2023-2024学年天津市滨海新区高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

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这是一份2023-2024学年天津市滨海新区高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合U={2,3,4,5}，A={3,4,5}，则∁UA=( )
A. {3,4,5}B. {2,3}C. {2}D. {2,3,4,5}
2.设函数f(x)=2x+x3，则函数f(x)的零点所在区间是( )
A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (1,2)D. (2,3)
3.已知a，b，c∈R，且aA. a21bD. a−c4.“3x>1”是“x>1”的( )
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.把函数f(x)=3cs(x+π7)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象所对应的函数g(x)的解析式是( )
A. g(x)=3cs(12x+π7)B. g(x)=3cs12(x+π7)
C. g(x)=3cs(2x+π7)D. g(x)=3cs2(x+π7)
6.已知a=30.5，b=lg30.5，c=0.53，则a，b，c的大小关系是( )
A. a7.函数y=ax−1+4(a>0,且a≠1)的图象过定点P，则点P的坐标是( )
A. (1,5)B. (1,4)C. (0,4)D. (4,0)
8.已知扇形的圆心角为π3，弧长为2π3，则该扇形的面积是( )
A. π3B. 2π3C. 4π3D. 2π
9.若函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是( )
A. f(x)=(|x|+1)sinxB. f(x)=sinx|x|+1
C. f(x)=(|x|+1)csxD. f(x)=csx|x|+1
10.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.由于受潮汐影响，某港口一天中各时刻的水位高低相差很大.如图，已知该港口某天从8时至14时的水深y(单位：m)与时刻x的关系可用函数y=Asin(ωx+φ)+b近似刻画，其中A>0,ω>0,0<|φ|<π2.据此可估计该港口当天9时的水深为( )
A. 8− 2B. 8− 3C. 8−3 32D. 8−3 22
11.若函数f(x)=3x−a,x<2x2−2ax+3a,x≥2有最小值，则实数a的取值范围是( )
A. (0,1)∪(3,+∞)B. [4,+∞)
C. (−∞,0)∪(1,+∞)D. (−∞,2]
12.若函数f(x)=sin(ωx−φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为T，且f(T)=− 22.给出下列判断：
①若ω=3，则函数f(x)的图象关于直线x=π4对称.
②若f(x)在区间[0,π8]上单调递增，则ω的取值范围是(0,6].
③若f(x)在区间(π,2π)内没有零点，则ω的取值范围是(0,18]∪|14,12].
④若f(x)的图象与直线y=−1在[0,2π]上有且仅有1个交点，则ω的取值范围是[78,158).
其中，判断正确的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
13.命题“∃x∈R，x+1<0”的否定是______.
14.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(2,4)，则α=______.
15.若x>0，则x+4x的最小值为______.
16.已知lg2=a，lg3=b，则用a，b表示lg34=______.
17.已知函数f(x)=tanx.
(i)函数f(x)的定义域为______；
(ii)若x是斜三角形的一个内角，则使不等式f(x)≤−1成立的x的集合为______.
18.已知集合A={x|x≥a，或x≤a−2}，B={x|0(i)当a=3时，A∪B=______；
(ii)若A∩B=B，则实数a的取值范围为______.
19.2023年10月26日神舟十七号载人飞船在长征二号F遥十七运载火箭的托举下点火升空，成功进入预定轨道.我国在航天领域取得的巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术.根据火箭理想速度公式v=v0⋅lnMm，可以计算理想状态下火箭的最大速度v(m/s)，其中v0(m/s)是喷流相对速度，m(kg)是火箭(除推进剂外)的质量，M(kg)是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为总质比.已知甲型火箭喷流相对速度为2000m/s.
(i)当总质比为9时，甲型火箭的最大速度为______m/s；
(ii)若经过材料更新和技术改进后，甲型火箭的喷流相对速度提高到原来的32倍，总质比变为原来的12.若要使火箭的最大速度至少增加1000m/s，则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为______.
(所有结果保留整数，参考数据：ln3≈1.1，2.71820.设函数f(x)=|lg14x|,0(i)f[f(4)]=______；
(ii)若存在实数x1，x2，x3，x4满足x1三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题12分)
已知csx=−35，x∈(π2,π).
(Ⅰ)求sinx，tanx的值；
(Ⅱ)求sin(x+π4)，cs2x的值.
