2023-2024学年湖南省长沙市宁乡市高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年湖南省长沙市宁乡市高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={−32,0,23,1,5}，B={x|x<12}，则A∩B=( )
A. {−32,0}B. {−32,0,23}C. {−32}D. {−32,0,23,1}
2.命题“∃x∈R，x2−2x+2≤0”的否定是( )
A. ∃x∈R，x2−2x+2≥0B. ∃x∈R，x2−2x+2>0
C. ∀x∈R，x2−2x+2≤0D. ∀x∈R，x2−2x+2>0
3.已知函数f(x)，g(x)分别由表给出：则f[g(2)]的值是( )
A. 1B. 2C. 3D. 1和2
4.已知a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式恒成立的是( )
A. ac>bcB. |a|>|b|C. 1a<1bD. ac2+1>bc2+1
5.设偶函数f(x)在区间(−∞,−1]上单调递增，则( )
A. f(−32)C. f(2)6.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( )
A. f(x)=2sin(12x+π6)B. f(x)=2sin(12x−π6)
C. f(x)=2sin(2x−π6)D. f(x)=2sin(2x+π6)
7.设a=sin4，b=e0.4，c=lg0.40.5，则a，b，c的大小关系是( )
A. a>b>cB. a>c>bC. c>a>bD. b>c>a
8.已知函数f(x)=kx+2,x≤0lnx,x>0,若k>0，则函数y=|f(x)|−1的零点个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列哪些函数是幂函数( )
A. y=2xB. y=x−2C. y=(2x)3D. y=3x2
10.下列各式中值为1的是( )
A. tan13∘+tan32∘1−tan13∘tan32∘B. 4sinπ12csπ12
C. 22(cs2π8−sin2π8)D. sin111∘cs381∘+sin21∘sin159∘
11.已知函数f(x)=x−1x，g(x)=ex−e−xx，则下列结论正确的是( )
A. f(x)g(x)是奇函数B. f[g(x)]是奇函数
C. f(x)|g(x)|是偶函数D. |f(x)|g(x)是偶函数
12.关于函数f(x)=2sin(2x+π4)+1，下列叙述正确的是( )
A. 其图像关于直线x=π4对称
B. 其图像可由y=2sin(x+π4)+1图像上所有点的横坐标变为原来的12得到
C. 其图像关于点(3π8,0)对称
D. 其值域是[−1,3]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)=x+2−ax4+3是奇函数，则实数a的值为______.
14.若x，y∈R，则“2x−y>2”是“x>y”的______条件.(请用“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”回答)
15.已知函数f(x)=ax+1x+2在区间(−2,+∞)上为增函数，则a的取值范围是______.
16.已知函数f(x)=x−2，g(x)=x2−2mx+4(m∈R)，若对任意x1∈[1,2]，存在x2∈[4,5]，使得g(x1)=f(x2)，则m的取值范围______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x|−4≤1−x≤3}，B={x|2m−4(1)若m=0，求A∩B；
(2)若A∪B=B，求实数m的取值范围.
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg2(x+1)−2.
(1)若f(x)<0，求x的取值范围.
(2)若x∈(1,7],求f(x)的值域.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2−2x.
(1)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性，并用定义法证明；
(2)已知f(x)在[1,2]上的最大值为m，若正实数a，b满足ab=m，求1a+1b的最小值.
20.(本小题12分)
(1)已知sin(3π+θ)=13，求值：cs(π+θ)csθ[cs(π−θ)−1]+cs(θ−2π)sin(θ−3π2)cs(θ−π)−sin(3π2+θ).
(2)化简：2cs2α−12tan(π4−α)sin2(π4+α).
21.(本小题12分)
新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x(x∈[0,10])(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，A公司在收到政府x(万元)补贴后，防护服产量将增加到t=k⋅(6−12x+4)(万件)，其中k为工厂工人的复工率(k∈[0.5,1])，A公司生产t万件防护服还需投入成本20+9x+50t(万元).
(1)将A公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；
(2)当复工率k=0.8时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？并求出最大值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=csx(sinx+ 3csx)− 32，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调减区间；
(2)若存在x∈[0,π2]，使等式[f(x)]2+f(x)+m=0成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵集合A={−32,0,23,1,5}，B={x|x<12}，
∴A∩B={−32,0}.
故选：A.
利用交集定义、不等式性质直接求解．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：∃x∨R，x2−2x+2≤0”的否定是：∀x∈R，x2−2x+2>0.
故选：D.
直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
3.【答案】C
【解析】解：由表中函数可知，f[g(2)]=f(2)=3.
