高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直学案及答案

8.6.1　直线与直线垂直

8.6.2　直线与平面垂直

第1课时　直线与直线垂直、直线与平面垂直的判定

知识点一　空间中两条直线的位置关系

1．空间两条直线的位置关系有三种：平行直线、相交直线和异面直线．

2．分类

(1)从有无公共点的角度来看，可分为两类

直线

(2)从是否共面的角度来看，可分为两类

直线

知识点二　直线与直线垂直

如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作a⊥b.

当两条直线a，b相互平行时，我们规定它们所成的角为0°.所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°.

知识点三　直线与平面垂直的定义及画法

1．定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．

2．画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．如图所示．

3．过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条．过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．

知识点四　直线与平面垂直的判定定理

文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直．

符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α.

图形语言：如图所示．

知识点五　直线与平面所成角的定义

1．定义：一条直线和一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，与平面的交点为垂足，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角，其范围是(0°，90°)．

2．规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于0°.因此，直线与平面所成的角的取值范围是[0°，90°]．

1．直线和平面垂直的判定方法

(1)利用线面垂直的定义；

(2)利用线面垂直的判定定理；

(3)利用下面两个结论：

①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.

2．线线垂直的判定方法

(1)异面直线所成的角是90°；

(2)线面垂直，则线线垂直．

3．求线面角的常用方法

(1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算)；

(2)转移法(找过点与面平行的线或面)；

(3)等体积法(三棱锥变换顶点，属间接求法)．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)如果一条直线与一个平面内两条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．(　　)

(2)如果一条直线与一个平面内的某一条直线不垂直，那么这条直线一定不与这个平面垂直．(　　)

(3)若直线与平面所成的角为0°，则直线与平面平行．(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)×

2．做一做

(1)直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是(　　)

A．平行   B．垂直

C．在平面α内   D．无法确定

(2)过平面外一点作该平面的垂线有________条．

(3)如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，不能保证该直线与平面垂直的是________(填序号)．

①平行四边形的两条对角线；②梯形的两条边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．

(4)AB是平面α的斜线段，其长为a，它在平面α内的射影A′B的长为b，则垂线A′A的长为________．

(5)如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角为________．

答案　(1)D　(2)1　(3)②④　(4) 　(5)45°

题型一  异面直线垂直的判定及异面直线所成的角

例1　如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E，F分别是AA1，AB的中点．

(1)哪些棱所在的直线与直线EF垂直？

(2)求异面直线C1D1与EF所成的角．

[解]　(1)AD，BC，A1D1，B1C1所在的直线与直线EF垂直．

(2)∵AB∥DC，DC∥D1C1，∴AB∥D1C1，

∴∠EFA是异面直线C1D1与EF所成的角．

∵∠EFA＝45°，

∴异面直线C1D1与EF所成的角为45°.

　1.判断异面直线的方法

(1)证明两条直线既不平行又不相交．

(2)平面内一点与平面外一点所确定的直线和这个平面内不过该点的直线异面．

2．求异面直线所成角的一般步骤

(1)平移法找出合适的角．

(2)求角．

(3)结论：0＜θ≤90°.

(1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列结论一定不可能的是(　　)

A．l与AD平行   B．l与AB异面

C．l与CD所成的角为30°   D．l与BD垂直

(2)如图所示，P是平面ABC外一点，PA＝4，BC＝2，D，E分别为PC，AB的中点，且DE＝3.求异面直线PA和BC所成角的大小．

答案　(1)A　(2)见解析

解析　(1)假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，可得l∥B1C1，这与“l与B1C1不平行”矛盾，所以l与AD不平行．

(2) 如图，取AC的中点F，连接DF，EF.

在△PAC中，∵D是PC的中点，F是AC的中点，∴DF∥PA.同理EF∥BC，

∴∠DFE(或∠DFE的补角)为异面直线PA与BC所成的角．

在△DEF中，DE＝3，

又DF＝PA＝2，EF＝BC＝，∴DE2＝DF2＋EF2.

∴∠DFE＝90°，即异面直线PA与BC所成的角为90°.

题型二  直线与平面垂直的定义

例2　下列命题中正确的个数是(　　)

①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；

②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；

③若直线l 不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；

④若直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．

A．0  B．1  C．2  D．3

[解析]　当l与α内的无数条直线垂直时，若这无数条直线为平行直线，则l与α不一定垂直，故①错误；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与α垂直，故②错误；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故③错误；④正确．故选B.

[答案]　B

　直线与平面垂直的定义的理解

直线与平面垂直的定义具有两重性，既是判定又是性质．是判定，指它是判定直线与平面垂直的方法；是性质，指如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任何一条直线，即“l⊥α，a⊂α⇒l⊥a”．这是证明线线垂直的一种方法．

设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　)

A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α  B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α

C．若l∥α，m⊂α，则l∥m  D．若l∥α，m∥α，则l∥m

答案　B

解析　对于A，由l⊥m及m⊂α，可知l与α的位置关系有平行、相交或在平面内三种，故A错误；B正确；对于C，l与m可能平行或异面，故C错误；对于D，l与m的位置关系为平行、异面或相交，故D错误．故选B.