22.(本小题12分)
已知二次函数f(x)=x2−mx+6，m∈R.
(Ⅰ)若函数f(x)是偶函数，求实数m的值；
(Ⅱ)若m=5，求不等式f(x)<0的解集；
(Ⅲ)若函数f(x)在区间[3,5]上具有单调性，求实数m的取值范围.
23.(本小题13分)
已知函数f(x)=sin(π−x)sin(π2−x)− 32cs2x.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；
(Ⅱ)求函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间；
(Ⅲ)已知函数g(x)=2f2(x)−3f(x)+2a−1在[π6,π2]上存在零点，求实数a的取值范围.
24.(本小题13分)
已知a∈R，函数f(x)=lg2(2+ax)−lg2x.
(Ⅰ)当a=−1时，求函数f(x)的定义域；
(Ⅱ)若关于x的方程f(x)+lg2x2=0的解集中有且只有一个元素，求实数a的取值范围；
(Ⅲ)设a>0，若∃t∈[12,1]，使得函数f(x)在区间[t,t+2]上的最大值与最小值的差不超过1，求实数a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：集合U={2,3,4,5}，A={3,4,5}，
则∁UA={2}.
故选：C.
利用补集定义能求出结果．
本题考查补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由函数f(x)=2x+x3在R上是增函数，
且满足f(−1)=12−1<0，f(0)=1>0，
根据函数零点的判定定理可得函数f(x)=2x+x3的零点所在的区间为(−1,0).
故选：B.
根据函数f(x)在R上是增函数，且满足f(−1)<0，f(0)>0，结合函数零点的判定定理可得函数f(x)的零点所在的区间．
本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：对于A，若a=−1，b=0，满足a对于B，当c=0时，ac2=bc2，故B错误；
对于C，若a<01b，故C错误；
对于D，在a故选：D.
根据不等式的基本性质，对各项中的不等式逐一判断，即可得到本题的答案．
本题主要考查不等式的基本性质及其应用，考查了计算能力与逻辑推理能力，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：当3x>1时，可得到x>0，由x>0不能推出x>1，但由x>1可以推出x>0，
因此，“x>0”是“x>1”的必要不充分条件，即“3x>1”是“x>1”的必要不充分条件．
故选：A.
根据充分必要条件的定义，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．
本题主要考查指数不等式的解法、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：把函数f(x)=3cs(x+π7)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象所对应的函数g(x)的解析式是g(x)=3cs(12x+π7)的图象．
故选：A.
由题意，利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律得出结论．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：∵a=30.5>30=1，
b=lg30.50∴b故选：D.
利用对数函数和指数函数的性质求解．
本题考查对数函数和指数函数的性质，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：对于函数y=ax−1+4(a>0,且a≠1)，令x=1时，求得y=a0+4=5，
所以函数y=ax−1+4(a>0,且a≠1)的图象过定点P(1,5).
故选：A.
由题意，根据指数型函数图象过定点的知识即得．
本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：因为扇形的圆心角为α=π3，弧长为l=2π3，
所以扇形的半径为r=lα=2π3π3=2，
所以扇形的面积是S=12lr=12×2π3×2=2π3.
故选：B.
根据扇形的圆心角和弧长求出半径，再计算扇形的面积．
本题考查了扇形的弧长与面积计算问题，是基础题．
9.【答案】D
【解析】解：根据函数图象可得函数f(x)为偶函数，
A选项，f(−x)=(|−x|+1)sin(−x)=−(|x|+1)sinx=−f(x)，
B选项f(−x)=sin(−x)|−x|+1=−sinx|x|+1=−f(x)，所以AB选项为奇函数，
故AB选项不正确；
根据函数图象可得f(π)>−1，而C选项，f(π)=−(|π|+1)<−1，不满足题意；
D选项f(π)=−1π+1>−1，所以C选项不正确，D选项正确．
故选：D.
利用函数的奇偶性和特殊值的思路判断即可．
本题考查了函数的奇偶性、求函数特殊点的值及数形结合思想，属于基础题．
10.【答案】C
【解析】解：根据图象可得A+b=11−A+b=5T=(14−8)×2=2πω，
解得A=3,b=8,ω=π6，
故y=3sin(π6x+φ)+8，
当x=14时，y=3sin(π6×14+φ)+8=11，
故π6×14+φ=π2+2kπ,k∈Z，
进而可得φ=−11π6+2kπ,k∈Z，
由于0<|φ|<π2，
所以φ=π6，
故y=3sin(π6x+π6)+8，
当x=9时．则y=3sin(π6×9+π6)+8=3sin5π3+8=8−3 32.
