2023-2024学年上海市徐汇区上海师大附中宝山分校高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年上海市徐汇区上海师大附中宝山分校高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若sin(π2+θ)>0，sin(2π−θ)>0，则角θ的终边位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知函数f(x)=lg|1+x|+lg|1−x|，则f(x)( )
A. 是奇函数，且在(1,+∞)上是增函数B. 是奇函数，且在(1,+∞)上是减函数
C. 是偶函数，且在(1,+∞)上是增函数D. 是偶函数，且在(1,+∞)上是减函数
3.已知b>a>1，t>0，若ax=a+t，则bx与b+t的大小关系是( )
A. bx>b+tB. bx=b+tC. bx4.f(x)是定义在R上的函数，那么下列函数：①f(x)=1x,x≠00,x=0；②f(x)=x2；③f(x)=|x2−1|中，满足性质“存在两个不等实数x1，x2∈R，使得f(x1+x22)=f(x1)+f(x2)2”的函数个数为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.将90∘角的终边按顺时针方向旋转30∘得角α，写出所有终边与α相同的角的集合A=______.
6.函数y=x32+lg(5−3x)的定义域是______.
7.函数y=(x−1)3+2的对称中心是______.
8.函数y=x5+5x的单调增区间是______.
9.函数y=x2−2x+3(x≤0)的反函数为______.
10.若角α的终边上有一点P(35k,−45k)，k<0，则sinα⋅tanα的值是______.
11.已知函数y=f(x)是在定义域[−2,2]上的严格减函数，且为奇函数.若f(1)=−1，则不等式f(x−2)≤1的解集是______.
12.“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图是折扇的示意图，其中OA=20cm，∠AOB=120∘，M为OA的中点，则扇面(图中扇环)部分的面积是______cm2.
13.已知正数a，b满足ba=4，且a+lg2b=3，则a+b=______.
14.已知函数y=3x,x≤2−2x2+m,x>2的值域是(−∞,9],则实数m的取值范围是______.
15.设θ，x，y是实数，xy≠0.若cs4θx2+sin4θy2=1x2+y2，则cs2024θx2022+sin2024θy2022的值为______.
16.设min{A,B}表示A，B中的较小数.若函数f(x)=min{|x|−2,x2−ax+2a−3}至少有3个零点，则实数a的取值范围是______.
三、解答题：本题共5小题，共38分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知集合A={x||x−1|<2}，B={x|(13)4x−1>(13)2x+3}，C={x|x+11x+3≥2}.
(1)求集合A、B、C；
(2)求(A∪C)∩B−.
18.(本小题8分)
已知sinθ、csθ是关于x的方程x2−ax+a=0(a∈R)的两个根.
(1)求实数a的值，
(2)求1−cs2θsinθ−csθ+sinθ+csθ1−tan2θ的值.
19.(本小题8分)
某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14,40]时，曲线是函数y=lga(t−5)+83(a>0,且a≠1)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳．
(1)试求p=f(t)的函数关系式；
(2)一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．
20.(本小题6分)
已知函数f(x)=x2+(a+1)x+lg|a+2|(a∈R,且a≠−2).
(1)写出一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)，使f(x)=g(x)+h(x)；
(2)对(1)中的g(x).命题P：函数f(x)在区间[(a+1)2,+∞)上是增函数；命题Q：函数g(x)是减函数；如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围；
(3)在(2)的条件下，求f(2)的取值范围.
21.(本小题8分)
若函数y=f(x)满足在定义域内的某个集合A上，2x(f(x)−2x)(x∈A)是一个常数则称f(x)在A上具有P性质.
若I是函数y=f(x)定义域的一个子集，称函数g(x)=f(x)，x∈I是函数y=f(x)在I上的限制.
