2023-2024学年广东省清远市高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

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这是一份2023-2024学年广东省清远市高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合M={x|0A. {x|02.已知角α的终边过点P(12,−5)，则角α的正弦值为( )
A. −513B. 1213C. −512D. −5 119119
3.下列四组函数是同一个函数的是( )
A. y=x与y= x2
B. y=(3x)3与y=x2x
C. y=x0与y=1
D. y=ln(2+x)+ln(2−x)与y=ln(4−x2)
4.函数f(x)=2x+3x−15的零点所在区间为( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
5.已知tanα= 2，则2sinαcsαcs2α−sin2α=( )
A. 2 2B. −2 2C. − 2D. −2
6.已知a，b，c∈R，则“2a<2b”是“ac2A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数f(x)=2x−1,x≤2,1f(x−1),x>2,则f(2024+lg5)=( )
A. 2lg5−1B. 1+2lg5C. 12D. 11+2lg5
8.已知x，y是正实数，且2x+y=1，则1x+1y+2xy的最小值为( )
A. 16+4 2B. 11+2 30C. 12D. 7+4 3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列结论正确的是( )
A. “∃n∈N，n2−n+1=0”的否定是“∀n∈N，n2−n+1≠0”
B. ∀a∈R，方程x2−ax−1=0有实数根
C. ∃n∈N，n2+1是4的倍数
D. 半径为3，且圆心角为π3的扇形的面积为3π
10.若lna>lnb，则下列结论正确的是( )
A. 1a<1bB. 1a>1b
C. (12)a−a>(12)b−bD. (12)a−a<(12)b−b
11.已知函数f(x)=x2+mx+n(m>0)有且只有一个零点，则下列结论正确的是( )
A. m2−n2≤4
B. 0C. 不等式x2+mx+n<0的解集为⌀
D. 若不等式x2+mx+n<4的解集为(x1,x2)，则|x1−x2|=4
12.已知tanα−tanβ=tan(α−β)，其中α≠kπ2(k∈Z)且β≠mπ2(m∈Z)，则下列结论一定正确的是( )
A. sinαsinβ=0B. sin(α−β)=0
C. cs(α−β)=1D. sin2α+cs2β=1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.tan150∘=______.
14.写出函数y=2−csx在[0,2π]上的一个减区间：______.
15.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=ex+sinx−3，则f(x)的解析式为f(x)=______.
16.在数学中连乘符号是“Π”，例如：若x∈N*，则x=110x=1×2×3×⋯×10.已知函数f(x)=lgx+1(x+2),g(m)=x=1mf(x),x,m∈N*，且2四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：
(1) (−4)2+3−125+(−1)4π+ 838；
(2)lg2−lg23×lg35×lg52+eln2+2lg 5.
18.(本小题12分)
已知α，β为锐角，且sin(2π+α)cs(11π2+α)cs(α−π)sin(−α)sin(3π−α)cs(α−π2)=3.
(1)求2sinα+csα的值；
(2)若cs(α+β)=12，求sinβ的值.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax2+15x+c，不等式f(x)>0的解集是(0,5).
(1)求f(x)的解析式；
(2)若存在x∈[−1,1]，使得不等式tf(x)≥3有解，求实数t的取值范围.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax−3(a>0且a≠1)的图象过定点M，函数g(x)=2lg2(x+1a)与f(x)的图象交于点M.
(1)若f(x)+2f(−x)+6=0，求x的值；
(2)若对任意的x∈[3,4]，4f(g(x))>kx−8恒成立，求实数k的取值范围.
21.(本小题12分)
已知幂函数f(x)=(a2−a−1)xa−1(a∈R)在(0,+∞)上是增函数.
(1)求f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)=lga(x+2)−lga(x−1)，求g(x)在[2,4]上的最小值.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=sinπ3x,g(x)=e−x−ex2.
(1)若f(3απ+1)= 23，求f(2−3απ)；
(2)设函数h(x)=lnx+f(x)，证明：h(x)在(0,+∞)上有且仅有一个零点x0，且g(f(x0))>−34.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由−x2−x+6≥0，得(x+3)(x−2)≤0，
，则M∩N={x|0故选：D.
由−x2−x+6≥0，解得−3≤x≤2，可求出结果．
本题主要考查一元二次不等式，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：r= x2+y2= 122+(−5)2=13,sinα=yr=−513.
故选：A.
利用任意角三角函数的定义直接求解．
本题考查任意角三角函数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：A中两个函数的值域不一样；
B，C中两个函数的定义域不一样；
D中两个函数的定义域、值域、对应法则都一样．
故选：D.