故选：C.
根据函数图象可得函数的表达式为y=3sin(π6x+π6)+8，即可代入x=9求解．
本题考查三角函数的性质应用，属于中档题．
11.【答案】B
【解析】解：由y=3x−a在(−∞,2)上递增，且值域为(−a,9−a)，
由y=x2−2ax+3a=(x−a)2+3a−a2开口向上且对称轴为x=a，
所以二次函数在(−∞,a)上递减，在(a,+∞)上递增，要使f(x)有最小值，
当a≤2时，f(2)=4−a≤−a，显然不成立，
当a>2时，f(a)=3a−a2≤−a，则a2−4a≥0，可得a≥4，
综上，实数a的取值范围是[4,+∞).
故选：B.
由分段函数解析式，结合指数、二次函数的性质，讨论a≤2、a>2研究f(x)有最小值情况下参数范围．
本题考查分段函数的最值问题，属于中档题．
12.【答案】C
【解析】解：∵函数f(x)=sin(ωx−φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为T=2πω，
f(T)=sin(2π−φ)=−sinφ=− 22，
∴sinφ= 22，φ=π4，f(x)=sin(ωx−π4)，
对于①，ω=3，则函数f(x)=sin(3x−π4)，令x=π4，得f(π4)=1，为最大值，可得函数f(x)的图象关于直线x=π4对称，故①正确；
对于②，在区间[0,π8]上，ωx−π4∈[−π4,ωπ8−π4]，若f(x)=sin(ωx−π4)单调递增，则ωπ8−π4≤π2，即ω≤6，故ω的取值范围是(0,6],故②正确．
对于③，若f(x)在区间(π,2π)内没有零点，ωx−π4∈(ωπ−π4,2ωπ−π4)，
则ωπ−π4≥2kπ+π，2ωπ−π4≤2kπ+2π，且12×2πω≥2π−π，k∈Z，
即ω≥2k+54，ω≤k+98，且0<ω≤1，k∈Z.
令k=−1、k=0，求得0<ω≤18、
则ω的取值范围是(0,18]∪|14,58].③错误．
对于④，函数f(x)的图象与直线y=−1在[0,2π]上有且仅有1个交点，
故3π2≤2ωπ−π4<7π2，所以ω∈[78,158),故④正确．
故选：C.
首先求出三角函数的关系式，进一步判断三角函数的性质，进一步判断①②③④的结论．
本题考查的知识要点：三角函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
13.【答案】∀x∈R，x+1≥0
【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题“∃x∈R，x+1<0”的否定是“∀x∈R，x+1≥0”．
故答案为：∀x∈R，x+1≥0.
直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
本题主要考查了命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，属于基础题．
14.【答案】2
【解析】解：∵幂函数f(x)=xα的图象经过点(2,4)，
∴2α=4，解得α=2，
故答案为：2.
由幂函数f(x)=xα的图象经过点(2,4)得方程2α=4，从而解得．
本题考查了幂函数定义的基本运用，属于基础题．
15.【答案】4
【解析】解：∵x>0，则x+4x≥2 4=4，当且仅当x=4x 时，等号成立，
故答案为4.
因为x>0，直接利用基本不等式求出其最小值．
本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件，属于基础题．
16.【答案】2a−b
【解析】解：lg2=a，lg3=b，
则lg34=lg4lg3=lg4−lg3=2lg2−lg3=2a−b.
故答案为：2a−b.
根据已知条件，结合换底公式，即可求解．
本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
17.【答案】{x|x≠π2+kπ,k∈Z}{x|0【解析】解：(i)正切函数f(x)=tanx的定义域为{x|x≠π2+kπ,k∈Z}；
(ii)若x是斜三角形的一个内角，则x∈(0,π)，
不等式f(x)≤−1，即tanx≤−1，
所以0所以x的集合为{x|0故答案为：(i){x|x≠π2+kπ,k∈Z}；(ii){x|0(i)根据正切函数的定义与性质即可求解；
(ii)根据斜三角形的内角取值范围，结合正切函数的性质，求解即可．
本题考查了正切函数的定义与性质应用问题，是基础题．
18.【答案】{x|x<2或x≥3}(−∞,0)∪(4,+∞)
【解析】解：集合A={x|x≥a，或x≤a−2}，B={x|0(i)当a=3时，A={x|x≥3或x≤1}，
∴A∪B={x|x<2或x≥3}；
(ii)∵A∩B=B，∴B⊆A，
∴a−2>2或a<0，
解得a>4或a<0，
∴实数a的取值范围为(−∞,0)∪(4,+∞).
