2023-2024学年广东省惠州市高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年广东省惠州市高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合U=R，集合A={0,1,2,3}，B={2,3,4,5,6}，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A. {0}B. {0,1}C. {2,3}D. {0,1,2}
2.“x<1”是“x2−4x+3>0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.若cs(α+π6)=35，则sin(π3−α)=( )
A. −45B. 45C. −35D. 35
4.已知函数y=f(x)表示为：
设f(1)=m，f(x)的值域为M，则( )
A. m=−2，M={−2,0,1}B. m=−2，M={y|−2≤y≤1}
C. m=1，M={−2,0,1}D. m=1，M={y|−2≤y≤1}
5.已知函数y=f(x)的部分图像如图所示，则y=f(x)的解析式可能是( )
A. y=sinx+xcsx
B. y=1ex+e−x
C. y=x⋅ln|xπ|
D. y=−xcsx
6.已知函数f(x)=ax,x<0(a−2)x+3a,x≥0，满足对任意x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0成立，则a的取值范围是( )
A. a∈(0,1)B. a∈(2,+∞)C. a∈(0,13]D. a∈[34,2)
7.数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S= p(p−a)(p−b)(p−c)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．现有一个三角形的周长为12，a=4，则此三角形面积的最大值为( )
A. 4B. 4 2C. 4 3D. 4 5
8.已知函数f(x)=2x+1,x≤1x2−1,x>1，若n>m，且f(n)=f(m)，设t=n−m，则t的最小值为( )
A. 1B. . 5−1C. .1712D. .43
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.若“∃x∈M，x<0”为真命题，“∃x∈M，x≥4”为假命题，则集合M可以是( )
A. {x|x<1}B. {x|−1≤x≤4}C. {x|0≤x<3}D. {x|−410.下列选项中，满足a>b的有( )
A. a=lgπ2.7，b=lgπ2.71B. a=lg0.20.3，b=lg0.10.3
C. a=0.72.4，b=0.72.3D. a=1.90.5，b=1.80.5
11.现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过60℃，一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80℃，65℃，给出两个茶温T(单位： ℃)关于茶泡好后置于室内时间t(单位：分钟)的函数模型：①T=80⋅(34)t+20；②T=60⋅(23)t+20.根据所给的数据，下列结论中正确的是( )
(参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)
A. 选择函数模型①
B. 该杯茶泡好后到饮用至少需要等待3分钟
C. 选择函数模型②
D. 该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分钟
12.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，f(x)图象经过点(0,1)和点(−π6,0)，且f(x)在区间(π3,π2)上单调，则( )
A. ω=1
B. f(4π3)=−2
C. φ=π6
D. f(x+5π3)+f(−x)=0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知扇形的圆心角为π4，弧长为π，则扇形的面积为______.
14.若sinx+csxsinx−csx=3，则tan2x=______.
15.若用二分法求方程2x3+3x−3=0在初始区间(0,1)内的近似解，则第二次取区间的中点x2=______.
16.我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称的充要条件是函数y=f(x+a)−b为奇函数.
据此，对于函数g(x)=x3−32x2+154x−18，其图象的对称中心是______，且有g(12024)+g(22024)+g(32024)+⋯+g(20222024)+g(20232024)=______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算下列各式的值；
(1)(94)12−(−9.6)0+(32)−2；
(2)lg3427+lg25+lg4−7lg72.
18.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，且OA⊥OB.
(1)求sin(π+α)cs(π2+β)cs(π−β)sin(3π2+α)的值；
(2)若点A的横坐标为13，求sin(2α+β)的值．
19.(本小题12分)
设函数f(x)=12sinx⋅csx− 32cs2x+ 34,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和对称中心；
(2)若函数f(x)的图象向左平移π4个单位得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[−π6,π4]上的值域.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=21+2x+a，(a∈R)
(1)已知y=2x为单调递增函数，请判断f(x)的单调性，并用单调性定义证明；
(2)若021.(本小题12分)
已知f(x)=lg2(2x+1)−12x.