由已知结合函数的定义检验各选项即可判断．
本题考查函数相等的定义，指数运算，零次幂，对数运算，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：f(2)=22+3×2−15=−5<0，f(3)=23+3×3−15=2>0，
由零点存在定理，可知零点所在区间为(2,3).
故选：C.
根据零点存在定理判断即可．
本题考查指数函数、一次函数的图象，零点的判断方法，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：∵tanα= 2，
∴2sinαcsαcs2α−sin2α=2tanα1−tan2α=2 21−2=−2 2.
故选：B.
由已知结合同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
本题考查同角三角函数的关系，二倍角公式等，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由2a<2b，得a当c=0时，得不到ac2由ac2即有“2a<2b”是“ac2故选：C.
由条件2a<2b结合指数函数的性质可得a本题考查了充要条件的判断，不等式的性质，是基础题．
7.【答案】D
【解析】解：因为02，2+lg5>2，1+lg5<2，
所以f(2024+lg5)=1f(2023+lg5)=f(2022+lg5)=1f(2021+lg5)=f(2020+lg5)=⋯=f(2+lg5)=1f(1+lg5)=12(1+lg5)−1=11+2lg5.
故选：D.
由已知结合函数解析式，代入即可求解．
本题考查分段函数，周期函数，对数大小的判断，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：因为x，y是正实数，且2x+y=1，
所以1x+1y+2xy=(1x+1y)(2x+y)+2xy(2x+y)2=11+10xy+3yx≥11+2 30，
当且仅当10xy=3yx时，等号成立．
故选：B.
由已知利用乘1法，结合基本不等式即可求解．
本题考查基本不等式的应用，属于基础题．
9.【答案】AB
【解析】解：根据含有量词的命题的否定形式，可得“∃n∈N，n2−n+1=0”的否定是“∀n∈N，n2−n+1≠0”，A正确．
对于方程x2−ax−1=0，因为Δ=(−a)2−4×(−1)=a2+4>0，所以该方程有实数根，故B正确．
当n是偶数时，显然n2+1不是4的倍数；n为奇时，设n=2k+1，k∈N，则n2+1=4k2+4k+2，也不是4的倍数．
因此，不存在n∈N，使n2+1是4的倍数，故C不正确．
根据扇形的面积公式，可得半径为3，且圆心角为π3的扇形的面积S=12αR2=12×π3×32=3π2，故D不正确．
故选：AB.
根据题意，利用含有量词的命题的否定形式，判断出A项的正误；由一元二次方程根的判别式，判断出B项的正误；通过分类讨论得到n2+1不是4的倍数，判断出C项的正误；利用扇形的面积公式判断出D项的正误，即可得到本题的答案．
本题主要考查命题的否定、一元二次方程的解法、整数的整除性与扇形的面积公式，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：由lna>lnb，得0因为函数f(x)=(12)x−x在(0,+∞)上单调递减且a>b，
则(12)a−a<(12)b−b，D正确，C错误．
故选：AD.
结合对数函数的单调性先得a，b的大小关系，然后结合不等式性质及函数单调性检验各选项即可判断．
本题考查对数函数的性质和利用函数的单调性比较不等式的大小．
11.【答案】ACD
【解析】解：因为f(x)=x2+mx+n(m>0)有且只有一个零点，
所以Δ=m2−4n=0，即m2=4n>0.
对于A，m2−n2≤4等价于n2−4n+4≥0，显然(n−2)2≥0，A正确．
对于B,m2+1n=4n+1n≥2 4n⋅1n=4，当且仅当n=12,m= 2时，等号成立，B错误．
对于C，因为Δ=m2−4n=0，所以不等式x2+mx+n<0的解集为⌀，C正确．
对于D，因为不等式x2+mx+n<4的解集为(x1,x2)，
所以方程x2+mx+n−4=0的两根为x1，x2，且x1+x2=−m，x1x2=n−4，
所以|x1−x2|= (x1+x2)2−4x1x2= m2−4(n−4)= 16=4，D正确．
故选：ACD.
由f(x)=x2+mx+n(m>0)有且只有一个零点，得Δ=m2−4n=0，即m2=4n>0，可判断AC，利用基本不等式和根与系数关系可判断BD.
本题主要考查一元二次不等式，属于中档题．
12.【答案】BD
【解析】解：因为tanα−tanβ=tan(α−β)，其中α≠kπ2(k∈Z)且β≠mπ2(m∈Z)，
所以tanα−tanβ=sinαcsα−sinβcsβ=sinαcsβ−sinβcsαcsαcsβ=sin(α−β)csαcsβ=sin(α−β)cs(α−β)，
所以sin(α−β)=0或cs(α−β)=csαcsβ，即sin(α−β)=0或sinαsinβ=0.