(1)设y=f(x)是[−3,3]上只有P性质的奇函数，求x∈[−3,3]时不等式f(x)>32的解集；
(2)设y=f(x)为[−3,3]上具有P性质的偶函数.若关于x的不等式f(2x)+2m⋅f(x)<0在[−3,3]上有解，求实数m的取值范围；
(3)已知函数y=f(x)在区间[−1,1]上的限制是具有P性质的奇函数，在[−2,−1)∪(1,2]上的限制是具有P性质的偶函数.若对于[−2,2]上的任意实数x1，x2，x3，不等式f(x1)+f(x2)+4>mf(x3)恒成立，求实数m的取值范围.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵sin(π2+θ)>0，∴csθ>0，
∵sin(2π−θ)>0，∴−sinθ>0，∴sinθ<0，
∴角θ的终边位于第四象限．
故选：D.
利用诱导公式化简可得csθ>0，sinθ<0，从而确定角θ终边所在的象限．
本题主要考查了诱导公式的应用，考查了三角函数符号的判断，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数奇偶性及单调性的判断，属于基础题．
结合奇偶函数的定义先判断f(−x)与f(x)的关系，然后结合x>1时函数的解析式及复合函数的单调性即可判断．
【解答】
解：f(x)的定义域为xx≠±1，关于原点对称，
f(−x)=lg|1−x|+lg|1+x|=f(x)，
故f(x)为偶函数，
当x>1时，f(x)=lg(1+x)+lg(x−1)=lg(x2−1)，可知函数单调递增，
故选：C.
3.【答案】A
【解析】解：构造函数f(m)=mx，g(m)=m+t.∵a>1，t>0，ax=a+t>a>1，∴x>1.
在同一坐标系内作出两函数图象
∵ax=a+t，即是说，两图象交点的横坐标为a，若b>a>1，则f(b)>g(b)，即bx>b+t.
故选：A.
构造函数f(m)=mx.g(m)=m+t，在同一坐标系内作出两函数图象，通过图象解决．
本题考查函数图象(幂函数、一次函数)及性质，不等式大小比较，利用了函数思想，数形结合的思想．
4.【答案】C
【解析】解：对于：①f(x)=1x,x≠00,x=0，
f(−1+12)=f(0)=0=f(1)+f(−1)2=1−12，故①符合；
对于②f(x)=x2，假设存在两个不等实数x1，x2∈R，使得f(x1+x22)=f(x1)+f(x2)2，
即(x1+x22)2=x12+x222，
则x12+x222−x12+x22+2x1x24=(x1−x2)24=0，
得x1=x2，与x1≠x2矛盾，故②不符合；
对于③，f(− 2+ 22)=f(0)=1=f( 2)+f(− 2)2，故③符合．
故选：C.
根据题意，找出存在的点，如果找不到则需证明：不存在两个不等实数x1，x2∈R，使得f(x1+x22)=f(x1)+f(x2)2.
本题考查函数与方程的性质，属中档题．
5.【答案】{β|β=π3+2kπ,k∈Z}
【解析】解：因为按顺时针方向旋转所得的角为负角，所以所求的角为90∘+(−30∘)=60∘，
则α=π3，
故终边与α相同的角的集合A={β|β=π3+2kπ,k∈Z}.
故答案为：{β|β=π3+2kπ,k∈Z}.
先求出α，再由终边相同的角求解即可．
本题主要考查了终边相同角的定义，属于基础题．
6.【答案】[0,53)
【解析】解：令x≥05−3x>0，则0≤x<53，
∴函数y=x32+lg(5−3x)的定义域是[0,53),
故答案为：[0,53).
根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
本题考查了函数定义域的求法，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题．
7.【答案】(1,2)
【解析】解：因为y=x3的图象关于原点对称，
把y=x3的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位可得y=(x−1)3+2的图象，
故函数y=(x−1)3+2的对称中心是(1,2).
故答案为：(1,2).