故选：C.
根据表中函数值，即可求解．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：A：a=2，b=1，c=−1时ac>bc不成立；
a=1，b=−2时，B，C显然错误；
D：ac2+1−bc2+1=a−bc2+1>0，即ac2+1>bc2+1成立．
故选：D.
由不等式的性质，应用特殊值法判断各项正误．
本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：因为偶函数f(x)在区间(−∞,−1]上单调递增，
所以f(x)在[1,+∞)上单调递减，
因为f(−32)=f(32)，f(−1)=f(1)，且1<32<2，
所以f(2)故选：B.
由已知判断f(x)在[1,+∞)上单调递减，由偶函数的性质可得f(−32)=f(32)，f(−1)=f(1)，再结合函数的单调性即可判断函数值的大小．
本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查函数值大小的比较，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查由三角函数部分图象信息求其解析式的方法，是基础题.
先由图象确定A、T，进而确定ω，最后通过特殊点确定φ，则问题解决．
【解答】
解：由图象知A=2，
T4=5π12−π6=π4，即T=π=2πω，
所以ω=2，
此时f(x)=2sin(2x+φ)，
将(π6,2)代入解析式有sin(π3+φ)=1，解得φ=2kπ+π6, k∈Z，
又因为|φ|<π2，所以φ=π6，
所以f(x)=2sin(2x+π6).
故选D.
7.【答案】D
【解析】解：∵a=sin4<0，b=e0.4>e0=1，0=lg0.41∴b>c>a.
故选：D.
根据三角函数值符号确定方法、指数函数性质、对数函数性质可解决此题．
本题考查三角函数值符号确定、指数函数性质、对数函数性质，考查数学运算能力，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】问题转化成f(x)=1或f(x)=−1.当x>0时，可解得x=e或x=1e；当x≤0时，可解得x=−1k<0或x=−3k<0，即方程有4个根，则函数有4个零点．本题考查根的存在性及根的个数的判断，转化为对应方程的根是解决问题的关键，属中档题．
解：由y=|f(x)|−1=0得|f(x)|=1，即f(x)=1或f(x)=−1.
当x>0时，由lnx=1或lnx=−1，解得x=e或x=1e.
当x≤0时，由kx+2=1或kx+2=−1，解得x=−1k<0或x=−3k<0.
所以函数y=|f(x)|−1的零点个数是4个，
故选D.
9.【答案】BD
【解析】解：形如y=xα (α≠0)的函数为幂函数，
故AC错误，B正确；
y=3x2=x23为幂函数，故D正确．
故选：BD.
根据已知条件，结合幂函数的定义，即可求解．
本题主要考查幂函数的定义，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于A，tan13∘+tan32∘1−tan13∘tan32∘=tan(13∘+32∘)=tan45∘=1，
对于B，4sinπ12csπ12=2sinπ6=1，
对于C， 22(cs2π8−sin2π8)= 22csπ4= 22× 22=12，
对于D，sin111∘cs381∘+sin21∘sin159∘=sin69∘cs21∘+sin21∘cs69∘=sin(69∘+21∘)=sin90∘=1.
故选：ABD.
对于A，利用两角和的正切公式及特殊角的三角函数值即可求解．
对于B，利用二倍角的正弦公式即可求解．
对于C，利用二倍角的余弦公式即可求解．
对于D，利用诱导公式以及两角和的正弦公式即可求解．
本题考查了两角和的正切公式，二倍角公式，诱导公式以及两角和的正弦公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：根据题意，函数f(x)=x−1x，其定义域为{x|x≠0}，
有f(−x)=−x+1x=−f(x)，则f(x)为定义域为{x|x≠0}的奇函数，
g(x)=ex−e−xx，其定义域为{x|x≠0}，
有g(−x)=e−x−ex−x=ex−e−xx=g(x)，则f(x)为定义域为{x|x≠0}的偶函数，
由此分析选项：
对于A，设F(x)=f(x)g(x)，其定义域为{x|x≠0}，
有F(−x)=f(−x)g(−x)=−f(x)g(x)=−F(x)，
则f(x)g(x)为奇函数，A正确；
对于B，设F(x)=f[g(x)]，其定义域为{x|x≠0}，
有F(−x)=f[g(−x)]=f[g(x)]=F(x)，
则f[g(x)]为偶函数，B错误；
对于C，设F(x)=f(x)|g(x)|，其定义域为{x|x≠0}，
有F(−x)=f(−x)|g(−x)|=−f(x)|g(x)|=−F(x)，
则f(x)|g(x)|为奇函数，C错误；
对于D，设F(x)=|f(x)|g(x)，其定义域为{x|x≠0}，
有F(−x)=|f(−x)|g(−x)=|−f(x)|g(x)=|f(x)|g(x)=F(x)，
则|f(x)|g(x)为偶函数，D正确．
故选：AD.