因为α≠kπ2(k∈Z)且β≠mπ2(m∈Z)，所以sinαsinβ≠0，所以sin(α−β)=0，B正确，A错误；
因为sin(α−β)=0，所以α−β=nπ，n∈Z，所以cs(α−β)=±1，C错误；
因为α−β=nπ，n∈Z，所以sin2α+cs2β=sin2(nπ+β)+cs2β=sin2β+cs2β=1，D正确．
故选：BD.
直接利用两角和与差的三角函数公式、诱导公式以及同角三角函数的基本关系求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
13.【答案】− 33
【解析】解：tan150∘=tan(180∘−30∘)=−tan30∘=− 33.
故答案为：− 33.
直接利用三角函数的诱导公式求解．
本题考查三角函数诱导公式的应用，是基础题．
14.【答案】(π,2π)(答案不唯一)
【解析】解：函数y=2−csx的减区间为y=csx的增区间，即[−π+2kπ,2kπ]，k∈Z，
据此只需写[π,2π]内的任何一个非空子集，例如(π,2π).
故答案为：(π,2π)(答案不唯一).
利用余弦函数的单调性求解即可．
本题主要考查三角函数的单调区间，属于基础题．
15.【答案】−e−x+sinx+3,x<0,0,x=0,ex+sinx−3,x>0
【解析】解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，f(−x)=−f(x).
当x<0时，−x>0，f(−x)=e−x+sin(−x)−3=e−x−sinx−3，
所以当x<0时，f(x)=−f(−x)=−e−x+sinx+3.
综上，f(x)=−e−x+sinx+3,x<0,0,x=0,ex+sinx−3,x>0..
故答案为：−e−x+sinx+3,x<0,0,x=0,ex+sinx−3,x>0.
由已知结合奇函数的定义及性质即可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性的定义及性质在函数解析式求解中的应用，属于基础题．
16.【答案】8
【解析】解：由题意得，g(m)=lg3lg2×lg4lg3×⋯×lg(m+2)lg(m+1)=lg(m+2)lg2=lg2(m+2).
要使g(m)为整数，则m+2=2n，n∈N*.
∵m∈(2,2024],∴2n=m+2∈(4,2026].
∵22=4，23=8，⋯，210=1024，211=2048，
∴可取n=3，4，⋯，10，即m=23−2，24−2，⋯，210−2，
∴使g(m)为整数的m共有8个．
由已知定义，结合对数的运算性质进行化简即可求解．
本题以新定义为载体，主要考查了对数的运算性质的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)原式= (−4)2+3(−5)3+[(−1)4]π+ 8×2
=4−5+1+4
=4.
(2)原式=lg2−lg3lg2×lg5lg3×lg2lg5+2+lg5
=lg2−1+2+lg5
=2.
【解析】(1)结合指数幂的运算性质即可求解；
(2)结合对数的运算性质即可求解．
本题考查指数运算，对数运算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)∵sin(2π+α)cs(11π2+α)cs(α−π)sin(−α)sin(3π−α)cs(α−π2)=sinα⋅sinα⋅(−csα)−sinα⋅sinα⋅sinα=csαsinα=3，
∴csα=3sinα.
∵sin2α+cs2α=1，∴sin2α+9sin2α=1.
又α为锐角，∴sinα= 1010,csα=3 1010，
∴2sinα+csα=2× 1010+3 1010= 102；
(2)由(1)可知sinα= 1010,csα=3 1010.
∵cs(α+β)=12，且α，β为锐角，
∴sin(α+β)= 1−cs2(α+β)= 32，
∴sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)csα−cs(α+β)sinα
= 32×3 1010−12× 1010=3 30− 1020.
【解析】(1)利用诱导公式化简，结合同角三角函数基本关系式求得sinα，csα的值，则答案可求；
(2)由sinβ=sin[(α+β)−α]，展开两角差的正弦求解．
本题考查诱导公式，同角三角函数的关系，两角和与差的正弦公式等，是基础题．
19.【答案】解：(1)因为不等式f(x)>0的解集是(0,5)，
所以a<0，且0，5是一元二次方程ax2+15x+c=0的两个实数根，
可得c=0,25a+75+c=0,得a=−3,c=0,，
所以f(x)=−3x2+15x.
(2)由tf(x)≥3，得t(−3x2+15x)≥3，即tx2−5tx+1≤0.
令g(x)=tx2−5tx+1，x∈[−1,1]，
由题可知g(x)≤0有解，即g(x)min≤0即可．
当t=0时，g(x)=1<0，显然不合题意．
当t≠0时，g(x)图象的对称轴为直线x=52.