由幂函数的性质可知y=x3的图象关于原点对称，然后结合函数图象的平移即可求解．
本题主要考查了函数对称中心的求解，属于基础题．
8.【答案】(−∞,+∞)
【解析】解：函数y=x5+5x的定义域为R，
因为函数y=x5与y=5x在R上都是增函数，
所以函数y=x5+5x在R上是增函数，
故函数y=x5+5x的单调增区间是(−∞,+∞).
故答案为：(−∞,+∞).
由函数的单调性的性质即可求解．
本题主要考查函数的单调性及单调区间，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】y=1− x−2(x≥3)
【解析】解：y=x2−2x+3=(x−1)2+2，
当x≤0时，y≥3，
y=(x−1)2+2，
则x−1=− y−2，即x=1− y−2，
将x，y交换可得，y=1− x−2(x≥3).
故答案为：y=1− x−2(x≥3).
先求出函数y的值域，再结合反函数的求法，即可求解．
本题主要考查反函数的求法，属于基础题．
10.【答案】−1615
【解析】解：∵角α的终边上有一点P(35k,−45k)，k<0，则r=|OP|= 9k225+16k225=−k，
∴sinα⋅tanα=−4k5−k×−4k53k5=45×(−43)=−1615.
故答案为：−1615.
由题意，利用任意角的三角函数的定义，求出sinα⋅tanα的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
11.【答案】[1,4]
【解析】解：函数y=f(x)是在定义域[−2,2]上的奇函数．且f(1)=−1，
则1=−f(1)=f(−1)；
则不等式f(x−2)≤1可转化为f(x−2)≤f(−1)；
又函数y=f(x)是在定义域[−2,2]上的严格减函数，
所以−1≤x−2≤2，
解得1≤x≤4，
故答案为：[1,4].
结合题意，由函数的奇偶性可得f(x−2)≤f(−1)，再利用其单调性脱“f”可解得答案．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查运算能力，属于中档题．
12.【答案】100π
【解析】解：设线段BO的中点为C，
S扇环ABCM=S扇形AOB−S扇形OMC=12×2π3[202−(202)2]=100πcm2.
故答案为：100π.
利用扇形面积公式去求扇环部分的面积即可．
本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题．
13.【答案】4或5
【解析】解：∵ba=4，
∴lg2ba=lg24，即alg2b=2①，又a+lg2b=3②，
联立①②得a=1lg2b=2或者a=2lg2b=1，
即a=1b=4或者a=2b=2，
∴a+b=4或者a+b=5，
故答案为：4或5.
将ba=4等号两边取以2为底的对数，结合已知条件，转化为关于a和lg2b的方程，求出a和lg2b，即可得到所求．
本题考查了指数式、对数式的互化，考查了对数运算，主要考查计算能力，属于基础题．
14.【答案】(8,17]
【解析】解：当x≤2时，函数y=3x∈(0,9],
当x>2时，y=−2x2+m是单调递减函数，
且当x=2时，y=m−8，
所以当x>2时，y∈(−∞,m−8)，
要满足题意，只需0所以实数m的范围为(8,17],
故答案为：(8,17].
分别求出x≤2，x>2时的值域，然后根据题意建立不等式，由此即可求解．
本题考查了分段函数的与值域有关问题，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
15.【答案】1(x2+y2)1011
【解析】解：设θ，x，y是实数，xy≠0.
又cs4θx2+sin4θy2=1x2+y2，
则(x2+y2)(cs4θx2+sin4θy2)=1，
又(x2+y2)(cs4θx2+sin4θy2)≥(cs2θ+sin2θ)2=1，
当且仅当cs4θx4=sin4θy4，即sin2θy2=cs2θx2，
由比例的性质可得：sin2θy2=cs2θx2=1x2+y2，
故cs2024θx2022+sin2024θy2022=cs2θ⋅(cs2θx2)1011+sin2θ⋅(sin2θy2)1011=(1x2+y2)1011(sin2θ+cs2θ)=1(x2+y2)1011.
故答案为：1(x2+y2)1011.