题型三  直线与平面垂直的证明

例3　如图，四棱锥S－ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，E，F分别是SD，SC的中点．求证：

(1)BC⊥平面SAB；

(2)EF⊥SD.

[证明]　(1)∵四棱锥S－ABCD的底面是矩形，

∴AB⊥BC.∵SA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴SA⊥BC.

又SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB.

(2)由(1)知BC⊥平面SAB.同理，CD⊥平面SAD.

∵E，F分别是SD，SC的中点，∴EF∥CD，∴EF⊥平面SAD.

又SD⊂平面SAD，∴EF⊥SD.

　应用线面垂直判定定理的注意事项

(1)要判定一条直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的．

(2)判定定理在应用时，切实要抓住“相交”二字，它把线面垂直转化为线线垂直．即“l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝A⇒l⊥α.”

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1的中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：OE⊥平面ACD1.

证明　如图，连接AE，CE，D1O，D1E，D1B1.

设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，

易证AE＝CE.

因为AO＝OC，所以OE⊥AC.

在正方体中易求出：

D1O＝＝ ＝a，

OE＝＝ ＝a，

D1E＝＝ ＝a.

因为D1O2＋OE2＝D1E2，所以D1O⊥OE.

因为D1O∩AC＝O，D1O⊂平面ACD1，

AC⊂平面ACD1，所以OE⊥平面ACD1.

题型四  直线与平面所成的角

例4　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值．

[解]　由图所示，取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.

又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．

设正方体的棱长为2，

则EM＝AD＝2，BE＝＝3.

于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝＝，

即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为.

[条件探究]　在本例中，若求直线BE与平面A1B1C1D1所成角的正弦值，又如何求解？

解　∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，

∴BE与平面ABCD所成角与所求角相等．

连接BD，则∠EBD即为直线BE与平面ABCD所成的角．

设正方体的棱长为2，

则在Rt△BDE中，sin∠EBD＝＝，

即直线BE与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为.

　求斜线与平面所成角的步骤

(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．

(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．

(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；

(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．

解　(1)∵直线A1A⊥平面ABCD，

∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，

设A1A＝1，则AC＝，∴tan∠A1CA＝.

(2)连接A1C1交B1D1于O，

在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，

∵BB1⊥平面A1B1C1D1，

A1C1⊂平面A1B1C1D1，

∴BB1⊥A1C1，

又BB1∩B1D1＝B1，

∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.

∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，

在Rt△A1BO中，A1O＝A1C1＝A1B，∴∠A1BO＝30°.

即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.

1．若a，b是两条异面直线，则下列说法错误的是(　　)

A．过直线a可以作一个平面并且只可以作一个平面α与直线b平行

B．过直线a至多可以作一个平面α与直线b垂直

C．存在唯一一个平面α与直线a，b等距

D．可能存在平面α与直线a，b都垂直

答案　D

解析　a，b是两条异面直线，把直线b平移，与直线a相交，确定一个平面，因此经过直线a只能作出一个平面平行于直线b，故A正确；只有a，b垂直时才能作出一个平面α与直线b垂直，否则过直线a不可能作出一个平面α与直线b垂直，故B正确；C显然正确；若存在平面α与直线a，b都垂直，则可得出a∥b，与a，b异面矛盾，故D错误．故选D.

2．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下列四个说法：

①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；

③m⊥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β.

其中正确说法的序号是(　　)

A．①③  B．②④  C．①④  D．②③

答案　C

解析　 ①④可由直线与平面垂直的定义和判定推证．根据②中条件可知，m与n平行或异面，所以②错误．③中由m⊥n，m∥α，可知n∥α或n⊂α，或n与α相交，故③错误，所以①④正确，选C.

3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是(　　)

A．平面DD1C1C   B．平面A1DB1

C．平面A1B1C1D1   D．平面A1DB

答案　B

解析　由题意知A1B1⊥平面ADD1A1，∵AD1⊂平面ADD1A1，∴A1B1⊥AD1，又A1D⊥AD1，A1B1∩A1D＝A1，∴AD1⊥平面A1DB1，故选B.

4．如图，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是(　　)

A．平行   B．垂直相交

C．垂直异面   D．相交但不垂直

答案　C

解析　连接AC交BD于O，∵ABCD为菱形，

∴AC⊥BD.

又MC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥MC.

又MC∩AC＝C，∴BD⊥平面AMC.又AM⊂平面AMC，

∴BD⊥AM，∴MA与BD异面垂直．

5．如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝.

(1)求证：PA⊥平面ABCD；

(2)求四棱锥P－ABCD的体积．

解　(1)证明：因为四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PA＝1，PD＝，所以PD2＝PA2＋AD2，所以PA⊥AD，

又PA⊥CD，AD∩CD＝D，所以PA⊥平面ABCD.

(2)因为四棱锥P－ABCD的底面积为1，PA⊥平面ABCD，

所以四棱锥P－ABCD的高为PA＝1，

所以四棱锥P－ABCD的体积为.