①当t>0时，g(x)在[−1,1]上单调递减，
所以g(x)min=g(1)=−4t+1≤0，解得t≥14；
②当t<0时，g(x)在[−1,1]上单调递增，
所以g(x)min=g(−1)=6t+1≤0，解得t≤−16.
综上，t的取值范围是(−∞,−16]∪[14,+∞).
【解析】(1)由已知结合二次不等式与二次方程的转化关系及方程的根与系数关系可求a，c，进而可求函数解析式；
(2)由已知结合存在性问题与最值关系的转化即可求解．
本题考查一元二次不等式的解，二次函数与一元二次方程，二次函数与一元二次不等式的关系，二次函数的图象及性质等，属于中档题．
20.【答案】解：(1)因为对任意的a>0且a≠1，都有f(0)=−2，
所以f(x)的图象过定点M(0,−2)，
又因为点M(0,−2)在y=g(x)的图象上，
所以g(0)=2lg21a=−2，解得a=2，
所以f(x)=2x−3，g(x)=2lg2(x+12)，
由f(x)+2f(−x)+6=0，得2x+2×2−x−3=0，
令2x=t，则t>0，且t+2t−3=0，整理得t2−3t+2=0，即(t−1)(t−2)=0，
所以t=1或2，即2x=1或2x=2，解得x=0或1.
(2)f(g(x))=2lg2(x+12)2−3=(x+12)2−3=x2+x−114,x∈[3,4]，
所以4x2+4x−11>kx−8在[3,4]上恒成立，
即k<4x2+4x−3x在[3,4]上恒成立，
令φ(x)=4x2+4x−3x,x∈[3,4]，则需k<φ(x)min，
因为φ(x)=4x+4−3x在[3,4]上单调递增，
所以φ(x)min=φ(3)=15，
所以k<15，即实数k的取值范围是(−∞,15).
【解析】(1)利用指数为零时，幂恒为1求出定点M的坐标，进而求出a的值，然后利用换元法解方程；
(2)分离参数k，然后研究函数φ(x)=4x2+4x−3x,x∈[3,4]的单调性和最值，即可求出结论．
本题考查指数型函数与对数型函数，涉及定点问题，对数运算，恒成立等，属于中档题．
21.【答案】解：(1)因为f(x)=(a2−a−1)xa−1是幂函数，
所以a2−a−1=1，
解得a=2或a=−1.
又f(x)在(0,+∞)上是增函数，则a−1>0，即a>1，
所以a=2，则f(x)=x.
(2)由(1)得a=2，所以g(x)=lg2(x+2)−lg2(x−1)=lg2x+2x−1=lg2(1+3x−1).
令t=1+3x−1，当x∈[2,4]时，t=1+3x−1单调递减．
又函数y=lg2t在其定义域内单调递增，
由复合函数的单调性可得g(x)在[2,4]上单调递减，
所以g(x)min=g(4)=lg22=1.
【解析】(1)由幂函数可得a值，可得解析式．
(2)根据复合函数的单调性可求出最小值．
本题考查幂函数的解析式及性质，对数的简单运算，复合函数的单调性与最值的求解，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由f(3απ+1)= 23，得sin(α+π3)= 23，
∴f(2−3απ)=sin(2π3−α)=sin[π−(α+π3)]=sin(α+π3)= 23.
(2)证明：由h(x)=lnx+f(x)，得h(x)=lnx+sinπ3x.
①当x∈(0,32]时，π3x∈(0,π2],∴h(x)单调递增．
又h(12)=sinπ6−ln2，由于sinπ6=12，而ln2>ln e=12，
∴h(12)<0，又h(1)= 32>0，
∴由零点存在定理可知，h(x)在(0,32]内有唯一零点x0，使得h(x0)=0.
当x∈(32,3]时，lnx>0,sinπ3x≥0，
∴h(x)>0，则h(x)在(32,3]上无零点；
当x∈(3,+∞)时，lnx>1,−1≤sinπ3x≤1，
∴h(x)>0，则h(x)在(3,+∞)上无零点．
综上，h(x)在(0,+∞)上有且仅有一个零点x0.
②由①，得12则f(x0)=−lnx0,g(f(x0))=g(−lnx0)=12(x0−1x0).
∴φ(x0)=12(x0−1x0)在(12,1)上单调递增，
则φ(x0)>φ(12)=−34，故g(f(x0))>−34.
【解析】(1)由f(3απ+1)= 23，得sin(α+π3)= 23，再结合诱导公式求解即可；
(2)先求出h(x)的解析式，对x进行分类讨论，结合零点存在性定理证，得h(x)在(0,+∞)上有且仅有一个零点x0，求得g(f(x0))的表达式，再利用函数的单调性证得不等式g(f(x0))>−34成立．
本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．