首先由条件可得(x2+y2)(cs4θx2+sin4θy2)=1，借助柯西不等式可得左边大于等于1，说明恰好取等，利用取等条件即可解答．
本题考查柯西不等式的运用，以及取等条件，属于中档题．
16.【答案】[6,+∞)
【解析】解：作出函数y=|x|−2的图象如图，
要使函数f(x)=min{|x|−2,x2−ax+2a−3}至少有3个零点，
则a2>2Δ=a2−4(2a−3)≥022−2a+2a−3≥0①或a2<−2Δ=a2−4(2a−3)≥0(−2)2+2a+2a+3≥0②，
解①得，a≥6；解②得，a∈⌀.
∴实数a的取值范围是[6,+∞).
故答案为：[6,+∞).
由题意画出满足条件的二次函数的图象，利用一元二次方程根的分布与系数间的关系列式求解实数a的取值范围．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，是中档题．
17.【答案】解：(1)由|x−1|<2可得−1由(13)4x−1>(13)2x+3，可得4x−1<2x+3，解得x<2，即B={x|x<2}，
由x+11x+3≥2，可得x−5x+3≤0，解得−3(2)因为A∪C={x|−3所以(A∪C)∩B−={x|2≤x≤5}.
【解析】分别通过解绝对值不等式，指数不等式，分式不等式得出集合A、B、C的范围，再根据集合运算得出(2)中的结果．
本题考查不等式的解法，集合的运算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)依题意，Δ=a2−4a≥0，解得a≤0或a≥4，
又sinθ+csθ=asinθcsθ=a，
所以(sinθ+csθ)2=1+2sinθcsθ，即a2−2a−1=0，解得a=1− 2或a=1+ 2(舍去).
(2)1−cs2θsinθ−csθ+sinθ+csθ1−tan2θ=sin2θsinθ−csθ+cs2θcsθ−sinθ=sin2θ−cs2θsinθ−csθ=sinθ+csθ=a=1− 2.
【解析】(1)依题意，由△≥0，可求得a的取值范围，利用韦达定理与三角函数间的关系可求得a=sinθ+csθ=sinθcsθ，即可求实数a的值．
(2)利用同角三角函数基本关系式，平方差公式化简即可求解．
本题考查同角三角函数基本关系的运用，考查韦达定理的应用，求得sinθ+csθ=sinθcsθ的值是关键，属于中档题．
19.【答案】解：(1)当t∈(0,14]时，设p=f(t)=c(t−12)2+82(c<0)，
将点(14,81)代入得c=−14，
∴当t∈(0,14]时，p=f(t)=−14(t−12)2+82；
当t∈(14,40]时，将点(14,81)代入y=lga(t−5)+83，得a=13，
所以p=f(t)=−14(t−12)2+82,t∈(0,14]lg13(t−5)+83,t∈(14,40]；
(2)当t∈(0,14]时，−14(t−12)2+82≥80，
解得12−2 2≤t≤12+2 2，所以t∈[12−2 2,14]，
当t∈(14,40]时，lg13(t−5)+83≥80，
解得5综上t∈[12−2 2,32]时学生听课效果最佳，
此时Δt=32−(12−2 2)=20+2 2>22，
所以，教师能够合理安排时间讲完题目．
【解析】本题主要考查了函数的实际运用，属于中档题．
(1)利用待定系数法求函数第一段的解析式，代入特殊点求函数第二段的解析式即可；
(2)分段求出效果最佳的t的范围，验证即可．
20.【答案】解：(1)由题意可得h(x)=x2+lg|a+2|； g(x)=(a+1)x.
(2)由二次函数f(x))=x2+(a+1)x+lg|a+2|的图象是开口向上的抛物线，且的对称轴为x=−a+12，
在区间[(a+1)2,+∞)上是增函数，故有−a+12≤(a+1)2，解得a⩽−32或a⩾−1，因为a≠−2.
由函数g(x)是减函数得a+1<0，解得a<−1，a≠−2.