故答案为：(i){x|x<2或x≥3}；(ii)(−∞,0)∪(4,+∞).
(i)当a=3时，求出集合A，再利用并集定义能求出A∪B；
(ii)由A∩B=B，得B⊆A，由此能求出实数a的取值范围．
本题考查并集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】4400 22
【解析】解：(i)由题设，甲型火箭的最大速度为v=2000×ln9=4000ln3≈4400m/s；
(ii)由题意，v0=2000×32=3000(m/s)，原甲型火箭的最大速度为v=2000lnMm，
材料更新和技术改进后，甲型火箭的最大速度为v′=3000lnM2m，
所以3000lnM2m≥2000lnMm+1000，即lnMm≥1+3ln2，可得Mm≥e1+3ln2=8e≈22.
故答案为：4400，22.
(i)根据给定公式求甲型火箭的最大速度即可；
(ii)由题设有原甲型火箭的最大速度为v=2000lnMm，材料更新和技术改进后，甲型火箭的最大速度为v′=3000lnM2m，解不等式v′≥v+1000即可求最值．
本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
20.【答案】0(57,105)
【解析】解：(i)由f(4)=sin(π8×4)=1，则[f(4)]=f(1)=|lg11|=0；
(ii)由解析式可得函数大致图象如下：
存在实数x1，x2，x3，x4满足x1所以0故14由lg14x1+lg14x2=lg14(x1x2)=0，可得x1x2=1，
所以(x3−1)(x4−1)x1x2=x3x4−(x3+x4)+1=x3x4−23∈(57,105).
故答案为：(i)0；(ii)(57,105).
(i)应用分段函数解析式，将自变量代入求值；
(ii)画出分段函数大致图象，数形结合判断实数x1，x2，x3，x4的范围，结合各分段对应函数的性质求得：80本题考查对数函数，三角函数的综合应用，属于中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ)∵csx=−35，x∈(π2,π)，
∴sinx= 1−cs2x=45，tanx=−43；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，sin(x+π4)= 22sinx+ 22csx= 22(45−35)= 210；
cs2x=2cs2x−1=−725.
【解析】(Ⅰ)利用同角三角函数的基本关系计算可得答案；
(Ⅱ)利用两角和与差的三角函数可求得答案．
本题考查两角和与差的三角函数，属于基础题．
22.【答案】解：二次函数f(x)=x2−mx+6，m∈R，可知开口向上，对称轴方程为x=m2，
(Ⅰ)要使函数f(x)是偶函数，则函数关于轴对称，即m2=0，
解得m=0；
(Ⅱ)m=5时，不等式为x2−5x+6<0，即(x−2)(x−3)<0，
解得2即不等式的解集为(2,3)；
(Ⅲ)当函数在[3,5]上单调递增时，则m2≤3，即m≤6，
当函数在[3,5]上单调递减时，则m2≥5，即m≥10；
所以要使函数f(x)在区间[3,5]上具有单调性，m的范围为(−∞,6]∪[10,+∞).
【解析】(Ⅰ)先求出函数的对称轴，由函数为偶函数，可得对称轴为y轴，可得m的值；
(Ⅱ)将不等式的左边分解因式，可得不等式的解集；
(Ⅲ)分类讨论在区间的单调性，可得m的范围．
本题考查二次函数的性质的应用及分类讨论的思想，属于基础题．
23.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=sin(π−x)sin(π2−x)− 32cs2x
=sinxcsx− 32cs2x=12sin2x− 32cs2x=sin(2x−π3)，
T=2π2=π.
(Ⅱ)由π2+2kπ≤2x−π3≤3π2+2kπ，k∈Z，得5π12+kπ≤x≤11π12+kπ，k∈Z，
因为x∈[0,π]，所以令k=0，得5π12≤x≤11π12，
所以函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间为[5π12,11π12].
