Rt△ADG∼Rt△AGK，∴AKAG=DGAD⇒AK=x1+x2，即t=x1+x2=1x+1x
∵1则25<1x+1x<12，即t的取值范围是(25，12)
方法二 把折叠后几何体展开为平面图形，如下图，
设∠DAG=α，则∠AGK=α，
易得AG=AD×csα=csα，AK=AG×sinα=csα∙sinα=sin2α2，即t=sin2α2，
当FC=1时，F为CD的中点，此时α=π4；
当FC=0时，F与C重合，此时设α=β，其中sinβ=255；
即当0∵y=sinx在(π2,2β)上递减，
∴25=sin2β故t的取值范围是(25，12)
故选：B．
【点拨】
① 对于处于变化的题目中，要注意几点：
(1) 哪些是变量，哪些是恒量(恒量：线段AD=1，AD⊥DF等；变量：线段DF，角∠DAG等)；
(2) 明确在变量中，某个变量是由哪个变量而引起变化的，“源头的变量”在哪里；比如在方法二中，DG是变量，可以说它是随角∠DAG变化，而角∠DAG是随线段DF变化，线段DF随线段CF变化，显然变量线段CF是本题的“源头的变量”；
(3) 明确相关变量之间是怎么变化的，显然线段DF是随线段CF增大而递减的，在方法一中可知线段AK=t=1x+1x是随线段DF=x的增大而递减的；
② ”明确相关变量之间是怎么变化”这点，本题要求AK=t的范围，显然它由线段CF变化的，但方法一中AK=t=x1+x2(其中DF=x)，方法二中AK=t=sin2α2(其中角∠DAG=α)，选择哪个变量作为函数的自变量，主要看函数的表达是否简便、计算量是否够小，不会以线段CF为自变量，显然方法二会更好些.
③ 求变量的取值范围，多利用函数的单调性求解，此时要注意自变量的取值范围，函数思想无处不在；
④ 本题中变量之间的关系通过平面几何的知识点得到，其中相似三角形、等积法、勾股定理、三角函数等基础知识点常常用到.

巩固练习
1(★★) 如图：PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论①AE⊥BC，②AE⊥PB，③AF⊥BC，④AE⊥平面PBC，其中正确命题的序号是 ( )
A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【解析】∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC，
∵PA⊥⊙O所在平面，
∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，
∴BC⊥面PAC，∴BC⊥AE，
∴AE⊥PC，
∵BC∩PC=C，
∴AE⊥面PBC，∴④正确；
∵BC，PB⊂面PBC，∴AE⊥BC，AE⊥PB，
∴①②正确；
若AF⊥BC，则AF⊥面PBC，
此时E，F重合，与已知矛盾．∴③错误；
故①②④正确．
故选C．
2(★★) PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB,PC,PD,AC,BD，则下列垂直关系正确的是（ ）
①面PAB⊥面PBC ②面PAB⊥面PAD ③面PAB⊥面PCD ④面PAB⊥面PAC．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【证明】由于BC⊥AB，由PA垂直于正方形ABCD所在平面，所以BC⊥PA，
易证BC⊥平面PAB，则平面PAB⊥平面PBC；又AD∥BC，故AD⊥平面PAB，
则平面PAD⊥平面PAB．
故选A．
3(★★) 已知边长为a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，现将△AED沿DE翻折为△A'ED，如图是翻折过程中的一个图形，则下列四个结论：
①动直线A'F与直线DE互相垂直； ②恒有平面A'GF⊥平面BCED；
③四棱锥A'－BCED的体积有最大值；④三棱锥A'－DEF的侧面积没有最大值．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】因为已知边长为a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，所以DE⊥AG，DE⊥A′G，所以DE⊥平面A′FG，
所以DE⊥A′F；故①正确；
②由①得DE⊂平面BCED，所以平面A′GF⊥平面BCED；故②正确；
③三棱锥A′－FED的底面积是定值，体积由高即A′到底面的距离决定，当平面A′DE⊥平面BCED时，三棱锥A′－FED的体积有最大值，故③正确；
故选C．
4(★★) 如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A,B是定点，则动点C的轨迹是( )
A．一条线段 B．一条直线 C．一个圆 D．一个圆，但要去掉两个点
【答案】D
【解析】∵平面PAC⊥平面PBC，
而平面PAC∩平面PBC=PC，
又AC⊂面PAC，且AC⊥PC，∴AC⊥面PBC，
而BC⊂面PBC，∴AC⊥BC，
∴点C在以AB为直径的圆上，
∴点C的轨迹是一个圆，但是要去掉A和B两点．
故选：D．
