必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直获奖教学设计

这是一份必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直获奖教学设计，共12页。教案主要包含了类题通法，巩固练习1，巩固练习2，设计意图等内容，欢迎下载使用。

教学设计
本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第八章《立体几何初步》的第六节《空间直线、平面的垂直》。以下是本节的课时安排：
学生已有的认知基础是熟悉的日常生活中的具体直线与平面垂直的直观形象和直线与直线垂直的定义、直线与平面平行的判定定理等数学知识结构，这为学生学习直线与平面垂直定义和判定定理等新知识奠定基础。
1．理解直线和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问题，培养逻辑推理的核心素养；
2．理解直线与平面所成角的概念，并会求一些简单的直线与平面所成角，培养数学运算的核心素养。
1.重点：直线和平面垂直的判定定理及其应用；
求直线与平面所成角。
2.难点：直线与平面垂直的判定定理的应用。
（一）新知导入
在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如旗杆与地面的
位置关系，给我们以直线与平面垂直的形象，那什么叫做直线与平面垂直呢？
怎样用数学语言刻画直线与平面垂直呢？
【问题1】如图,在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC. 随着时间的变化,影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直?
【提示】旗杆AB所在直线始终与影子BC所在直线垂直
【问题2】对于地面上不过点B的任意一条直线B'C'，旗杆AB会与之垂直吗？
【提示】旗杆AB所在直线与地面上任意一条直线都垂直。
（二）直线与平面垂直
知识点一 直线与平面垂直的定义
定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足。
记法：l⊥α
图示：
性质：若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.
【思考】直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”或“无数条直线”？
【提示】定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直.
【做一做】直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能( )
A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直
答案：A
知识点二 直线与平面垂直的判定
【探究3】如图,一块三角形纸片ABC,过△ABC的顶点A翻折纸片.得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC与桌面接触)
(1)折痕AD与桌面垂直吗?
(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直?

【提示】容易发现，AD所在直线与桌面所在平面α垂直(如下图)的充要条件是折痕AD是BC边上的高。这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线AD与平面α内的两条相交直线BD、DC都垂直。
（1）文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。
（2）符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α。
（3）图形语言：
【思考1】若把定理中“两条相交直线”改为“两条直线”，直线与平面一定垂直吗？
【提示】当这两条直线平行时，直线可与平面平行或相交，不一定垂直.
【思考2】如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面吗？
【提示】 垂直.
【辩一辩】 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．( )
(2)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．( )
答案：(1)× (2)√
【做一做】若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( )
A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBC D.平面ABC
解析：∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC，
∴OA⊥平面OBC.
答案：C
知识点三 直线与平面所成的角
【做一做】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，
直线AB1与平面ABCD所成的角等于__________；
AB1与平面ADD1A1所成的角等于__________；
AB1与平面DCC1D1所成的角等于__________．
解析：∠B1AB为AB1与平面ABCD所成的角即45°；∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1与平面DCC1D1平行，即所成的角为0°.
答案：45° 45° 0°
（三）典型例题
1.直线与平面垂直的证明
例1.如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F.
(1)求证：PC⊥平面AEF；
(2)设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD.
【证明】(1)因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC.
又AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，
所以AE⊥BC.又AE⊥PB，PB∩BC＝B，
所以AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，所以AE⊥PC.
又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，所以PC⊥平面AEF.
(2)由(1)知PC⊥平面AEF，又AG⊂平面AEF，所以PC⊥AG，
同理CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD，
所以CD⊥AG，又PC∩CD＝C，
所以AG⊥平面PCD，PD⊂平面PCD，所以AG⊥PD.
【类题通法】1.证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义．
②线面垂直的判定定理．
③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．
2.线线垂直和线面垂直的相互转化
【巩固练习1】如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．
(1)求证：AN⊥平面PBM；
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
【证明】(1)因为AB为⊙O的直径，
所以AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM.
又因为PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM.
又AN⊂平面PAM，所以BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM.
(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，所以AN⊥PB.
又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ.
又NQ⊂平面ANQ，所以NQ⊥PB.
2.直线与平面所成的角
例2.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，
(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．
【解】(1)∵直线A1A⊥平面ABCD，
∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，设A1A＝1，则AC＝eq \r(2)，∴tan∠A1CA＝eq \f(\r(2),2).
(2)连接A1C1交B1D1于O(见题图)，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，
又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.
∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，
在Rt△A1BO中，A1O＝eq \f(1,2)A1C1＝eq \f(1,2)A1B，∴∠A1BO＝30°，
即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.
【类题通法】 求斜线与平面所成角的步骤：
(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．
(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．
(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．
【巩固练习2】在正方体中，若E为棱AB的中点，求直线B1E与平面BB1D1D所成角的正切值．
【解】连接AC交BD于点O，过E作EO1∥AC交BD于点O1，易证AC⊥平面BB1D1D，
∴EO1⊥平面BB1D1D，∴B1O1是B1E在平面BB1D1D内的射影，
∴∠EB1O1为B1E与平面BB1D1D所成的角．
设正方体的棱长为a，∵E是AB的中点，EO1∥AC，
∴O1是BO的中点，∴EO1＝eq \f(1,2)AO＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2)a,2)＝eq \f(\r(2)a,4)，
B1O1＝eq \r(BO\\al(2,1)＋BB\\al(2,1))＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2)a,4)))2＋a2)＝eq \f(3\r(2)a,4)，∴tan∠EB1O1＝eq \f(EO1,B1O1)＝eq \f(\f(\r(2)a,4),\f(3\r(2)a,4))＝eq \f(1,3).
（四）操作演练 素养提升
1.垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是( )
A．垂直 B．相交但不垂直 C．平行 D．不确定
2.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是( )
A．60° B．45° C．30° D．120°
3.设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )
A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
4.下列命题中，正确的序号是________．
①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；
③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；
④若平面α内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面α不垂直．
答案：1.A 2.A 3.B 4.③④
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？


（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？


【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
完成教材：第152页 练习 第1，2,3,4题
第162页 习题8.6 第5,13,19,20题










8.6空间直线、平面的垂直
课时内容
8.6.1直线与直线垂直
8.6.2直线与平面垂直
8.6.3平面与平面垂直
所在位置
教材第146页
教材第149页
教材第155页
新教材内容分析
本节内容是利用空间直线平行的传递性和等角定理，探究异面直线所成的角，渗透把立体图形的问题转化为平面图形问题来解决的转化思想.
直线与平面垂直的研究是直线与直线垂直研究的继续，也为平面与平面垂直的研究做了准备；这三类垂直问题的主线是类似的，都是以定义——判定——性质为主线，通过定理的探索过程，培养了学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，是本节课的重要任务。
本节内容是空间平面与平面垂直，与研究直线与平面垂直一样，借助长方体模型，理解平面与平面平行的判定和性质定理。
核心素养培养
通过实物观察、抽象出异面直线夹角的定义，培养直观想象的核心素养；借助异面直线所成角及垂直关系的证明，培养数学运算与逻辑推理的核心素养.
通过学习直线与平面垂直的判定定理和性质定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养；通过学习直线与平面所成的角，提升直观想象、数学运算的数学素养。
通过学习平面与平面垂直的判定定理和性质定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养；通过学习二面角，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养.
教学主线
垂直关系的相互转化
有关概念
对应图形
斜线
一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面α垂直，图中直线PA
斜足
斜线和平面的交点，图中点A
射影
过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面内的射影
直线与平面所成的角
定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角
规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角
取值范围
[0°，90°]