(Ⅲ)因为函数g(x)=2f2(x)−3f(x)+2a−1在[π6,π2]上存在零点，
令m=f(x)，则f(x)在[π6,5π12]单调递增，[5π12,π2]上单调递减．
所以f(π6)≤f(x)≤f(5π12)，即0≤f(x)≤1，所以0≤m≤1，
所以g(x)=h(m)=2m2−3m+2a−1在[0,1]上存在零点，
令h(m)=2m2−3m+2a−1=0，则2a−1=−2m2+3m=−2(m−34)2+98，
而y=−2(m−34)2+98，在[0,34]上单调递增，在[34,1]上单调递减，
所以0≤y≤98，即0≤2a−1≤98，解得12≤a≤1716.
所以实数a的取值范围为[12,1716].
【解析】(Ⅰ)根据诱导公式，2倍角公式和辅助角公式化简函数解析式为f(x)=sin(2x−π3)，利用周期公式求出周期即可；
(Ⅱ)令π2+2kπ≤2x−π3≤3π2+2kπ，k∈Z，解不等式，与[0,π]取交集即可求出结果；
(Ⅲ)令m=f(x)，根据f(x)在[π6,π2]上的单调性，求出m的范围，把g(x)=2f2(x)−3f(x)+2a−1在[π6,π2]上存在零点，转化为h(m)=2m2−3m+2a−1在[0,1]上存在零点，分离参数，转化为求函数y=−2(m−34)2+98在[0,1]上的值域，然后解不等式即可求出结果．
本题考查三角恒等变换，三角函数的图像和性质，函数零点与方程的根，转化的数学思想方法，属中档题．
24.【答案】解：(Ⅰ)a=−1时，f(x)=lg2(2−x)−lg2x，
所以2−x>0,x>0,得0所以函数f(x)的定义域为{x|0(Ⅱ)方程f(x)+lg2x2=0，即lg2(2+ax)+lg2x=0，即lg2[(2+ax)x]=0.
所以(2+ax)x=1，化为：ax2+2x−1=0，方程f(x)+lg2x2=0的解集中有且只有一个元素，等价于αx2+2x−1=0有且仅有一正根．
(1)若a=0，化为2x−1=0，解得x=12，符合题意；
(2)若a≠0，此时Δ=4+4a.
①令Δ=4+4a=0，得a=−1，解得x=1，符合题意；
②当Δ=4+4a>0，即a>−1时，方程ax2+2x−1=0有两个解，设为x1，x2.
则x1⋅x2=−1a,x1+x2=−2a.
当a>0时，x1⋅x2<0，此时方程有一正、一负根，符合题意．
当−10，x1+x2>0，此时方程有两个正根，不符合题意．
综上，实数a的取值范围为{a|a≥0或a=−1}，
(Ⅲ)f(x)=lg2(2+ax)−lg2x=lg22+axx.
当0因为00，所以2x2+ax1x2>2x1+ax1x2>0.
所以2x2+ax1x22x1+ax1x2>1，所以lg22x2+ax1x22x1+ax1x2>0，
所以lg22+ax1x1>lg22+ax2x2.
所以f(x)在(0,+∞)上单调递减，
所以函数f(x)在区间[t,t+2]上的最大值与最小值分别为f(t)，f(t+2).
f(t)−f(t+2)=lg22+att−lg22+a(t+2)t+2≤1，
即：lg2[2+att⋅t+22+a(t+2)]≤1，
即：0<2+att⋅t+22+a(t+2)≤2，因为t∈[12,1],a>0，
整理得：at2+(2+2a)t−4≥0，令h(t)=at2+(2+2a)t−4.
因为a>0时，存在t∈[12,1],h(t)=at2+(2+2a)t−4≥0，
故只需h(t)max≥0.
因为a>0，h(t)对称轴方程t=−1+aa<0，所以h(t)在[12,1]上单调递增，
所以h(t)max=h(1)=3a−2，故h(1)=3a−2≥0，得a≥23.
故实数a的取值范围为[23,+∞).
【解析】(Ⅰ)根据对数的性质列不等式即可求解．
(Ⅱ)将问题转化为αx2+2x−1=0有且仅有一正根．即可利用二次型函数的性质分类求解．
(Ⅲ)利用单调性的定义即可求解函数单调性，进而利用单调性求解最值，将问题进一步转化为二次函数的性质求解最值即可．
本题主要考查函数的单调性和最值，属于中档题．