根据题意，分析函数f(x)、g(x)的奇偶性，由函数奇偶性的性质依次分析选项，综合可得答案．
本题考查函数奇偶性的判断，注意函数奇偶性的定义，属于基础题．
12.【答案】BD
【解析】解：函数f(x)=2sin(2x+π4)+1，
对于A，f(π4)=2sin(2×π4+π4)+1= 2+1不是函数最值，故A错误；
对于B，f(x)图像可由y=2sin(x+π4)+1图像上所有点的横坐标变为原来的12得到，故B正确；
对于C，令y=2sin(2x+π4)，当x=3π8时，y=2sin(2×3π8+π4)=0，即函数y的图像关于点(3π8,0)对称，
故f(x)的图像关于点(3π8,1)对称，故C错误；
对于D，当sin(2x+π4)=−1时，函数f(x)取得最小值−1，
当sin(2x+π4)=1时，函数f(x)取得最大值3，
故f(x)的值域为[−1,3]，故D正确．
故选：BD.
根据已知条件，结合正弦函数对称性、对称中心的定义，以及三角函数的伸缩变换法则，三角函数的有界性，即可依次求解．
本题主要考查正弦函数的性质，属于基础题．
13.【答案】2
【解析】解：f(x)的定义域为R；
∵f(x)是奇函数；
∴f(0)=2−a3=0；
∴a=2.
故答案为：2.
可看出，f(x)的定义域为R，即f(x)在原点有定义，并且f(x)是奇函数，从而得出f(0)=2−a3=0，从而求出a的值．
考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0.
14.【答案】充分不必要
【解析】解：根据题意，可得“2x−y>2”等价于x−y>1，
由x−y>1，可以推出x>y+1，故x>y成立；反之，由x>y不能推出x−y>1.
因此，“2x−y>2”是“x>y”的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要．
化简2x−y>2可得x−y>1，然后根据充要条件的定义加以判断，即可得到本题的答案．
本题主要考查指数函数的单调性、充要条件的判断及其应用，属于基础题．
15.【答案】{a|a>12}
【解析】解：∵函数f(x)=ax+1x+2=a+1−2ax+2，
再根据f(x)在(−2,+∞)为增函数，可得g(x)=1−2ax+2在(−2,+∞)为增函数，
∴1−2a<0，解得a>12，
故答案为：{a|a>12}.
把函数f(x)解析式进行常数分离，变成一个常数和另一个函数g(x)的和的形式，由函数g(x)在(−2,+∞)为增函数得出1−2a<0，从而得到实数a的取值范围．
本题考查利用函数的单调性求参数的范围，属于基础题．
16.【答案】[54, 2]
【解析】解析：由题意可得{y|y=g(x),1≤x≤2}⊆{y|y=f(x),4≤x≤5}，
当x∈[4,5]时，f(x)∈[2,3]，
故g(x)=x2−2mx+4(m∈R)需同时满足以下两点：
①对∀x∈[1,2]时，g(x)=x2−2mx+4≤3，
∴2m≥x+1x恒成立，由于当∀x∈[1,2]时，y=x+1x为增函数，
∴2m≥2+12⇒m≥54；
②对∀x∈[1,2]时，g(x)=x2−2mx+4≥2，
∴2m≤x+2x恒成立，由于x+2x≥2 2，当且仅当x=2x，即x= 2时取得等号，
∴2m≤2 2⇒m≤ 2，
∴m∈[54, 2].
故答案为：[54, 2].
由题意可判断{y|y=g(x),1≤x≤2}⊆{y|y=f(x),4≤x≤5}，由此求出f(x)∈[2,3]，可得相应不等式恒成立，转化为函数最值问题，求解即可．
本题考查了二次函数的性质、对勾函数的性质及基本不等式的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由题意可得，A={x|−2≤x≤5}，B={x|−4所以A∩B={x|−2≤x<4}.
(2)A⊆B，
则2m−4<−23m+4>5，解得13故实数m的取值范围为(13,1).