(1)探究函数f(x)是否具有奇偶性，并说明理由；
(2)设g(x)=f(x)+x，h(x)=x2−2mx+2，若∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,3]，使得g(x1)≥h(x2)，求实数m的取值范围.
22.(本小题12分)
北方某养殖公司有一处矩形养殖池ABCD，如图所示，AB=50米，BC=25 3米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带OE，EF和OF，考虑到整体规划，要求O是边AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90∘.
(1)设∠BOE=α，试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；
(2)在(1)的条件下，为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带OE和OF上按装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为400元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用.
(备用公式：sinα+csα= 2sin(α+π4)，sin7π12= 6+ 24)
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由韦恩图可知，阴影部分为A∩∁RB，
因为A={0,1,2,3}，B={2,3,4,5,6}，
所以A∩∁RB={0,1}.
故选：B.
由已知结合集合的交集及补集运算即可求解．
本题主要考查了集合的交集及补集运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
先解一元二次不等式，然后根据集合的包含关系可得．
【解答】
解：解不等式x2−4x+3>0得x>3或x<1，
记A=(−∞,1)∪(3,+∞)，B=(−∞,1)，
因为B⫋A，
所以“x<1”是“x2−4x+3>0”的充分不必要条件．
故选：A.
3.【答案】D
【解析】解：若cs(α+π6)=35，
则sin(π3−α)=sin(π2−π6−α)=cs(π6+α)=35.
故选：D.
由已知结合诱导公式进行化简即可求解．
本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：由函数关系知f(1)=−1，即m=−2，
函数的值域为{1,0,−2}，
故选：A.
根据函数对应关系进行判断即可．
本题主要考查函数值域的计算，利用函数对应关系是解决本题的关键，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：由函数图像知f(x)的定义域为R，函数f(x)为奇函数，
设f(x)=1ex+e−x，x∈R，f(−x)=f(x)，则f(x)为偶函数，B错误；
对于A，当x=π时，y=−π，故A错误．
y=x⋅ln|xπ|的定义域为{x|x≠0}，故C错误．
故选：D.
根据函数的奇偶性，特殊点判断即可．
本题考查函数的奇偶性，函数的图像，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：不妨设x1>x2，由f(x1)−f(x2)x1−x2>0⇒f(x1)−f(x2)>0⇒f(x1)>f(x2)，
因此该函数是实数集上的增函数，
于是有a>1a−2>0a0≤(a−2)⋅0+3a⇒a>2，
即a的取值范围是(2,+∞).
故选：B.
根据不等式可以确定函数的单调性，根据分段函数的单调性的性质进行求解即可．
本题主要考查了分段函数的单调性，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．
由题意，p=6，S= 6(6−4)(6−b)(6−c)，利用基本不等式，即可得出结论．
【解答】
解：由题意，p=6，
S= 6(6−a)(6−b)(6−c)
= 6(6−4)(6−b)(6−c)
= 12(6−b)(6−c)
=2 3⋅ 36−6(b+c)+bc
=2 3⋅ bc−12≤2 3⋅ (b+c2)2−12=4 3.
∴此三角形面积的最大值为4 3.
故答案选：C.
8.【答案】A
【解析】解：作出函数f(x)的图象，如图所示：
∵f(n)=f(m)，且n>m，
∴m≤1，且n>1，
∴2m+1=n2−1，
即m=n2−22，
由图可得n>10∴t=n−m=n−n2−22=−12n2+n+1=−12(n−1)2+32，
∵1∴当n=2时，t取得最小值1.
故选：A.
作出函数f(x)的图象，由图可知m≤1，n>1，且m=n2−22，所以t=−12n2+n+1，再结合0本题主要考查了分段函数的应用，考查了二次函数的性质，以及数形结合的数学思想，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：依题意可知M中存在小于0的元素且不存在大于或等于4的元素，
则集合{x|x<1}和{x|−4故选：AD.