当命题P真且命题Q假时，由{a⩽−32,或a⩾−1a⩾−1a≠−2，解得a≥−1.
当命题P假且命题Q真时，由−32故当命题P、Q有且仅有一个是真命题，得a的取值范围是[−1,+∞)∪(−32,−1)=(−32,+∞).
(3)f(2)=4+2a+2+lg|a+2|=6+2a+lg(a+2)，因为在a∈(−32,+∞)上递增，
所以，f(2)>6+2⋅(−32)+lg(−32+2)=3−lg2，即：f(2)∈(3−lg2,+∞).
【解析】(1)由题意可得h(x)=x2+lg|a+2|； g(x)=(a+1)x.
(2)由函数f(x)在区间[(a+1)2,+∞)上是增函数得−a+12≤(a+1)2，求出a的范围为集合A，由函数g(x)是减函数得a+1<0，求出a的范围为集合B，则(A∩B−)∪(A−∩B)即为所求．
(3)求出f(2)，由函数在a∈(−32,+∞)上递增，可得f(2)>f(−33 )，从而得到所求．
本题考查函数的奇偶性和单调性，不等式的解法，求两个集合的交集、并集和补集，准确运算是解题的难点．
21.【答案】解：(1)y=f(x)是[−3,3]上具有P性质的奇函数，可得2x(f(x)−2x)=k(k为常数)，
则f(x)=2x+k2x，
又f(x)为[−3,3]上的奇函数，则f(−x)=−f(x)，
即2−x+k⋅2x=−(2x+k⋅2−x)，整理可得(k+1)(2x+2−x)=0，
解得k=−1，即f(x)=2x−2−x，
当x∈[−3,3]时，不等式f(x)>32，即为2(2x)2−3⋅2x−2>0，
可得2x>2，即x>1，
则原不等式的解集为(1,3]；
(2)y=f(x)为[−3,3]上具有P性质的偶函数，
可得f(x)=2x+k⋅2−x为[−3,3]上的偶函数，则f(−x)=f(x)，
即2−x+k⋅2x=2x+k⋅2−x，整理可得(k−1)(2x−2−x)=0，
解得k=1，即f(x)=2x+2−x，
若关于x的不等式f(2x)+2m⋅f(x)<0在[−3,3]上有解，
可得22x+2−2x+2m(2x+2−x)<0，即为(2x+2−x)2−2+2m(2x+2−x)<0在[−3,3]上有解．
设t=2x+2−x，由x∈[−3,3]，可得t∈[2,658]，
则t2−2+2mt<0在t∈[2,658]上有解．
即为−2m>t−2t在t∈[2,658]上有解．
由y=t−2t在t∈[2,658]递增，可得y=t−2t的最小值为2−1=1，
所以−2m>1，即m<−12，
即有m的取值范围是(−∞,−12)；
(3)由题意可得当−1≤x≤1时，f(x)=2x−2−x；当−2≤x<−1或1可得当−1≤x≤1时，f(x)∈[−32,32]；当−2≤x<−1或1对于[−2,2]上的任意实数x1，x2，x3，不等式f(x1)+f(x2)+4>mf(x3)恒成立，
可得m≥0时，2f(x)min+4>mf(x)max，
即有2×(−32)+4>174m，
解得0≤m<417；
m<0时，2f(x)min+4>mf(x)min，
即为2×(−32)+4>−32m，解得−23即m的取值范围是(−23,417).
【解析】(1)由f(x)在[−3,3]上具有P性质，可得f(x)=2x+k2x，再由奇函数的定义可得k的值，由指数不等式的解法可得所求解集；
(2)由f(x)在[−3,3]上具有P性质和偶函数的定义，可得f(x)的解析式，再由参数分离和指数函数和函数的单调性，可得所求取值范围；
(3)分别求得f(x)=2x−2−x在[−1,1]上的值域，当−2≤x<−1或1本题考查函数的新定义的理解和应用，以及函数恒成立问题解法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．