5(★★) 如图，已知平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA⊂β，CB⊂β，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，BC=8，AB=6，在平面α上有一个动点P，使得∠APD=∠BPC，则△PAB的面积的最大值是( )
A．24 B．32 C．12 D．48
【答案】C
【解析】由题意平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA⊂β，CB⊂β，
且DA⊥α，CB⊥α，∴△PAD与△PBC是直角三角形，又∠APD=∠BPC，
∴△PAD∽△PBC，又AD=4，BC=8，
∴PB=2PA
如图，
作PM⊥AB，垂足为M，令AM=t，
在两个Rt△PAM与Rt△PBM中，AM是公共边及PB=2PA
∴PA2－t2=4PA2－(6－t)2
解得PA2=12－4t
∴PM=12−4t−t2．
∴S=12×AB×PM=12×6×12−4t−t2=312−4t−t2=316−(t+2)2≤12．
即三角形面积的最大值为12．
6(★★) 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，E是DD1的中点．
(1)求证：AC⊥B1D；(2)若B1D⊥平面ACE，求AA1AB的值．
(1)证明：连接BD
∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD
又∵在长方体ABCD－A1B1C1D1中，∴B1B⊥面ABCD
∴B1B⊥AC又因为BD∩B1B=B，所以AC⊥面B1BD
又∵B1D⊂面B1BD，∴AC⊥B1D
(2)连接DC1，DC1是B1D在平面CC1D1D上的射影
∵B1D⊥平面ACE且CE⊂平面ACE，∴B1D⊥CE
∵DC1是B1D在平面CC1D1D上的射影，∴CE⊥DC
在平面CC1D1D中如图所示∠C1DC=∠CED，
∴△C1DC∽△CED，∴CDC1C=EDCD即CDC1C=12C1CCD，∴2CD2=CC12
∴C1CCD=2即AA1AB=2
故AA1AB的值为2．
7 (★★★) 如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC,EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．
(1)求证：BD⊥平面POA；
(2)当PB取得最小值时，求四棱锥P－BDEF的体积．
【答案】(1) 见解析 (2) 3
【解析】(1)证明：∵菱形ABCD的对角线互相垂直，
∴BD⊥AC，∴BD⊥AO，
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO⊂平面PEF，
∴PO⊥平面ABFED，
∵BD⊂平面ABFED，∴PO⊥BD．
∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．
(2)设AO∩BD=H．因为∠DAB=60°，
所以△BDC为等边三角形，
故BD=4，HB=2，HC=23．
又设PO=x，则OH=23−x，OA=43−x．
由OH⊥BD，则|OB|2=(23−x)2+22，
又由(1)知，PO⊥平面BFED，则PO⊥OB
所以|PB|=(23−x)2+22+x2=2(x−3)2+10，
当x=3时，|PB|min=10．
此时PO=3，EF=12BD=2，OH=3
所以V四棱锥P−BFED=13⋅S梯形BFED⋅PO=13•(2+4)32•3=3．
8 (★★★) 如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，侧棱SA⊥底面ABCD，过A作AE垂直SB交SB于E点，作AH垂直SD交SD于H点，平面AEH交SC于K点，P是SA上的动点，且AB=1，SA=2．
(1)试证明不论点P在何位置，都有DB⊥PC；
(2)求PB+PH的最小值；
(3)设平面AEKH与平面ABCD的交线为l，求证：BD∥l．
(1)证明：∵底面ABCD是正方形 ∴DB⊥AC，
∵SA⊥底面ABCD，BD⊂面ABCD，∴DB⊥SA，
又SA∩AC=A∴BD⊥平面SAC，
∵不论点P在何位置都有PC⊂平面SAC，
∴DB⊥PC．
(2)解：将侧面SAB绕侧棱SA旋转到与侧面SAD在同一平面内，如图示，
则当B、P、H三点共线时，PB+PH取最小值，这时，PB+PH的最小值即线
段BH的长，设∠HAD=α，则∠BAH=π－α，
在rt△AHD中，∵AH=SA⋅ADSD=25，∴csα=AHAD=25，
在三角形BAH中，有余弦定理得：
BH2=AB2+AH2－2AB•AHcs(π－α)=1+45−2×25×(−25)=175，
∴(PB+PH)min=855．
(3)连结EH，∵AB=AD，SA=SA，∴Rt△SAB≌Rt△SAD，
∴SB=SD，又∵AE⊥SB，AH⊥SD，∴AE=AH，∴Rt△SEA≌Rt△SAH，
∴SE=SH，∴SESB=SHSD，∴EH∥BD，
又∵EH⊂面AEKH，BD⊈面AEKH，∴BD∥面AEKH．
∵平面AEKH∩平面ABCD=l，∴BD∥l