依题意可知M中存在小于0的元素且不存在大于或等于4的元素，即可判断．
本题考查命题真假的判定，注意存在量词命题真假的判断方法，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：对于A，∵y=lgπx是增函数，2.7<2.71，
a=lgπ2.7，b=lgπ2.71，
∴a对于B，a=，b=，
∵0>ln0.3>ln0.2>ln0.1，∴a>0，b>0，
∴ab=>1，∴a>b，故B正确；
对于C，由函数y=0.7x在定义域上单调递减，2.4>2.3，
∴0.72.4<0.72.3，∴a对于D，∵函数y=x12在定义域上单调递增，1.9>1.8，
∴1.90.5>1.80.5，∴a>b，故D正确．
故选：BD.
对A，C，D构造相应函数，借助函数单调性即可求解；对于B，借助对数换底公式及不等式的性质作商即可求解．
本题考查对数函数、指数函数的单调性比较大小等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：选择函数模型①，则当t=1时，T=80⋅(34)1+20=80℃，当t=2时，T=80⋅(34)2+20=65℃，符合要求，选择函数模型②，则当t=1时，T=60⋅(23)1+20=60℃，不符合要求，故选选择函数模型①，即A正确，C错误；
令T=60，则有60=80⋅(34)t+20，即tlg34=lg12，即t=lg12lg34=−lg2lg3−2lg2≈−−2×0.30=2.5，
故该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分钟，故B错误，D正确．
故选：AD.
代入t=1及t=2计算可得正确模型，代入T=60计算可得正确等到时间．
本题主要考查函数的实际模型，属于中档题．
12.【答案】BD
【解析】解：由图可知，f(x)min=−A=−2，可得A=2，所以f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)，
又因为f(0)=2sinφ=1，则sinφ=12，函数f(x)在x=0附近单调递减，所以φ=5π6，
则f(x)=2sin(ωx+5π6)(ω>0)，因为函数f(x)的图象过点(−π6,0)，
则−π6ω+5π6=−nπ(n∈Z)，可得ω=6n+5(n∈z)，
因为函数f(x)在区间(π3,π2)上单调，则π2−π3≤πω，所以0<ω≤6.
即0<6n+5≤6，解得−56当π3f(4π3)=2sin15π2=2sin3π2=−2，B对；
f(5π6)=2sin5π=0，所以函数f(x)的图象关于点(5π6,0)对称，所以f(x+5π3)+f(−x)=0，D对．
故选：BD.
由函数f(x)的最小值可求出A的值，由f(0)=1，结合题中信息可求出φ的值，由函数的单调性可求出ω的值，判断出A、C选项，代值计算可判断B选项，利用函数f(x)的对称性可判断D选项．
本题考查三角函数的图象和性质，属于中档题．
13.【答案】2π
【解析】解：扇形的圆心角为π4，弧长为π，
则扇形的半径为r=lα=ππ4=4，
面积为S=12lr=12×π×4=2π.
故答案为：2π.
根据扇形的弧长公式求出半径，再计算扇形的面积．
本题考查了扇形的弧长与面积的计算问题，是基础题．
14.【答案】−43
【解析】解：由sinx+csxsinx−csx=3，得tanx+1tanx−1=3，解得tanx=2.
则tan2x=2tanx1−tan2x=2×21−4=−43.
故答案为：−43.
由已知求得tanx，再由二倍角公式求解．
本题考查同角三角函数的基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．
15.【答案】0.5
【解析】解：设f(x)=2x3+3x−3，
∵f(0)=−3，f(1)=2+3−3=2>0，
∴f(0)⋅f(1)<0，且函数f(x)的图象在区间(0,1)内连续，
∴函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点，
∴第二次取区间的中点x2=0+12=0.5.
故答案为：0.5.