【解析】(1)解一元一次不等式求集合A，再结合集合交集的定义，即可求解；
(2)由题意A⊆B，列不等式组求参数范围．
本题主要考查集合的包含关系，以及集合的运算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)函数f(x)=lg2(x+1)−2，要使f(x)<0，
即lg2(x+1)<2，可得0即不等式的解集为(−1,3)；
(2)因为x∈(1,7],设u=x+1在(1,7]单调递增，
而g(u)=lg2u−2在定义域上单调递增，
由复合函数的单调性可得f(x)在(1,7]单调递增，
所以f(x)∈(f(1),f(7)],而f(1)=lg22−2=−1，f(7)=lg28−2=3−2=1，
所以f(x)的值域为(−1,1].
【解析】(1)由对数函数的性质可得0(2)由复合函数的性质可得函数的值域．
本题考查对数型函数的性质的应用及复合函数的单调性的判断，属于基础题．
19.【答案】解：(1)根据题意，f(x)在(0,+∞)上的单调递增，
证明如下：设0又由0则f(x1)−f(x2)<0，
故f(x)在(0,+∞)上的单调递增，
(2)根据题意，f(x)在(0,+∞)上的单调递增，
则f(x)在[1,2]上的最大值为f(2)=22−22=1，即m=1，
则有ab=1，
1a+1b=a+bab=a+b≥2 ab=2，当且仅当a=b=1时，等号成立，
故1a+1b的最小值为2.
【解析】(1)根据题意，设0(2)根据题意，由f(x)的单调性可得f(x)的最大值，即可得ab=m=1，由基本不等式分析可得答案．
本题考查函数的单调性的性质以及应用，涉及基本不等式的性质的应用，属于基础题．
20.【答案】解：(1)cs(π+θ)csθ[cs(π−θ)−1]+cs(θ−2π)sin(θ−3π2)cs(θ−π)−sin(3π2+θ)=−csθcsθ(−csθ−1)+csθcsθ(−csθ)+csθ
=csθcsθ(1+csθ)+csθcsθ(1−csθ)=11+csθ+11−csθ=1−csθ+1+csθ1−cs2θ=2sin2θ，
因为sin(3π+θ)=13，
所以sinθ=−13，
所以原式=2(−13)2=18.
(2)原式=cs2α1+tanα1+tanα[1−cs(π2+2α)]=cs2αcs2α1+sin2α(1+sin2α)=1.
【解析】(1)利用诱导公式转化为θ的三角函数即可；
(2)所求式子的分子可采用二倍角公式进行化简，分母采用两角差的正切函数公式及二倍角的余弦公式化简，约分可得值．
此题考查学生灵活运用两角和与差的正弦、余弦、正切函数公式化简求值，属于中档题．
21.【答案】解：(1)y=x+80t−(20+9x+50t)
=30t−20−8x
=30k⋅(6−12x+4)−20−8x=180k−360kx+4−8x−20，x∈[0,10].
(2)y=180k−360kx+4−8x−20=180k+12−8[(x+4)+45kx+4]，
∵x∈[0,10]，
∴4≤x+4≤14，
则(x+4)+45kx+4≥6 5 k，
当且仅当x+4=45kx+4，即x=3 5 k−4，等号成立，
∵k∈[0.5,1]，
∴3 102−4≤3 5 k−4≤3 5−4，即有3 5 k−4∈[0,10]，
∴y≤180k+12−48 5 k，
当k=0.8时，y≤144+12−96=60，
故政府补贴2万元，才能使A公司的防护服利润达到最大，最大利润为60万元．
【解析】(1)利用已知条件列出函数的解析式，写出定义域即可求解．
(2)根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式公式是解本题的关键，属于中档题．
22.【答案】解：(1)f(x)=csx(sinx+ 3csx)− 32=sinxcsx+ 3cs2x− 32
=12sin2x+ 3⋅1+cs2x2− 32=12sin2x+ 32cs2x=sin(2x+π3)，
由2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2(k∈Z)得kπ+π12≤x≤kπ+7π12，k∈Z，
函数的单调递减区间为[kπ+π12,kπ+7π12]，k∈Z.
(2)当x∈[0,π2]时，π3≤2x+π3≤4π3，
则− 32≤sin(2x+π3)≤1，即− 32≤f(x)≤1，
令f(x)=t(− 32≤t≤1)，
关于t得方程t2+t+m=0在[− 32,1]上有解，
即−m=t2+t在[− 32,1]上有解，
当− 32≤t≤1时，−14≤t2+t≤2，
由−14≤−m≤2，得−2≤m≤14，
即实数m的取值范围是[−2,14].
【解析】(1)利用倍角公式结合辅助角公式进行化简即可
(2)利用换元法设t=f(x)，结合一元二次函数的性质求出函数的值域即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简以及利用换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键．x
1
2
3
f(x)
1
3
1
g(x)
3
2
1