A.若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β B.若α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β
C.若α∥β,m⊂α,则m∥β D.若m⊥α,α∥β,n⊥β,则m⊥n
2.已知m,l是两条不同的直线,α,β是两个不重合的平面,且满足l⊥α,m⊂β,则“l∥m”是“α⊥β”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则二面角A-B1D1-B的余弦值为( )
A.63 B.73 C.64 D.74
4.如图,PA垂直于矩形ABCD所在的平面, 则图中与平面PCD垂直的平面是( )
A.平面ABCD B.平面PBC
C.平面PAD D.平面PAB
二、巩固提高
5.若正四棱锥相邻两侧面形成的二面角的平面角为θ,则θ( )
A.一定是锐角 B.一定是钝角
C.可能是直角 D.可能是锐角或钝角,但不是直角
6..如图,已知AB是圆柱上底面的一条直径,C是上底面圆周上异于A,B的一点,
D为下底面圆周上一点,且AD与圆柱的底面垂直, 则必有( )
A.平面ABC⊥平面BCD B.平面BCD⊥平面ACD
C.平面ABD⊥平面ACD D.平面BCD⊥平面ABD
7.如图所示,在四棱锥P-ABCD中, PA⊥底面ABCD,且底面四边形为菱形,
M是PC上的一动点,当点M满足时,平面MBD⊥平面PCD.
(填写一个你认为正确的条件即可)
8.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为菱形,
点F为侧棱PC上一点,BF⊥PC,求证:平面BDF⊥平面PBC.
三、尖子突破
9.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=90°,AB=2DC=2BC,E为AB的中点,沿DE将△ADE折起,使得点A到达点P的位置,且PE⊥EB,得到四棱锥P-BCDE,已知M为棱PB的中点,N为棱BC上的动点(与点B,C不重合).
(1)证明:平面EMN⊥平面PBC.
(2)是否存在点N,使得二面角B-EN-M的正切值为5?
若存在,确定点N的位置;若不存在,请说明理由.
参考答案
1.C 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1⊥平面ABCD,BB1⊥C1D1,C1D1∥平面DCB1A1,但是平面ABCD与平面DCB1A1不垂直,A错误;
平面ABB1A1与平面AA1C1C都垂直于平面ABCD,但它们之间不垂直,B错误;
若α∥β,则α与β没有公共点,m⊂α,则m与平面β也没有公共点,所以m∥β,C正确;
AA1⊥平面ABCD,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,DD1⊥平面A1B1C1D1,但AA1与DD1不垂直,D错误.故选C.
2.A 当l∥m时,结合l⊥α,可得m⊥α,又m⊂β,所以α⊥β;当α⊥β,l⊥α时,l与β中的m不一定平行.故“l∥m”是“α⊥β”的充分不必要条件.故选A.
3.A 如图,设B1D1的中点为E,连接AC,BD,设AC∩BD=O,连接AE,OE,
易得∠AEO是二面角A-B1D1-B的平面角.
因为正方体的棱长为1,所以B1D1=B1A=AD1=2,
所以AE=62.又OE=BB1=1,OE⊥AO,所以cs∠AEO=OEAE=63,即二面角A-B1D1-B的余弦值为63,故选A.
4.C 由PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,得PA⊥CD,由四边形ABCD为矩形,得CD⊥AD,又PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.因为CD⊂平面PCD,所以平面PCD⊥平面PAD.故选C.
5.B 如图所示,在正四棱锥S-ABCD中,连接AC,作AE垂直于SB,垂足为E,连接CE,
易知CE⊥SB,则∠AEC为二面角A-SB-C的平面角θ.
由题意知AE∴AC2>AE2+CE2.在△AEC中,由余弦定理得cs θ=cs∠AEC=AE2+CE2-AC22AE·CE<0,
∴θ∈π2,π,则θ一定是钝角.故选B.
6.B 由题意知AC⊥BC.因为AD与圆柱的底面垂直,BC在圆柱的上底面上,所以AD⊥BC.
又AC∩AD=A,所以BC⊥平面ACD.因为BC⊂平面BCD,所以平面BCD⊥平面ACD.故选B.
7.DM⊥PC(或BM⊥PC)
连接AC,则易知AC⊥BD.因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.
又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC.因为PC⊂平面PAC,所以BD⊥PC,
则当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,有BD∩DM=D(或BD∩BM=B),可得PC⊥平面MBD,又PC⊂平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD.
8.证明:连接AC,因为底面ABCD为菱形,所以BD⊥AC.
因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥PA,
又AC∩PA=A,AC,PA⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC,
又PC⊂平面PAC,所以BD⊥PC,又BF⊥PC,BD∩BF=B,BD,BF⊂平面BDF,所以PC⊥平面BDF,又PC⊂平面PBC,所以平面BDF⊥平面PBC.
9.(1)证明:因为PE⊥ED,PE⊥EB,EB∩ED=E,所以PE⊥平面EBCD,
又BC⊂平面EBCD,所以PE⊥BC.因为BC⊥EB,EB∩PE=E,所以BC⊥平面PEB
又EM⊂平面PEB,所以BC⊥EM.因为PE=EB,PM=MB,所以EM⊥PB,
又BC∩PB=B,所以EM⊥平面PBC.因为EM⊂平面EMN,所以平面EMN⊥平面PBC.
(2)假设存在点N满足题意,过M作MQ⊥EB于Q,
因为PE⊥EB,所以PE∥MQ,
由(1)知PE⊥平面EBCD,所以MQ⊥平面EBCD,
又EN⊂平面EBCD,所以MQ⊥EN.
过Q作QR⊥EN于R,连接MR,
因为MQ∩QR=Q,所以EN⊥平面MQR,
又MR⊂平面MQR,所以EN⊥MR,
所以∠MRQ为二面角B-EN-M的平面角.
不妨设PE=EB=BC=2,则MQ=1,
在Rt△EBN中,设BN=x(0因为Rt△EBN∽Rt△ERQ,所以BNRQ=ENEQ,
所以xRQ=22+x21,得RQ=x4+x2,
所以tan∠MRQ=MQRQ=x2+4x=5,可得x=1,即此时N为BC的中点.综上,存在点N,使得二面角B-EN-M的正切值为5,此时N为BC的中点.
2024—2025学年下学期高一数学分层作业（37）
8.6.3平面与平面垂直（1）