利用二分法的定义求解．
本题主要考查了二分法的应用，属于基础题．
16.【答案】(12,32)60692
【解析】解：设g(x)的对称中心为(a,b)，则y=g(x+a)−b为奇函数，
所以−g(x+a)+b=g(−x+a)−b，
即−(x+a)3+32(x+a)2−154(x+a)+18+b=(−x+a)3−32(−x+a)2+154(−x+a)−18−b，
化简可得(6a−3)x2+2a3−3a2+152a−14−2b=0，
所以6a−3=02a3−3a2+152a−14−2b=0，解得a=12b=32，
所以g(x)图象的对称中心为(12,32)；
因为g(x)图象的对称中心为(12,32)，所以−g(x+12)+32=g(−x+12)−32，
所以g(−x+12)+g(x+12)=3，所以g(1−x)+g(x)=3，
所以g(12024)+g(20232024)=g(22024)+g(20222024)=g(32024)+g(20212024)=⋯=g(10112024)+g(10132024)=3，
所以原式=3×1011+g(10122024)=3033+g(12)=3033+32=60692.
故答案为：(12,32),60692.
根据条件分析得到−g(x+a)+b=g(−x+a)−b，由此列出关于a，b的方程并求解出a，b的值，则对称中心坐标可知；根据条件可得g(1−x)+g(x)=3，然后根据函数值的对称特点求解出原式的值．
本题主要考查函数的奇偶性和对称性，属于中档题．
17.【答案】解：(1)原式=32−1+(23)2=32−1+49=1718；
(2)原式=lg3334+2lg5+2lg2−2=34+2(lg5+lg2)−2=34+2−2=34.
【解析】(1)利用指数性质、运算法则直接求解．
(2)利用对数性质、运算法则直接求解．
本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
18.【答案】解：(1)由OA⊥OB，知β=α+π2，
所以sinβ=csα，csβ=−sinα，
所以sin(π+α)cs(π2+β)cs(π−β)sin(3π2+α)=−sinα⋅(−sinβ)(−csβ)⋅(−csα)=−1.
(2)因为点A的横坐标为13，所以A(13,2 23)，
所以sinβ=csα=13，csβ=−sinα=−2 23，
所以sin2α=2sinαcsα=2×13×2 23=4 29，cs2α=2cs2α−1=2×(13)2−1=−79，
所以sin(2α+β)=sin2αcsβ+cs2αsinβ=4 29×(−2 23)+(−79)×13=−2327.
【解析】(1)易知β=α+π2，从而有sinβ=csα，csβ=−sinα，利用诱导公式，化简所求式子，即可；
(2)由题意知，sinβ=csα=13，csβ=−sinα=−2 23，结合二倍角公式与两角和的正弦公式，展开运算，得解．
本题考查三角函数的求值，熟练掌握两角和差公式，二倍角公式，诱导公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)f(x)=12sinx⋅csx− 32cs2x+ 34
=14sin2x− 34(1+cs2x)+ 34
=14sin2x− 34cs2x
=12sin(2x−π3)，
所以f(x)的最小正周期T=2π2=π，
令2x−π3=kπ，k∈Z，解得x=12kπ+π6，k∈Z，可得f(x)的对称中心为(12kπ+π6,0)，k∈Z；
(2)函数f(x)的图象向左平移π4个单位得到函数g(x)=12sin[2(x+π4)−π3]=12sin(2x+π6)的图象，
因为x∈[−π6,π4]，
所以2x+π6∈[−π6,2π3]，可得g(x)=12sin(2x+π6)∈[−14,12].
【解析】(1)利用三角函数恒等变换化简函数解析式，进而利用正弦函数的性质即可求解；
(2)利用三角函数的图象变换可求函数g(x)=12sin(2x+π6)，进而利用正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，三角函数恒等变换以及正弦函数的性质的应用，考查了计算能力和函数思想，属于基础题．
20.【答案】解：(1)f(x)在R上单调递减，证明如下：
f(x)的定义域为R，任取x1因为y=2x为单调递增函数，
所以2x2>2x1，
所以f(x1)−f(x2)=21+2x1−21+2x1=2(2x2−2x1)(1+2x1)(1+2x2)>0，
所以f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在R上单调递减；
证明：(2)令g(x)=f(x)−2x=2x−21+2x−a，
因为y=2x为单调递增函数，且f(x)在R上单调递减，
所以g(x)在R上单调递增，
又因为g(0)=−a<0，g(2)=185−a>0，
由零点的存在性定理可知：在(0,2)上有且仅有一个零点，
即方程f(x)=2x在区间(0,2)上有且仅有一个实数解．
【解析】(1)先取值，然后化简并根据条件判断出的正负，由此可判断出的单调性；
(2)结合函数单调性以及零点的存在性定理分析函数的零点情况，根据函数零点与方程根的关系可完成证明．
本题主要考查了函数零点的判断及函数单调性的判断，属于中档题．
21.【答案】解：(1)f(x)为偶函数，理由如下．
由2x>0恒成立，可得f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(−x)=lg2(2−x+1)+12x=lg2(1+2x2x)+12x=lg2(1+2x)−lg22x+12x
=lg2(2x+1)−x+12x=lg2(2x+1)−12x=f(x)，
所以f(x)为偶函数．
(2)若∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,3]，使得g(x1)≥h(x2)，
即在x1∈[0,3]，x2∈[1,3]时，有g(x1)min≥h(x2)min′
g(x)=f(x)+x=lg2(2x+1)+12x，
由函数y=2x、y=lg2x、y=12x都随x的增大而增大可知，g(x)在[0,3]上单调递增，
所以g(x1)min=g(0)=lg2(20+1)=lg22=1，
h(x)=x2−2mx+2=(x−m)2+2−m2，则当m≤1时，有h(x2)min=h(1)=3−2m，
此时有1≥3−2m，即m≥1，即m=1符合要求，
当1此时有1≥2−m2，即m≥1或m≤−1，即1当m≥3时，h(x2)min=h(3)=11−6m，
此时有1≥11−6m，即m≥53，即m≥3.
综上，m的取值范围为[1,+∞).
【解析】(1)根据f(x)与f(−x)的关系判断奇偶性即可；
(2)将问题转化为g(x1)min≥h(x2)min，结合函数的单调性及二次函数的性质分类讨论求解即可．
本题考查了利用定义法判断函数的奇偶性，利用不等式恒成立与能成立求参数的取值范围，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．
22.【答案】解：(1)∵在Rt△BOE中，
OB=25，∠B=90∘，∠BOE=α，∴OE=25csα，
在Rt△AOF中，OA=25，∠A=90∘，∠AFO=α，∴OF=25sinα，
又∠EOF=90∘,EF= OE2+OF2= (25csα)2+(25sinα)2=25csαsinα，
∴l=OE+OF+EF=25csα+25sinα+25csαsinα，
即l=25(sinα+csα+1)csαsinα，
当点F在点D时，这时角α最小，求得此时α=π6，
点E在C点时，这时角α最大，求得此时α=π3，
故此函数的定义域为[π6,π3]；
(2)由题意知，要求照明装置费用最低，只要求OE+OF最小即可，
由(1)得，OE+OF=25(sinα+csα)csαsinα,α∈[π6,π3]，
设sinα+csα=t，则sinα⋅csα=t2−12，
∴OE+OF=25(sinα+csα)csαsinα=25tt2−12=50tt2−1=50t−1t，
由5π12≤α+π4≤7π12，得 3+12≤t≤ 2，
令f(t)=t−1t，可以证明y=f(t)在(0,+∞)上为增函数，
所以当t= 2时OE+OF最小，(OE+OF)min=50 2，此时α=π4，
所以当BE=AF=25米时，照明装置费用最低，最低费用为20000 2元．
【解析】(1)根据三角函数定义及勾股定理，即可表示出EF长度，进而用α表示出周长，根据点E、F的极限位置，判断出角的大小范围得到定义域；
(2)利用三角函数换元sinα+csα=t，将周长转化为关于t的函数，结合角α的范围求得t的范围，进而得到OE+OF的范围，即为费用最低时的长度．
本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．x
[−2,0)
0
(0,2]
y
1
0
−2